Sumario Formas diferenciales lineales

Formas diferenciales lineales

Sea el campo , = , , , definido en un abierto de y una curva plana =
, ∈ , contenida en el mismo abierto de . Hemos visto que la integral del campo
sobre la curva es, por definición:

= . ´

Es decir,

. ´ = , . ´ , ´ =


= , , , . ´ , ´ =


= , ´ + , ´ =


= , + ,



Definimos una forma diferencial lineal como una expresión del tipo = ! ", # $" + % ", # $# .
Entonces

= , + , = , + , = &




Ejemplo 1: Calcular la integral de la forma diferencial lineal & = − sobre el arco de
circunferencia + = 4 desde el punto ) = 2, 0 hasta el punto , = 0, 2 en sentido
antihorario.


El campo asociado a la f.d.l. es = ,− . Para calcular la integral pedida se podría proceder,
como vimos anteriormente, calculando la integral del campo asociado sobre la curva dada, pero lo
haremos mediante la forma diferencial lineal dada, recordando siempre controlar el sentido de
integración y el de la trayectoria de la curva.


En este caso vamos a parametrizar la curva:
3
= 2 cos , 2 sin ∈ 20, 4
2
= 2 cos = −2 sin 6
De lo que se deduce que 5
= 2 sin = 2 cos

, Entonces
78 78
&= − = 4 cos −2 sin − 4 sin cos 2 cos =
9 9
78 78 78 78
;<= @ 16
= −8;<= sin − 8;<= sin = −16 ;<= sin = 16 6 B =−
9 9 9 3 9 3




Ejemplo 2: Calcular la integral de la forma diferencial lineal & = C D sobre el arco de curva
= log desde el punto ) = C, 1 hasta el punto , = 1, 0


Parametrizamos la curva y designamos las correspondientes funciones e para calcular la
integral pedida:


= , log ∈ 1, C


= =
De lo que se deduce que G = log H 6
=
I


H
N N @
1 C@
&= CD =− C KLM I =− = 6O PB = −
J J H H 3 N 3 3




Todos estos conceptos se extienden al caso de una f.d.l. en tres variables:
&= , ,Q + , ,Q +ℎ , ,Q Q




Ejemplo 3: Calcular la integral de la forma diferencial lineal & = + Q +Q Q sobre la
curva = , , @ , ∈ 0,1


= =
S = =2 6
Q= @
Q=3
H
H U
5 27
&= + Q +Q Q= @
+2 T
+3 T
= 6O + X
PB =
9 4 7 9
28