Complemento de Funciones:
Transformaciones gráficas
Un complemento sobre Funciones
Respecto de cómo definirlas y del conjunto dominio
Sabemos que el dominio de una función es el conjunto de partida de la función, es decir, sabemos que, si A
y B son dos conjuntos y f es una función de A en B (o sea, f : A → B), resulta que Dom(f) = A.
En vistas de esto, la definición de una función, requiere de tres elementos: el conjunto de partida A (Dominio
de la función), el conjunto de llegada B (Codominio) y la “ley de asignación” de los elementos de A a los de
B, que es la que llamamos f y que, usualmente, es la que se conoce como “la función”. En resumen, una
función es una terna de elementos: dominio, codominio, y ley de asignación.
En nuestra práctica, la ley de asignación va a estar representada por una fórmula (por ejemplo, f(x) = 2x + 4,
ó f(x) = x2 + 1, ó f(x) = ln(x + 2), entre otras). Esta fórmula, en sí misma, no es la que define a la función.
Falta indicar sobre qué conjuntos actúa: dominio y codominio. Esto es porque, una misma fórmula o
expresión, puede actuar sobre distintos conjuntos, y en ese caso, determina distintas funciones.
Por ejemplo:
La función f : IR→IR, dada por f(x) = 2x + 4, es la función que tiene por gráfico:
y 14
12
10
8
6
4
2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2 x
-4
-6
Mientras que la función g : [−2; 3]→IR, dada por g(x) = 2x + 4, es la función cuyo gráfico es el siguiente:
y 14
12
10
8
6
4
2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2 x
-4
(los “puntos gordos” ó “puntos rellenos” que se colocan en los extremos de la gráfica, indican que esos
puntos extremos forman parte del dibujo, y eso ocurre porque la función está definida sobre el intervalo
cerrado [−2; 3], es decir que los puntos extremos corresponden a puntos del gráfico de la función. Estos
puntos rellenos pueden reemplazarse también por corchetes, tal como los tiene el intervalo cerrado que
define al dominio. Si en cambio la función estuviera definida sobre un intervalo abierto, los puntos extremos
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, Complemento de Funciones:
Transformaciones gráficas
se indicarían con un paréntesis, tal como el intervalo, o por un punto sin relleno, es decir, un pequeño círculo
sin pintar su interior).
Como puede apreciarse gráficamente, las funciones f y g son distintas funciones, aunque compartan la
expresión que las defina (2x + 4). Las gráficas de ambas funciones corresponden, respectivamente, a la de la
recta (completa) definida por la ecuación y = 2x + 4, o a un segmento contenido en ella.
A partir de lo descripto asumimos, entonces, que una función no queda definida exclusiva y únicamente por
una fórmula, sino que se necesita una terna de elementos, tal como lo señalamos. No obstante, es de uso
corriente referirse a una función indicando solamente su expresión, y para ella, suele pedirse que se halle su
dominio. ¿Cuál es, en este caso, el dominio de la función? ¿Cómo saber si con esa fórmula se hace referencia
a “la totalidad de la gráfica” o sólo a una parte de ella? Hay un concepto central asociado a esta situación,
que es el que, según algunos autores, se llama el dominio natural de una función, entendiéndose por ello al
“mayor conjunto de números reales en el cuál puede definirse la función”. En este contexto, el dominio
natural de la función definida por la expresión f(x) = 2x + 4 es el conjunto IR de todos los números reales, y
el dominio natural de la función definida como es el conjunto de todos los números reales
distintos de 4 (que es el valor que anula al denominador), que puede indicarse como el conjunto IR − {4}
(que indica al conjunto de todos los números reales, exceptuado el 4).
Como una forma abreviada de pedir que, para una determinada función dada por una expresión, se calcule el
dominio natural de la función, se conviene en pedir, únicamente, que se calcule el dominio de la función,
entendiéndose entonces que, calcular el dominio de una función, es calcular su dominio natural, es decir, el
mayor conjunto en el que puede realizarse el cálculo que se propone desde la expresión que define a la
función. De este modo, salvo que se haga una mención especial, calcular el dominio de una función será
calcular su dominio natural, aunque no se haga mención explícita a este último concepto.
En varias de las prácticas de la asignatura, se solicitará o se requerirá este cálculo, para poder definir todo un
trabajo más amplio sobre la función de referencia. En otra de las notas de la materia, se ha hecho ya mención
del tipo de tareas que se ponen en juego en una actividad como esta.
Sobre los corrimientos de los gráficos de funciones
El efecto sobre el gráfico de “transformaciones” efectuadas a una función
Cuando trabajamos con funciones cuadráticas, hemos visto que su gráfico es una parábola, y que ésta puede
adquirir distintas características de acuerdo a sus parámetros de definición, como ser: la posición de “las
ramas”, hacia arriba ( ) ó hacia abajo ( ), de acuerdo al signo del coeficiente general a (que es el
coeficiente del término cuadrático, que multiplica a x2), la amplitud de estas ramas (más “abiertas” o
más “cerradas” , y la posición del vértice. Lo que le ocurre a las gráficas de este tipo de funciones, ocurre
en todas las gráficas, dependiendo de qué tipo de modificación se haga en los parámetros o coeficientes que
las definan. Lo que nos interesa en este apartado, es tratar de identificar qué tipo de modificaciones
experimentan los gráficos de las funciones cuando éstos son lo único que se conoce de ellas, y cuando se
realizan ciertas transformaciones a las funciones, más allá de conocer o no su definición explícita a través
de “la fórmula o expresión”.
Para ver este comportamiento general, inicialmente veamos cómo se lo observa en funciones conocidas,
como el caso de las cuadráticas, por ejemplo.
La función f : IR→IR definida a partir de f(x) = x2, es la función que representa a la parábola que
consideraremos como “básica”, a partir de la cual intentaremos observar el comportamiento de las funciones
que definiremos modificando algunos parámetros en ésta.
El gráfico de la función f es el siguiente
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Transformaciones gráficas
Un complemento sobre Funciones
Respecto de cómo definirlas y del conjunto dominio
Sabemos que el dominio de una función es el conjunto de partida de la función, es decir, sabemos que, si A
y B son dos conjuntos y f es una función de A en B (o sea, f : A → B), resulta que Dom(f) = A.
En vistas de esto, la definición de una función, requiere de tres elementos: el conjunto de partida A (Dominio
de la función), el conjunto de llegada B (Codominio) y la “ley de asignación” de los elementos de A a los de
B, que es la que llamamos f y que, usualmente, es la que se conoce como “la función”. En resumen, una
función es una terna de elementos: dominio, codominio, y ley de asignación.
En nuestra práctica, la ley de asignación va a estar representada por una fórmula (por ejemplo, f(x) = 2x + 4,
ó f(x) = x2 + 1, ó f(x) = ln(x + 2), entre otras). Esta fórmula, en sí misma, no es la que define a la función.
Falta indicar sobre qué conjuntos actúa: dominio y codominio. Esto es porque, una misma fórmula o
expresión, puede actuar sobre distintos conjuntos, y en ese caso, determina distintas funciones.
Por ejemplo:
La función f : IR→IR, dada por f(x) = 2x + 4, es la función que tiene por gráfico:
y 14
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-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2 x
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Mientras que la función g : [−2; 3]→IR, dada por g(x) = 2x + 4, es la función cuyo gráfico es el siguiente:
y 14
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-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2 x
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(los “puntos gordos” ó “puntos rellenos” que se colocan en los extremos de la gráfica, indican que esos
puntos extremos forman parte del dibujo, y eso ocurre porque la función está definida sobre el intervalo
cerrado [−2; 3], es decir que los puntos extremos corresponden a puntos del gráfico de la función. Estos
puntos rellenos pueden reemplazarse también por corchetes, tal como los tiene el intervalo cerrado que
define al dominio. Si en cambio la función estuviera definida sobre un intervalo abierto, los puntos extremos
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se indicarían con un paréntesis, tal como el intervalo, o por un punto sin relleno, es decir, un pequeño círculo
sin pintar su interior).
Como puede apreciarse gráficamente, las funciones f y g son distintas funciones, aunque compartan la
expresión que las defina (2x + 4). Las gráficas de ambas funciones corresponden, respectivamente, a la de la
recta (completa) definida por la ecuación y = 2x + 4, o a un segmento contenido en ella.
A partir de lo descripto asumimos, entonces, que una función no queda definida exclusiva y únicamente por
una fórmula, sino que se necesita una terna de elementos, tal como lo señalamos. No obstante, es de uso
corriente referirse a una función indicando solamente su expresión, y para ella, suele pedirse que se halle su
dominio. ¿Cuál es, en este caso, el dominio de la función? ¿Cómo saber si con esa fórmula se hace referencia
a “la totalidad de la gráfica” o sólo a una parte de ella? Hay un concepto central asociado a esta situación,
que es el que, según algunos autores, se llama el dominio natural de una función, entendiéndose por ello al
“mayor conjunto de números reales en el cuál puede definirse la función”. En este contexto, el dominio
natural de la función definida por la expresión f(x) = 2x + 4 es el conjunto IR de todos los números reales, y
el dominio natural de la función definida como es el conjunto de todos los números reales
distintos de 4 (que es el valor que anula al denominador), que puede indicarse como el conjunto IR − {4}
(que indica al conjunto de todos los números reales, exceptuado el 4).
Como una forma abreviada de pedir que, para una determinada función dada por una expresión, se calcule el
dominio natural de la función, se conviene en pedir, únicamente, que se calcule el dominio de la función,
entendiéndose entonces que, calcular el dominio de una función, es calcular su dominio natural, es decir, el
mayor conjunto en el que puede realizarse el cálculo que se propone desde la expresión que define a la
función. De este modo, salvo que se haga una mención especial, calcular el dominio de una función será
calcular su dominio natural, aunque no se haga mención explícita a este último concepto.
En varias de las prácticas de la asignatura, se solicitará o se requerirá este cálculo, para poder definir todo un
trabajo más amplio sobre la función de referencia. En otra de las notas de la materia, se ha hecho ya mención
del tipo de tareas que se ponen en juego en una actividad como esta.
Sobre los corrimientos de los gráficos de funciones
El efecto sobre el gráfico de “transformaciones” efectuadas a una función
Cuando trabajamos con funciones cuadráticas, hemos visto que su gráfico es una parábola, y que ésta puede
adquirir distintas características de acuerdo a sus parámetros de definición, como ser: la posición de “las
ramas”, hacia arriba ( ) ó hacia abajo ( ), de acuerdo al signo del coeficiente general a (que es el
coeficiente del término cuadrático, que multiplica a x2), la amplitud de estas ramas (más “abiertas” o
más “cerradas” , y la posición del vértice. Lo que le ocurre a las gráficas de este tipo de funciones, ocurre
en todas las gráficas, dependiendo de qué tipo de modificación se haga en los parámetros o coeficientes que
las definan. Lo que nos interesa en este apartado, es tratar de identificar qué tipo de modificaciones
experimentan los gráficos de las funciones cuando éstos son lo único que se conoce de ellas, y cuando se
realizan ciertas transformaciones a las funciones, más allá de conocer o no su definición explícita a través
de “la fórmula o expresión”.
Para ver este comportamiento general, inicialmente veamos cómo se lo observa en funciones conocidas,
como el caso de las cuadráticas, por ejemplo.
La función f : IR→IR definida a partir de f(x) = x2, es la función que representa a la parábola que
consideraremos como “básica”, a partir de la cual intentaremos observar el comportamiento de las funciones
que definiremos modificando algunos parámetros en ésta.
El gráfico de la función f es el siguiente
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