Análisis Matemático I (10022)
Universidad Nacional de Luján
TRABAJO PRÁCTICO 8
ANEXO
Límites y Continuidad: Propiedades importantes
Algunos resultados útiles (Propiedades, Proposiciones, Teoremas…)
Damos a continuación una serie de enunciados que resultan de interés conocer para saber cómo
enfrentar la resolución de algunas actividades, y entender cómo se relacionan las distintas
propiedades que establecen “las reglas del juego” del límite y continuidad de funciones.
Estas proposiciones y teoremas que enunciaremos no serán demostradas en estas notas, pero pueden
encontrarse las demostraciones en muchos textos de Análisis Matemático o Cálculo Diferencial.
A partir de los enunciados que daremos, podremos generar algunas demostraciones que apelen a
ellos para validar las afirmaciones que se planteen en las distintas actividades.
Propiedades:
1) Si f es una función definida sobre un conjunto A = Dom(f) (salvo, eventualmente, en x0 ∈ A)
para la cual vale que lim0 0, entonces, existe un intervalo (a; b) ⊆ A, con x0 ∈ (a; b),
tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a; b) (salvo, quizás, en x0)
(esta propiedad dice que si una función tiene límite positivo, toda la función es positiva en algún
intervalo alrededor de x0).
2) Si f es una función definida sobre un conjunto A = Dom(f) (salvo, eventualmente, en x0 ∈ A)
para la cual existe y es finito el lim0 , y (a; b) ⊆ A es un intervalo que contiene a x0 en
el cual vale que para todo x ∈ (a; b) (salvo, quizás, en x0) es f (x) > 0, entonces, 0.
Vinculada a esta propiedad, podemos enunciar la que sigue, que tiene usos varios en el trabajo con
límites de funciones
3) Si f y g son funciones, ambas definidas sobre un conjunto A (salvo, eventualmente, en x0 ∈ A),
para las cuales existen los límites lim0 y lim0 y que, además, verifican que
f (x) < g (x) para todo x ∈ (a; b) (salvo, quizás, en x0), entonces, vale que
lim lim
0 0
De características similares a la enunciada como propiedad 1), puede agregarse la siguiente:
4) Si f es una función para la cual vale que lim 0, entonces, existe un número real
M para el que se verifica que, f (x) > 0 para todo x ≥ M (o sea, resulta que, f (x) > 0 para todo
x ∈ [M; +∞))
Del mismo modo, podemos establecer la siguiente propiedad:
5) Si f es una función para la cual se verifica que, f (x) > 0 para todo x ≥ M (o sea, f (x) > 0 para todo
x ∈ [M; +∞)) y existe el límite lim , entonces, vale que lim 0
En la misma línea que las anteriores, puede mencionarse la siguiente propiedad:
1
Universidad Nacional de Luján
TRABAJO PRÁCTICO 8
ANEXO
Límites y Continuidad: Propiedades importantes
Algunos resultados útiles (Propiedades, Proposiciones, Teoremas…)
Damos a continuación una serie de enunciados que resultan de interés conocer para saber cómo
enfrentar la resolución de algunas actividades, y entender cómo se relacionan las distintas
propiedades que establecen “las reglas del juego” del límite y continuidad de funciones.
Estas proposiciones y teoremas que enunciaremos no serán demostradas en estas notas, pero pueden
encontrarse las demostraciones en muchos textos de Análisis Matemático o Cálculo Diferencial.
A partir de los enunciados que daremos, podremos generar algunas demostraciones que apelen a
ellos para validar las afirmaciones que se planteen en las distintas actividades.
Propiedades:
1) Si f es una función definida sobre un conjunto A = Dom(f) (salvo, eventualmente, en x0 ∈ A)
para la cual vale que lim0 0, entonces, existe un intervalo (a; b) ⊆ A, con x0 ∈ (a; b),
tal que f (x) > 0 para todo x ∈ (a; b) (salvo, quizás, en x0)
(esta propiedad dice que si una función tiene límite positivo, toda la función es positiva en algún
intervalo alrededor de x0).
2) Si f es una función definida sobre un conjunto A = Dom(f) (salvo, eventualmente, en x0 ∈ A)
para la cual existe y es finito el lim0 , y (a; b) ⊆ A es un intervalo que contiene a x0 en
el cual vale que para todo x ∈ (a; b) (salvo, quizás, en x0) es f (x) > 0, entonces, 0.
Vinculada a esta propiedad, podemos enunciar la que sigue, que tiene usos varios en el trabajo con
límites de funciones
3) Si f y g son funciones, ambas definidas sobre un conjunto A (salvo, eventualmente, en x0 ∈ A),
para las cuales existen los límites lim0 y lim0 y que, además, verifican que
f (x) < g (x) para todo x ∈ (a; b) (salvo, quizás, en x0), entonces, vale que
lim lim
0 0
De características similares a la enunciada como propiedad 1), puede agregarse la siguiente:
4) Si f es una función para la cual vale que lim 0, entonces, existe un número real
M para el que se verifica que, f (x) > 0 para todo x ≥ M (o sea, resulta que, f (x) > 0 para todo
x ∈ [M; +∞))
Del mismo modo, podemos establecer la siguiente propiedad:
5) Si f es una función para la cual se verifica que, f (x) > 0 para todo x ≥ M (o sea, f (x) > 0 para todo
x ∈ [M; +∞)) y existe el límite lim , entonces, vale que lim 0
En la misma línea que las anteriores, puede mencionarse la siguiente propiedad:
1
