Derivadas parciales
Sea ( , ) una función definida en un abierto del plano , y el punto =( , ) tal que ∈ .
Dejando fijo se obtiene la función ( , ). Esta función depende sólo de la variable , si esta
función es derivable en = , entonces se dice que ( , ) es derivable parcialmente con respecto a
en el punto ( , ).
Sea ( , ), la derivada parcial con respecto a en el punto ( , ) se denota ( , ), , o
bien .
La derivada parcial ( , ) nos da la velocidad de crecimiento de la función ( , ) en el punto
( , ) en la dirección del eje x.
Gráficamente es la pendiente en el punto ( , ) de la curva determinada por la intersección de la
superficie = ( , ) con el plano = .
Ahora bien, dejando fijo se obtiene la función ( , ). Esta función depende sólo de la variable ,
si esta función es derivable en = , entonces se dice que ( , ) es derivable parcialmente con
respecto a en el punto ( , ).
Sea ( , ), la derivada parcial con respecto a en el punto ( , ) se denota ( , ), , o
bien .
La derivada parcial ( , ) nos da la velocidad de crecimiento de la función ( , ) en el punto
( , ) en la dirección del eje y.
Gráficamente es la pendiente en el punto ( , ) de la curva determinada por la intersección de la
superficie = ( , ) con el plano = .
, Ejemplo 1: Si ( , ) = 4 − −2 , calcular (1,2) y (1,2)
Para hallar , consideramos a la variable como una constante y derivamos ( , ) con respecto a .
( , ) = −2
Una vez calculada ( , ) la evaluamos en el punto pedido.
(1,2) = −2.1 = −2
Para hallar , consideramos a la variable como una constante y derivamos ( , ) con respecto a .
( , ) = −4
Una vez calculada ( , ) la evaluamos en el punto pedido.
(1,2) = −4.2 = −8
Ejemplo 2: Sea ( , ) = sin( ), calcular y
Vamos a derivar de la misma forma que en el ejemplo anterior, pero ahora usando la regla de la
cadena:
= cos( ). = cos( ).
Ejemplo 3: Sea ( , ) = + −2 , calcular ( , )y ( , )
( , )=3 +2
( , )= 3 −4
Sea ( , ) una función definida en un abierto del plano , y el punto =( , ) tal que ∈ .
Dejando fijo se obtiene la función ( , ). Esta función depende sólo de la variable , si esta
función es derivable en = , entonces se dice que ( , ) es derivable parcialmente con respecto a
en el punto ( , ).
Sea ( , ), la derivada parcial con respecto a en el punto ( , ) se denota ( , ), , o
bien .
La derivada parcial ( , ) nos da la velocidad de crecimiento de la función ( , ) en el punto
( , ) en la dirección del eje x.
Gráficamente es la pendiente en el punto ( , ) de la curva determinada por la intersección de la
superficie = ( , ) con el plano = .
Ahora bien, dejando fijo se obtiene la función ( , ). Esta función depende sólo de la variable ,
si esta función es derivable en = , entonces se dice que ( , ) es derivable parcialmente con
respecto a en el punto ( , ).
Sea ( , ), la derivada parcial con respecto a en el punto ( , ) se denota ( , ), , o
bien .
La derivada parcial ( , ) nos da la velocidad de crecimiento de la función ( , ) en el punto
( , ) en la dirección del eje y.
Gráficamente es la pendiente en el punto ( , ) de la curva determinada por la intersección de la
superficie = ( , ) con el plano = .
, Ejemplo 1: Si ( , ) = 4 − −2 , calcular (1,2) y (1,2)
Para hallar , consideramos a la variable como una constante y derivamos ( , ) con respecto a .
( , ) = −2
Una vez calculada ( , ) la evaluamos en el punto pedido.
(1,2) = −2.1 = −2
Para hallar , consideramos a la variable como una constante y derivamos ( , ) con respecto a .
( , ) = −4
Una vez calculada ( , ) la evaluamos en el punto pedido.
(1,2) = −4.2 = −8
Ejemplo 2: Sea ( , ) = sin( ), calcular y
Vamos a derivar de la misma forma que en el ejemplo anterior, pero ahora usando la regla de la
cadena:
= cos( ). = cos( ).
Ejemplo 3: Sea ( , ) = + −2 , calcular ( , )y ( , )
( , )=3 +2
( , )= 3 −4
