Funciones Vectoriales
Hasta ahora vimos funciones escalares del tipo : → , como:
: → / ( , , )= + +2 donde a cada terna ( , , ) le corresponde un único número
real, por ejemplo (1, 1, 1) = 4, ó
: → / ( , )=4− − donde a cada par ( , ) le corresponde un único número real,
por ejemplo (1, 1) = 2.
Ahora vamos a ver funciones que asignan como imagen vectores de , es decir funciones
vectoriales:
: →
donde a cada punto (o vector) de se asocia con un punto (o vector) de ,es decir:
=( , ,…, )∈ : → tal que
( )
Sea , se llama función vectorial a la función
( )
( )=" $
⋮
( )
(en particular si % = 1, la función asigna un número y suele llamarse función escalar)
Ejemplo 1
: → / ( , )=& ' donde a cada vector de
+
le corresponde un único vector de
3
, por ejemplo (1, 3) = )1*. La imagen es un vector de
4
.
+
Ejemplo 2
: → / ( , )=+
− , donde a cada vector de le corresponde un único vector de
2
, por ejemplo (1, 1) = + ,. La imagen es un vector de
0
.
Dada : → , en el caso que % = . se dice que la función vectorial es un campo vectorial.
, Matriz jacobiana
( )
( )
Dada ( ) = " $, ( ) será diferenciable si existe una matriz / de % ., tal que:
⋮
( )
4 4
…
∇ ( ) ⎛4 4 ⎞
∇ ( ) ⎜4 …
4 ⎟
/=" $ = ⎜4 4 ⎟
⋮ ⎜ ⎟
∇ ( ) ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟
4 4
…
⎝4 4 ⎠
La matriz / está formada por las derivadas parciales de las componentes de . Esta matriz / recibe el
/ = ´( ).
nombre de matriz jacobiana. Si estas derivadas son funciones elementales se puede asegurar que
( ) será diferenciable en todo punto de un abierto 9, si cada una de las componentes de la función es
Aclaración:
diferenciable en 9.
Ejemplo 3
: → / ( , )=& '
+
Calcular la derivada de la función
( , )= , ( , )= y ( , )= + , entonces:
4 4
Como está compuesta por
∇ ( , ) ⎛4 4 ⎞
4 4 2
´( , ) = &∇ ( , )' = ⎜
⎜4
⎟=)
⎟ 1 0*
⎜ 4 ⎟
∇ ( , ) 1 1
4 4
⎝4 4 ⎠
Como : → , entonces ´( ) es una matriz de 3 2.
: → , en el caso que % = . (campo vectorial) , la matriz ´( ) es una matriz cuadrada
de . . cuyo determinante tiene el nombre de jacobiano.
Dada
Hasta ahora vimos funciones escalares del tipo : → , como:
: → / ( , , )= + +2 donde a cada terna ( , , ) le corresponde un único número
real, por ejemplo (1, 1, 1) = 4, ó
: → / ( , )=4− − donde a cada par ( , ) le corresponde un único número real,
por ejemplo (1, 1) = 2.
Ahora vamos a ver funciones que asignan como imagen vectores de , es decir funciones
vectoriales:
: →
donde a cada punto (o vector) de se asocia con un punto (o vector) de ,es decir:
=( , ,…, )∈ : → tal que
( )
Sea , se llama función vectorial a la función
( )
( )=" $
⋮
( )
(en particular si % = 1, la función asigna un número y suele llamarse función escalar)
Ejemplo 1
: → / ( , )=& ' donde a cada vector de
+
le corresponde un único vector de
3
, por ejemplo (1, 3) = )1*. La imagen es un vector de
4
.
+
Ejemplo 2
: → / ( , )=+
− , donde a cada vector de le corresponde un único vector de
2
, por ejemplo (1, 1) = + ,. La imagen es un vector de
0
.
Dada : → , en el caso que % = . se dice que la función vectorial es un campo vectorial.
, Matriz jacobiana
( )
( )
Dada ( ) = " $, ( ) será diferenciable si existe una matriz / de % ., tal que:
⋮
( )
4 4
…
∇ ( ) ⎛4 4 ⎞
∇ ( ) ⎜4 …
4 ⎟
/=" $ = ⎜4 4 ⎟
⋮ ⎜ ⎟
∇ ( ) ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟
4 4
…
⎝4 4 ⎠
La matriz / está formada por las derivadas parciales de las componentes de . Esta matriz / recibe el
/ = ´( ).
nombre de matriz jacobiana. Si estas derivadas son funciones elementales se puede asegurar que
( ) será diferenciable en todo punto de un abierto 9, si cada una de las componentes de la función es
Aclaración:
diferenciable en 9.
Ejemplo 3
: → / ( , )=& '
+
Calcular la derivada de la función
( , )= , ( , )= y ( , )= + , entonces:
4 4
Como está compuesta por
∇ ( , ) ⎛4 4 ⎞
4 4 2
´( , ) = &∇ ( , )' = ⎜
⎜4
⎟=)
⎟ 1 0*
⎜ 4 ⎟
∇ ( , ) 1 1
4 4
⎝4 4 ⎠
Como : → , entonces ´( ) es una matriz de 3 2.
: → , en el caso que % = . (campo vectorial) , la matriz ´( ) es una matriz cuadrada
de . . cuyo determinante tiene el nombre de jacobiano.
Dada
