Aplicación del teorema de Green al estudio de campos vectoriales planos
Recordemos algunas cuestiones:
es conservativo en un abierto conexo, si y sólo si ∃ : ∇
esto quiere decir que no depende de la curva
Si es conservativo
que se elija, el valor de la integral no varía.
0
´ es simétrica
Si es central en un abierto conexo, entonces es conservativo en ese abierto conexo.
Si es homogéneo en un abierto conexo, de grado 1 y además ´ es simétrica, entonces
es conservativo en ese abierto conexo.
Campos planos
Se llaman campos planos a aquellos campos de , es decir de la forma , , , ,
Definición
Un abierto conexo de es simplemente conexo si cualquier poligonal simple cerrada, contenida
en , es la frontera de un dominio regular contenido completamente en .
Abierto simplemente conexo
Teorema
Sea , , , un campo plano donde las funciones y son continuas, con derivadas
parciales primeras continuas en un abierto simplemente conexo del plano, y además ´ es
simétrica (es decir ), entonces es conservativo en .
, Ejemplo 1
Examinar si el campo , es conservativo en todo
El campo está definido en todo , que es un abierto simplemente conexo.
Vemos que .
Recordemos que
Si es conservativo en un abierto conexo , entonces la matriz jacobiana ´ es simétrica.
Vale también la contrarrecíproca:
Si la matriz jacobiana ´ no es simétrica, entonces el campo no es conservativo en .
En nuestro caso la matriz jacobiana no es simétrica, ya que . Entonces el campo no es
conservativo en .
Ejemplo 2
Examinar si el campo , es conservativo en todo
El campo está definido en todo , que es un abierto simplemente conexo.
+
+
Vemos que
Teniendo en cuenta que , un campo plano donde las funciones que lo componen son
continuas, con derivadas parciales primeras continuas en , que es un abierto simplemente conexo, y
además ´ es simétrica (es decir ), entonces es conservativo en todo .
Ejemplo 3
, " ,6 √ & sobre el arco de cicloide ' ( ( sin (, 1 cos ( ,
#
√
Integrar el campo
. ≤ ( ≤ 2.
Para resolver este problema, veremos si el campo es conservativo y, en caso afirmativo calcularemos
un potencial para calcular la integral pedida rápidamente haciendo la diferencia entre el potencial
evaluado en el punto final y el potencial evaluado en el punto inicial.
El campo está definido para > 0, que es un abierto simplemente
conexo.
Recordemos algunas cuestiones:
es conservativo en un abierto conexo, si y sólo si ∃ : ∇
esto quiere decir que no depende de la curva
Si es conservativo
que se elija, el valor de la integral no varía.
0
´ es simétrica
Si es central en un abierto conexo, entonces es conservativo en ese abierto conexo.
Si es homogéneo en un abierto conexo, de grado 1 y además ´ es simétrica, entonces
es conservativo en ese abierto conexo.
Campos planos
Se llaman campos planos a aquellos campos de , es decir de la forma , , , ,
Definición
Un abierto conexo de es simplemente conexo si cualquier poligonal simple cerrada, contenida
en , es la frontera de un dominio regular contenido completamente en .
Abierto simplemente conexo
Teorema
Sea , , , un campo plano donde las funciones y son continuas, con derivadas
parciales primeras continuas en un abierto simplemente conexo del plano, y además ´ es
simétrica (es decir ), entonces es conservativo en .
, Ejemplo 1
Examinar si el campo , es conservativo en todo
El campo está definido en todo , que es un abierto simplemente conexo.
Vemos que .
Recordemos que
Si es conservativo en un abierto conexo , entonces la matriz jacobiana ´ es simétrica.
Vale también la contrarrecíproca:
Si la matriz jacobiana ´ no es simétrica, entonces el campo no es conservativo en .
En nuestro caso la matriz jacobiana no es simétrica, ya que . Entonces el campo no es
conservativo en .
Ejemplo 2
Examinar si el campo , es conservativo en todo
El campo está definido en todo , que es un abierto simplemente conexo.
+
+
Vemos que
Teniendo en cuenta que , un campo plano donde las funciones que lo componen son
continuas, con derivadas parciales primeras continuas en , que es un abierto simplemente conexo, y
además ´ es simétrica (es decir ), entonces es conservativo en todo .
Ejemplo 3
, " ,6 √ & sobre el arco de cicloide ' ( ( sin (, 1 cos ( ,
#
√
Integrar el campo
. ≤ ( ≤ 2.
Para resolver este problema, veremos si el campo es conservativo y, en caso afirmativo calcularemos
un potencial para calcular la integral pedida rápidamente haciendo la diferencia entre el potencial
evaluado en el punto final y el potencial evaluado en el punto inicial.
El campo está definido para > 0, que es un abierto simplemente
conexo.
