Significado geométrico del vector gradiente
El vector gradiente resulta importante de varias formas distintas:
Consideremos una función de tres variables : → , = , , y un punto de su dominio
= , , .
La ecuación de la superficie de nivel de la función que pasa por es = . Ésta es la
ecuación de la superficie de nivel de la función.
El vector gradiente ∇ , , aplicado en es normal a la superficie de nivel de la función que
pasa por . Además ∇ , , proporciona la dirección del incremento más rápido de en .
Ejemplo 1: Dada la función , , = , hallar el gradiente de en el punto 1, 2, 1 y
encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a la
superficie de nivel de que pasa por el punto dado.
La ecuación de la superficie de nivel es
=
, , = 1, 2, 1
=
Calculamos el gradiente pedido:
∇ , , = , , ∇ 1, 2, 1 = , ,2
El vector ∇ 1, 2, 1 = , ,2 es normal a la superficie en el punto = 1, 2, 1 , por lo tanto
es normal al plano tangente a la superficie en ese punto y también es la dirección de la recta normal a
la superficie en ese punto.
, La ecuación cartesiana del plano tangente es:
. = .
, , . , ,2 = 1, 2, 1 . , ,2
+ +2 =5
La ecuación vectorial de la recta normal es:
= +
= 1, 2, 1 + , ,2
De manera similar, consideremos una función de dos variables : → , = , y un punto
de su dominio = , .
La ecuación de la curva de nivel de la función que pasa por es = . Ésta es la ecuación
de la curva de nivel de la función.
El vector gradiente ∇ , aplicado en es normal a la curva de nivel de la función que pasa
por . Además ∇ , proporciona la dirección del incremento más rápido de en .
El vector gradiente resulta importante de varias formas distintas:
Consideremos una función de tres variables : → , = , , y un punto de su dominio
= , , .
La ecuación de la superficie de nivel de la función que pasa por es = . Ésta es la
ecuación de la superficie de nivel de la función.
El vector gradiente ∇ , , aplicado en es normal a la superficie de nivel de la función que
pasa por . Además ∇ , , proporciona la dirección del incremento más rápido de en .
Ejemplo 1: Dada la función , , = , hallar el gradiente de en el punto 1, 2, 1 y
encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a la
superficie de nivel de que pasa por el punto dado.
La ecuación de la superficie de nivel es
=
, , = 1, 2, 1
=
Calculamos el gradiente pedido:
∇ , , = , , ∇ 1, 2, 1 = , ,2
El vector ∇ 1, 2, 1 = , ,2 es normal a la superficie en el punto = 1, 2, 1 , por lo tanto
es normal al plano tangente a la superficie en ese punto y también es la dirección de la recta normal a
la superficie en ese punto.
, La ecuación cartesiana del plano tangente es:
. = .
, , . , ,2 = 1, 2, 1 . , ,2
+ +2 =5
La ecuación vectorial de la recta normal es:
= +
= 1, 2, 1 + , ,2
De manera similar, consideremos una función de dos variables : → , = , y un punto
de su dominio = , .
La ecuación de la curva de nivel de la función que pasa por es = . Ésta es la ecuación
de la curva de nivel de la función.
El vector gradiente ∇ , aplicado en es normal a la curva de nivel de la función que pasa
por . Además ∇ , proporciona la dirección del incremento más rápido de en .
