Sumario Curvas y longitud de curva + coordenadas polares

Curvas regulares. Longitud de curva

Sea la curva ( ) ∈ definida para ∈ , , ésta será regular si:
,
´( ) ≠ 0 en ( , )
- Las funciones componentes tienen derivadas continuas en


A distintos valores de ∈ ( , ) le corresponden distintos puntos de la curva
-
-


Si ( ) es regular, la longitud de la curva se calcula:




= ‖ ´( )‖
vectorial = ( ), ∈ ,
Si la curva está escrita en su ecuación




!
= 1 + ( ´( ))
además = ( ), ∈ , "
Si la curva está en el plano ,y
Esta fórmula se deduce de la anterior



( ) = (cos , sin , ) desde el punto (1, 0, 0) hasta el
punto (1, 0, 2))
Ejemplo 1: Calcular la longitud de la hélice


El arco desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 2)) se describe para 0 ≤ ≤ 2), puesto que los


cos = 1 cos = 1
extremos del intervalo de variación del parámetro surgen de resolver los sistemas:

+ sin = 0 , + sin = 0 ,
=0 = 2)


Debemos encontrar la longitud del arco:

, Calculamos la norma del vector tangente:
‖ ´( )‖ = ‖(− sin , cos , 1)‖ = (− sin ) + (cos ) + 1 = √ /0 + 12 + 1 = √2
Entonces, la longitud de la curva pedida es:

= 35 ‖ ´( )‖ = 35 √2 = 2√2)
4 4




Ejemplo 2: Calcular la longitud de la curva ( ) = ( , ,6 ) en el intervalo 0,2 .
√ 6


En primer lugar calculamos la norma del vector tangente:

‖ ´( )‖ = 781, √2 , )97 = :(1) + 8√2 9 + ( ) = √1 + 2 + ; = (1 + ) = |1 + |

En el intervalo dado |1 + |=1+


Entonces, la longitud de la curva pedida es:

= 35 ‖ ´( )‖ = 35 (1 + ) = ,= + ?@ = 2 + =
> A ;
6 6
5 6




Ejemplo 3: Calcular la longitud de la curva = 6
√ 6 en el intervalo 0,3 .

( ) = ( , √ 6)
6
Primeramente elegimos una parametrización de la curva, por ejemplo: donde

∈ 0, 3 .
Entonces debemos calcular la longitud del arco: