Sumario Cambio de coordenadas en integrales triples

Cambio de coordenadas en las Integrales Triples


En una integral triple ∭ , , se pueden cambiar las variables , y por otras , y
mediante una transformación del tipo:
= , ,
= , ,
= , ,
en el que se verifiquen las siguientes condiciones:
Las funciones = , , , = , , , = , , tienen derivadas parciales primeras
continuas en un abierto del espacio .
- El jacobiano , , es distinto de cero en todo punto del abierto del espacio .
- A puntos distintos del espacio le corresponden puntos distintos del espacio , y a un
dominio ´ del espacio la transformación le hace corresponder un dominio del espacio
.
Entonces:

, , = , , , , , , , , | , , |
´




Aclaración: El Jacobiano de la transformación = , , , = , , , = , , es:


∇ , ,
, , = ∇ , , =
∇ , ,




Coordenadas esféricas


En una integral triple ∭ , , vamos a realizar un cambio de coordenadas mediante la
transformación:
= , , = cos sin
= , , = sin sin
= , , = cos
donde , y son las coordenadas esféricas del punto , , .

, El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares.




Se utiliza para determinar la posición en el espacio de un
punto mediante la distancia polar ! ≥ 0 y dos ángulos:


Longitud: $, es el ángulo formado por el plano = 0 y el
plano que contiene al eje y al punto % −∞ < <∞ .


Colatitud: ), es el ángulo formado por el eje y el vector
*% 0 ≤ ≤, .




Utilizando la relación pitagórica, se puede deducir que =- . + . + ..

Además, el Jacobiano de esta transformación es:


∇ , , 123 cos − sin sin cos 345
, , = ∇ , , = = 0 sin cos cos 345 sin sin 0
∇ , , − sin 0 cos


= .
sin


Como 0 ≤ ≤ ,, sin ≥ 0, por lo tanto | , , |=| .
sin | = .
sin .
Entonces

, , = cos sin , sin sin , cos .
sin
´



Ejemplo 1: Calcular ∭ 6 -7 =< , , : + + ≤ 9, ≥ 0, ≥ 0,
8 9: 8 9; 8 . . .
en
≥ 0?




El dominio es el octavo de esfera centrada en origen y de
radio 3 que está situada en el primer octante: