Pequeña digresión sobre conjuntos y números reales
Sobre los conjuntos en general
En este apartado, definiremos lo que en Matemática entendemos por “intervalos”, nombre con el
que haremos referencia a cierto tipo de conjuntos de números reales que ya definiremos.
Antes que nada, es importante destacar que al definir en Matemática a un conjunto, podemos
hacerlo mostrando todos sus elementos (se llama definición del conjunto “por extensión”) o, de otro
modo, apelar a lo que se llama definición “por comprensión”. Para este último caso, necesitamos
destacar, centralmente, dos aspectos: uno es el universo en el que “viven” los elementos del
conjunto, y otro, la característica (o descripción o propiedad) que tienen dichos elementos, para que
sean sólo éstos (y ningún otro) los elementos que estén en este conjunto. En ambos casos, suelen
“encerrarse”, ya sean los elementos o su universo y característica, entre dos llaves: {…}.
Ejemplo del primer modo de definir un conjunto, sería el que sigue, en donde mostramos todos los
elementos del conjunto que llamamos A, y que está formado únicamente por los números 2, 5, 7 y
10:
A = {2; 5; 7; 10}
(los elementos del conjunto se separan entre sí con una coma o con un punto y coma).
Claramente, esta forma de definir a un conjunto sólo es útil cuando tiene una cantidad finita de
elementos. A veces, se la utiliza también cuando se quiere presentar un conjunto con infinitos
elementos, pero que entre ellos se observa una cierta “regularidad”, que se la indica con puntos
suspensivos que hacen notar que los elementos que siguen (o preceden) siguen un mismo patrón
para su generación. Tal es el ejemplo de los conjuntos de los números Naturales (N) o los enteros
(Z), que se los suele representar como:
N = {1; 2; 3; 4; . . .}
Z = {. . .; −3 ; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; . . .}
La forma de presentar a un conjunto definido por comprensión, puede resumirse en un modelo
como el que sigue:
A = {x U: P(x)}
donde el símbolo se lee “pertenece”, con U denotamos al universo en el que se considerarán a los
elementos del conjunto, y P(x) es la propiedad o característica que tiene o debiera tener el elemento
x para pertenecer al conjunto A.
Por ejemplo, en el conjunto A que definimos a continuación: A = {x N: −2 x 3}, se tiene que: el
“universo” U, en este caso, es el conjunto de los números naturales, mientras que la propiedad
P(x) que debe verificar un número natural x para pertenecer a este conjunto, es que sea un número
(natural) entre −2 y 3, incluyendo (si fuese posible) estos dos números, es decir, resulta que el
conjunto A en este caso no es otra cosa que A = {1; 2; 3} (los números menores que 1 no son
naturales).
En cambio, si se hubiese definido al conjunto B como B = {x Z: −2 x 3} tendríamos, en este
caso, que el universo U es el conjunto de los números enteros, y la condición P(x) que se le exige a
un número entero x para formar parte del conjunto, es la misma que en el ejemplo anterior: que sea
un número entre −2 y 3. En este caso, el conjunto B resulta ser, entonces:
B = {−2; −1; 0; 1; 2; 3}
Como una observación importante, es fundamental tener en cuenta cuál es el universo en el que se
consideran los elementos, porque son esos los que formarán parte del conjunto cuando satisfagan,
además, la condición que se le exige para formar parte del mismo·
, Sobre los intervalos en la recta real
En el contexto de los conjuntos numéricos que manejamos en el curso (Naturales, Enteros,
Racionales y Reales), la condición de número “consecutivo” y la de “anterior” o “precedente” de un
número no son aplicables más allá de los Naturales y los Enteros. Efectivamente, en el conjunto de
los números Racionales o Reales, no tiene sentido preguntarse, por ejemplo, quién es el número que
le sigue al número 2, porque cualquiera sea el número (Racional o Real) mayor que 2 que
consideremos, habrá dejado otro número entre él y el 2, debido a la densidad que tienen los
conjuntos Q y R de los números Racionales y Reales respectivamente. Es por eso que, si
consideramos a Q ó a R como universos en los ejemplos anteriores, no podríamos escribir a los
conjuntos A y B mostrando todos sus elementos como hicimos en los casos en que el universo fue
N ó Z. Como una forma de poder expresar de manera abreviada a todos los números reales que
hay entre dos números distintos, es que en Matemática se consideran los conjuntos que se llaman
intervalos. Los intervalos son conjuntos que expresan, entonces, a todos los números reales que
hay entre dos números reales fijos a y b (con a < b), y podrían o no incluir a éstos como parte del
conjunto.
En función de si contienen o no a éstos puntos extremos a ó b, los intervalos serán llamados
abiertos o cerrados.
La definición de los intervalos es la siguiente: dados dos números reales a y b, con a < b, se
definen:
El intervalo abierto de extremos a y b como el conjunto que se escribe (a; b) y se lo define
como:
(a; b) = {x IR: a < x < b}.
Observar que, en esta definición, el universo es U = IR, o sea, el intervalo abierto es un conjunto de
números reales que, en este caso, satisfacen la condición P(x) de estar comprendidos estrictamente
entre los números a y b.
Este conjunto, es el “segmento” de recta real que está formado por todos los números reales entre a
y b sin considerar a los extremos, es decir, en intervalo (a; b) no incluye ni al número a ni al
número b pero sí a todos los que están entre ellos. Para indicar este hecho de no poseer a los
extremos, es que se utilizan los paréntesis y el símbolo “<” (que se lee menor estricto) para definir
al intervalo abierto. Pueden representárselos geométricamente como un segmento de la siguiente
forma (el segmento con más grosor de línea):
( )
a b
(a; b)
En este caso en que los extremos no pertenecen al conjunto, también puede señalarse estos extremos
mediante un circulo “vacío”, como en el gráfico que sigue:
a b
En muchas ocasiones, se recurre a señalar el segmento mediante un tramo “rayado”, en vez de
utilizar el trazo grueso de la línea.
( )
a b
Sobre los conjuntos en general
En este apartado, definiremos lo que en Matemática entendemos por “intervalos”, nombre con el
que haremos referencia a cierto tipo de conjuntos de números reales que ya definiremos.
Antes que nada, es importante destacar que al definir en Matemática a un conjunto, podemos
hacerlo mostrando todos sus elementos (se llama definición del conjunto “por extensión”) o, de otro
modo, apelar a lo que se llama definición “por comprensión”. Para este último caso, necesitamos
destacar, centralmente, dos aspectos: uno es el universo en el que “viven” los elementos del
conjunto, y otro, la característica (o descripción o propiedad) que tienen dichos elementos, para que
sean sólo éstos (y ningún otro) los elementos que estén en este conjunto. En ambos casos, suelen
“encerrarse”, ya sean los elementos o su universo y característica, entre dos llaves: {…}.
Ejemplo del primer modo de definir un conjunto, sería el que sigue, en donde mostramos todos los
elementos del conjunto que llamamos A, y que está formado únicamente por los números 2, 5, 7 y
10:
A = {2; 5; 7; 10}
(los elementos del conjunto se separan entre sí con una coma o con un punto y coma).
Claramente, esta forma de definir a un conjunto sólo es útil cuando tiene una cantidad finita de
elementos. A veces, se la utiliza también cuando se quiere presentar un conjunto con infinitos
elementos, pero que entre ellos se observa una cierta “regularidad”, que se la indica con puntos
suspensivos que hacen notar que los elementos que siguen (o preceden) siguen un mismo patrón
para su generación. Tal es el ejemplo de los conjuntos de los números Naturales (N) o los enteros
(Z), que se los suele representar como:
N = {1; 2; 3; 4; . . .}
Z = {. . .; −3 ; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; . . .}
La forma de presentar a un conjunto definido por comprensión, puede resumirse en un modelo
como el que sigue:
A = {x U: P(x)}
donde el símbolo se lee “pertenece”, con U denotamos al universo en el que se considerarán a los
elementos del conjunto, y P(x) es la propiedad o característica que tiene o debiera tener el elemento
x para pertenecer al conjunto A.
Por ejemplo, en el conjunto A que definimos a continuación: A = {x N: −2 x 3}, se tiene que: el
“universo” U, en este caso, es el conjunto de los números naturales, mientras que la propiedad
P(x) que debe verificar un número natural x para pertenecer a este conjunto, es que sea un número
(natural) entre −2 y 3, incluyendo (si fuese posible) estos dos números, es decir, resulta que el
conjunto A en este caso no es otra cosa que A = {1; 2; 3} (los números menores que 1 no son
naturales).
En cambio, si se hubiese definido al conjunto B como B = {x Z: −2 x 3} tendríamos, en este
caso, que el universo U es el conjunto de los números enteros, y la condición P(x) que se le exige a
un número entero x para formar parte del conjunto, es la misma que en el ejemplo anterior: que sea
un número entre −2 y 3. En este caso, el conjunto B resulta ser, entonces:
B = {−2; −1; 0; 1; 2; 3}
Como una observación importante, es fundamental tener en cuenta cuál es el universo en el que se
consideran los elementos, porque son esos los que formarán parte del conjunto cuando satisfagan,
además, la condición que se le exige para formar parte del mismo·
, Sobre los intervalos en la recta real
En el contexto de los conjuntos numéricos que manejamos en el curso (Naturales, Enteros,
Racionales y Reales), la condición de número “consecutivo” y la de “anterior” o “precedente” de un
número no son aplicables más allá de los Naturales y los Enteros. Efectivamente, en el conjunto de
los números Racionales o Reales, no tiene sentido preguntarse, por ejemplo, quién es el número que
le sigue al número 2, porque cualquiera sea el número (Racional o Real) mayor que 2 que
consideremos, habrá dejado otro número entre él y el 2, debido a la densidad que tienen los
conjuntos Q y R de los números Racionales y Reales respectivamente. Es por eso que, si
consideramos a Q ó a R como universos en los ejemplos anteriores, no podríamos escribir a los
conjuntos A y B mostrando todos sus elementos como hicimos en los casos en que el universo fue
N ó Z. Como una forma de poder expresar de manera abreviada a todos los números reales que
hay entre dos números distintos, es que en Matemática se consideran los conjuntos que se llaman
intervalos. Los intervalos son conjuntos que expresan, entonces, a todos los números reales que
hay entre dos números reales fijos a y b (con a < b), y podrían o no incluir a éstos como parte del
conjunto.
En función de si contienen o no a éstos puntos extremos a ó b, los intervalos serán llamados
abiertos o cerrados.
La definición de los intervalos es la siguiente: dados dos números reales a y b, con a < b, se
definen:
El intervalo abierto de extremos a y b como el conjunto que se escribe (a; b) y se lo define
como:
(a; b) = {x IR: a < x < b}.
Observar que, en esta definición, el universo es U = IR, o sea, el intervalo abierto es un conjunto de
números reales que, en este caso, satisfacen la condición P(x) de estar comprendidos estrictamente
entre los números a y b.
Este conjunto, es el “segmento” de recta real que está formado por todos los números reales entre a
y b sin considerar a los extremos, es decir, en intervalo (a; b) no incluye ni al número a ni al
número b pero sí a todos los que están entre ellos. Para indicar este hecho de no poseer a los
extremos, es que se utilizan los paréntesis y el símbolo “<” (que se lee menor estricto) para definir
al intervalo abierto. Pueden representárselos geométricamente como un segmento de la siguiente
forma (el segmento con más grosor de línea):
( )
a b
(a; b)
En este caso en que los extremos no pertenecen al conjunto, también puede señalarse estos extremos
mediante un circulo “vacío”, como en el gráfico que sigue:
a b
En muchas ocasiones, se recurre a señalar el segmento mediante un tramo “rayado”, en vez de
utilizar el trazo grueso de la línea.
( )
a b
