Conjuntos acotados en IR.
Conjuntos acotados en IR
Algunas definiciones
Definición (cota superior e inferior de un conjunto):
• Un número c ∈ IR se dice que es una cota superior de un conjunto A ⊆ IR si verifica que
∀a ∈ A, a ≤ c.
Del mismo modo, se define lo que es una cota inferior de un conjunto, cambiando el signo menor o
igual, ≤, por el de mayor o igual, ≥:
• Un número c ∈ IR se dice que es una cota inferior de un conjunto A ⊆ IR si verifica que
∀a ∈ A, a ≤ c.
Estas definiciones dicen que, una cota superior de un conjunto es un número real que deja a su
izquierda al conjunto, mientras que una cota inferior, es un número real que lo deja a su derecha.
A A
( ] ( ]
c c
Cota superior Cota inferior
Como observación, cabe destacar que no todo conjunto tiene cotas superiores o inferiores. Como
expresa la definición, una cota superior de un conjunto, es un número real que es mayor o igual que
todos los elementos del conjunto, mientras que una cota inferior, es un número que tiene la
característica de ser menor o igual que todos los elementos de dicho conjunto.
Ejemplos de estas cuestiones que acabamos de mencionar, pueden ser los que mostramos a
continuación:
Si consideramos como conjunto A al intervalo A = (1; 7], se tiene que, por ejemplo,
c = 7 es una cota superior de A. Efectivamente, recordando la definición de intervalo, se tiene
que A = {x ∈ IR: 1 < x ≤ 7}, es decir que: si x ∈ A, entonces es
1<x≤7
con lo cual, si x ∈ A, verifica x ≤ 7. De este modo, resulta que:
∀x ∈ A, x ≤ 7
que es lo que hace (de acuerdo a la definición que tenemos de cota superior) que c = 7 sea una cota
superior del conjunto A.
De manera similar, puede verse que c = 9 también es cota superior de A. En efecto:
si x ∈ A, entonces es 1 < x ≤ 7, pero 7 ≤ 9, con lo cual, se tiene que:
si x ∈ A, entonces 1 < x ≤ 7 ≤ 9
de donde puede verse, finalmente, que
si x ∈ A, entonces x ≤ 9
1
, Conjuntos acotados en IR.
Como el elemento x con el que trabajamos es un representante cualquiera del conjunto A, queda
entonces probado que
∀x ∈ A, x ≤ 9
con lo cual, c = 9 también es cota superior de A.
Observar que el procedimiento que utilizamos para mostrar que c = 9 es cota superior de A, permite
inferir que también c = 15 ó c = 1500 también son cotas superiores de A. en realidad, vale que si un
conjunto tiene una cota superior, entonces tiene muchas cotas superiores (en realidad, tiene infinitas
cotas superiores), dado que cualquier número mayor que una cota superior dada, también será una cota
superior del conjunto. Esta situación puede expresarse como una propiedad, cuya demostración o
prueba es muy similar al procedimiento seguido anteriormente. Esa propiedad, puede plantearse como
un ejercicio, y es la que se expresa en el siguiente enunciado:
Ejercicio:
Probar que si c ∈ R es cota superior del conjunto A ⊆ R y d ∈ R es tal que d ≥ c, entonces d es cota
superior de A.
Una definición más…
Definición (conjunto acotado):
• Un conjunto A de números reales (A ⊆ IR) se dice acotado superiormente si tiene alguna cota
superior, es decir, si existe un número c ∈ IR que verifique que ∀a ∈ A, a ≤ c.
• Un conjunto A de números reales (A ⊆ IR) se dice acotado inferiormente si tiene alguna cota
inferior, es decir, si existe un número c ∈ IR que verifique que ∀a ∈ A, c ≤ a.
• Un conjunto A de números reales (A ⊆ IR) se dice acotado si es acotado superior e inferiormente, es
decir, si existen números reales c, k tales que ∀a ∈ A, c ≤ a ≤ k.
Estas definiciones dicen que, una cota superior de un conjunto es un número real que deja a su
izquierda al conjunto, mientras que una cota inferior, es un número real que lo deja a su derecha. Por
otro lado, un conjunto acotado es un conjunto que puede incluirse en un intervalo (en el intervalo [c; k]
de acuerdo a nuestra definición)
A A
( ] ( ]
c c
Cota superior Cota inferior
Así como probamos que un número es cota superior de un conjunto, también puede probarse que cierto
número NO es cota superior del mismo. Para ver cómo proceder en este caso, tengamos en cuenta la
siguiente digresión, en la que recordamos cómo se procede para negar una proposición.
Digresión: ¿Cómo negar una proposición enunciada a partir de cuantificadores universales y
existenciales?
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Conjuntos acotados en IR
Algunas definiciones
Definición (cota superior e inferior de un conjunto):
• Un número c ∈ IR se dice que es una cota superior de un conjunto A ⊆ IR si verifica que
∀a ∈ A, a ≤ c.
Del mismo modo, se define lo que es una cota inferior de un conjunto, cambiando el signo menor o
igual, ≤, por el de mayor o igual, ≥:
• Un número c ∈ IR se dice que es una cota inferior de un conjunto A ⊆ IR si verifica que
∀a ∈ A, a ≤ c.
Estas definiciones dicen que, una cota superior de un conjunto es un número real que deja a su
izquierda al conjunto, mientras que una cota inferior, es un número real que lo deja a su derecha.
A A
( ] ( ]
c c
Cota superior Cota inferior
Como observación, cabe destacar que no todo conjunto tiene cotas superiores o inferiores. Como
expresa la definición, una cota superior de un conjunto, es un número real que es mayor o igual que
todos los elementos del conjunto, mientras que una cota inferior, es un número que tiene la
característica de ser menor o igual que todos los elementos de dicho conjunto.
Ejemplos de estas cuestiones que acabamos de mencionar, pueden ser los que mostramos a
continuación:
Si consideramos como conjunto A al intervalo A = (1; 7], se tiene que, por ejemplo,
c = 7 es una cota superior de A. Efectivamente, recordando la definición de intervalo, se tiene
que A = {x ∈ IR: 1 < x ≤ 7}, es decir que: si x ∈ A, entonces es
1<x≤7
con lo cual, si x ∈ A, verifica x ≤ 7. De este modo, resulta que:
∀x ∈ A, x ≤ 7
que es lo que hace (de acuerdo a la definición que tenemos de cota superior) que c = 7 sea una cota
superior del conjunto A.
De manera similar, puede verse que c = 9 también es cota superior de A. En efecto:
si x ∈ A, entonces es 1 < x ≤ 7, pero 7 ≤ 9, con lo cual, se tiene que:
si x ∈ A, entonces 1 < x ≤ 7 ≤ 9
de donde puede verse, finalmente, que
si x ∈ A, entonces x ≤ 9
1
, Conjuntos acotados en IR.
Como el elemento x con el que trabajamos es un representante cualquiera del conjunto A, queda
entonces probado que
∀x ∈ A, x ≤ 9
con lo cual, c = 9 también es cota superior de A.
Observar que el procedimiento que utilizamos para mostrar que c = 9 es cota superior de A, permite
inferir que también c = 15 ó c = 1500 también son cotas superiores de A. en realidad, vale que si un
conjunto tiene una cota superior, entonces tiene muchas cotas superiores (en realidad, tiene infinitas
cotas superiores), dado que cualquier número mayor que una cota superior dada, también será una cota
superior del conjunto. Esta situación puede expresarse como una propiedad, cuya demostración o
prueba es muy similar al procedimiento seguido anteriormente. Esa propiedad, puede plantearse como
un ejercicio, y es la que se expresa en el siguiente enunciado:
Ejercicio:
Probar que si c ∈ R es cota superior del conjunto A ⊆ R y d ∈ R es tal que d ≥ c, entonces d es cota
superior de A.
Una definición más…
Definición (conjunto acotado):
• Un conjunto A de números reales (A ⊆ IR) se dice acotado superiormente si tiene alguna cota
superior, es decir, si existe un número c ∈ IR que verifique que ∀a ∈ A, a ≤ c.
• Un conjunto A de números reales (A ⊆ IR) se dice acotado inferiormente si tiene alguna cota
inferior, es decir, si existe un número c ∈ IR que verifique que ∀a ∈ A, c ≤ a.
• Un conjunto A de números reales (A ⊆ IR) se dice acotado si es acotado superior e inferiormente, es
decir, si existen números reales c, k tales que ∀a ∈ A, c ≤ a ≤ k.
Estas definiciones dicen que, una cota superior de un conjunto es un número real que deja a su
izquierda al conjunto, mientras que una cota inferior, es un número real que lo deja a su derecha. Por
otro lado, un conjunto acotado es un conjunto que puede incluirse en un intervalo (en el intervalo [c; k]
de acuerdo a nuestra definición)
A A
( ] ( ]
c c
Cota superior Cota inferior
Así como probamos que un número es cota superior de un conjunto, también puede probarse que cierto
número NO es cota superior del mismo. Para ver cómo proceder en este caso, tengamos en cuenta la
siguiente digresión, en la que recordamos cómo se procede para negar una proposición.
Digresión: ¿Cómo negar una proposición enunciada a partir de cuantificadores universales y
existenciales?
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