Sumario Parametrización de curvas

Parametrización de curvas

Ecuaciones de una curva plana


• A partir de la ecuación cartesiana se puede obtener la ecuación polar, siempre que se pueda
despejar .

= +
, =0 ⟶ = cos ⟶ =
= sin


Ejemplo 1: Escribir la ecuación polar a partir de la ecuación cartesiana de la curva + −1 =1
Sabemos que se trata de una circunferencia de centro 0, 1 y radio 1. Desarrollamos el cuadrado y
obtenemos + − 2 + 1 = 1, es decir + − 2 = 0.
Entonces + −2 =0 ⇔ − 2 sin =0 ⇔ . − 2 sin = 0.
La ecuación polar de la circunferencia dada es = 2 sin , 0 ≤ ≤ .


• A partir de la ecuación polar de una curva plana se puede (no siempre) escribir la ecuación
cartesiana de la curva.

⎡ = + ⎤
⎢cos = ⎥
= ⟶ ⎢ + ⎥ ⟶ , =0
⎢ ⎥
⎢ sin = ⎥
⎣ + ⎦


= %&' ( 0< <
$
Ejemplo 2: Escribir la ecuación cartesiana de la curva .

La ecuación dada puede escribirse sin = 1. Utilizando las igualdades mencionadas, tenemos
+ . = 1. Por lo tanto la ecuación cartesiana de la curva es = 1.
*
+, -* ,



• A partir de la ecuación polar se pueden obtener las ecuaciones paramétricas de la curva.
= cos = cos 1
= ⟶ . / ⟶ 0 2≤ ≤3
= sin = sin


=
$
%&' (
Ejemplo 3: Escribir las ecuaciones paramétricas de la curva .

Teniendo en cuenta las igualdades anteriores, podemos escribir:

= %&' ( cos =
$ 56% (
= cos 1 %&' ( 1
0 4 0< <
= sin = %&' ( sin
$
=1

, Ejemplo 4: Escribir la ecuación cartesiana y la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva
= 2 sin =
7
8
en el punto correspondiente a

La curva viene dada en forma polar, para resolver este problema es conveniente escribirla en forma
paramétrica o bien en forma vectorial:


Ecuación paramétrica Ecuación vectorial

= cos 1
0
= sin 9 = ,

= 2 sin cos 1
0
= 2 sin sin 9 = 2 sin cos , 2 :;<

El punto de la curva por el que pasa la recta tangente es 9 = 8 > = = , >.
7 √8 8


El vector tangente a la curva en cualquier punto de la misma es 9´ = 2AB: − 2:;< ,

4 sin AB: y evaluado en el argumento dado obtenemos 9´ = 8 > = D−1, √3 F.
7


Entonces la ecuación vectorial de la recta tangente a la curva en el punto dado es:

9 G == , > + GD−1, √3 F.
√8 8


Para escribir esta recta en forma cartesiana hacemos:

⎧ √3 ⎧ √3
⎪ −G = ⎪ G= −
2 ⟶ 2 ⟶ = 3 − √3 1
⎨ 3 ⎨G = 1 L − 3M
⎪ = + √3G ⎪ 2
⎩ 2 ⎩ √3




Longitud de curvas en coordenadas polares


Ecuación de la curva Longitud

T,
9=9 G , G ∈ OG$ , G P : = Q ‖9´ G ‖SG
TU
Vectorial

V
:=Q 1+ ´ S
Cartesiana = , ∈ O2, 3P W


(,
= , ∈ O $, P :=Q O P +O ´ P S
(U
Polar