Funciones diferenciables. Diferencial total
Algunas cuestiones importantes
Sea = , ,…, . Si una definida en un abierto ⊆ tiene derivadas parciales
continuas en un entorno de entonces la es diferenciable en .
Si la es diferenciable en un punto entonces la función es continua en .
Si una función definida en un abierto ⊆ es derivable en = , ,…, entonces
existen las derivadas parciales de la función en , y la derivada es el gradiente de la función en :
´ =∇
En Análisis Matemático I estudiamos el concepto de diferencial de una función, recordemos que
conforme nos acercamos a un punto de la gráfica de una función derivable, menos distinguimos la
gráfica de su recta tangente y podemos aproximar el valor de la función mediante una función lineal.
El diferencial es el incremento que sufre la recta tangente al pasar de a , y además
= ´ .
Se puede aproximar el valor de la función en un próximo a haciendo:
≈ + ´ . −
Ahora desarrollamos la misma idea para más dimensiones.
Por ejemplo en conforme nos acercamos a un punto de una superficie de ecuación = , que
es la gráfica de una función derivable, la superficie se confunde con el plano tangente en ese punto y
podemos aproximar la función mediante una función lineal de dos variables (linealización), ésta es una
buena aproximación para los puntos cercanos al punto donde se considera el plano tangente.
, , =∇ , . ,
, = , . , = +
, ≈ , + − + −
Esta función lineal de dos variables que aproxima a la función nos brinda la ecuación del plano
tangente a la superficie en el punto , , , . Es decir, que la ecuación del plano tangente
que pasa por el punto = , , , de la gráfica de la función es:
= , + − + −
! ,"! ! ,"!
O también
= , + , − + " , −
Del mismo modo se puede generalizar la idea de una diferencial para funciones de más variables, por
ejemplo para una función derivable , , es diferencial es:
, , = , , . , , = + +
Ejemplo 1: Hallar el diferencial (o la diferencial total) de la función , =2 + − en el
punto 1,2
Primeramente calculamos el gradiente de la función dada:
Algunas cuestiones importantes
Sea = , ,…, . Si una definida en un abierto ⊆ tiene derivadas parciales
continuas en un entorno de entonces la es diferenciable en .
Si la es diferenciable en un punto entonces la función es continua en .
Si una función definida en un abierto ⊆ es derivable en = , ,…, entonces
existen las derivadas parciales de la función en , y la derivada es el gradiente de la función en :
´ =∇
En Análisis Matemático I estudiamos el concepto de diferencial de una función, recordemos que
conforme nos acercamos a un punto de la gráfica de una función derivable, menos distinguimos la
gráfica de su recta tangente y podemos aproximar el valor de la función mediante una función lineal.
El diferencial es el incremento que sufre la recta tangente al pasar de a , y además
= ´ .
Se puede aproximar el valor de la función en un próximo a haciendo:
≈ + ´ . −
Ahora desarrollamos la misma idea para más dimensiones.
Por ejemplo en conforme nos acercamos a un punto de una superficie de ecuación = , que
es la gráfica de una función derivable, la superficie se confunde con el plano tangente en ese punto y
podemos aproximar la función mediante una función lineal de dos variables (linealización), ésta es una
buena aproximación para los puntos cercanos al punto donde se considera el plano tangente.
, , =∇ , . ,
, = , . , = +
, ≈ , + − + −
Esta función lineal de dos variables que aproxima a la función nos brinda la ecuación del plano
tangente a la superficie en el punto , , , . Es decir, que la ecuación del plano tangente
que pasa por el punto = , , , de la gráfica de la función es:
= , + − + −
! ,"! ! ,"!
O también
= , + , − + " , −
Del mismo modo se puede generalizar la idea de una diferencial para funciones de más variables, por
ejemplo para una función derivable , , es diferencial es:
, , = , , . , , = + +
Ejemplo 1: Hallar el diferencial (o la diferencial total) de la función , =2 + − en el
punto 1,2
Primeramente calculamos el gradiente de la función dada:
