Diferenciales exactas
Definición
es una diferencial exacta si existe una función tal que su diferencial total coincida con .
Supongamos que tenemos una forma diferencial lineal
= , , + , , +ℎ , ,
donde , , , , , ,ℎ , , son funciones continuas en un abierto de . Ésta forma
diferencial lineal será exacta si existe una función , , continua, con derivadas parciales
primeras continuas en el mismo abierto de , tal que = , es decir
= , , = , , =ℎ , ,
Por ejemplo la forma diferencial lineal =2 +2 +2 es una forma diferencial exacta, ya
que el diferencial total de la función , , = +2 + = + + =
2 +2 +2 coincide con .
• Si es una forma diferencial exacta, se dice que la función , , es una primitiva de .
• Si es una forma diferencial exacta, se dice que el campo asociado a ella
= , , , , , ,ℎ , ,
es conservativo.
• Si el campo = , , , , , ,ℎ , , es conservativo, se dice que la función
, , es un potencial del campo . Nótese que =∇ .
Teoremas importantes
• Si existe una función potencial , , en un abierto conexo , entonces existen infinitos
potenciales, que difieren de , , en una constante.
Ejemplo 1:
El campo = 2 , 2, 2 es conservativo porque existe , , = +2 + tal que =∇ .
Pero para cualquier ∈ , los potenciales , , = +2 + + también verifican =∇ .
, • Si es conservativo en un abierto conexo , y los puntos y dos puntos del abierto ,
entonces cualquiera sea la trayectoria ! que vaya desde hasta resulta:
" = −
$
donde es el potencial del campo.
Este teorema es muy importante porque nos indica que si el campo es conservativo, no importa la
curva sobra la que se integra, mientras que se conserve el punto de partida y el de llegada.
Ejemplo 2: Calcular la integral del campo = 2 , 2, 2 sobre la curva ! % = cos %, sin %, % ,
0≤%≤-
El campo = 2 , 2, 2 es conservativo porque existe , , = +2 + tal que =∇ .
Si % = 0, = cos 0, sin 0, 0 = 1, 0 ,0 /%0. 121 134 → = 1, 0 ,0 = 1
Si % = -, = cos -, sin -, - = −1, 0, - /%0. 1234 → = −1, 0, - = 1 + -
Entonces
" = − = −1, 0, - − 1, 0 ,0 = 1 + - − 1 = -
$
• Si es conservativo en un abierto conexo , la integral del campo se anula sobre cualquier
trayectoria cerrada contenida en :
6 =0
Ejemplo 3: Calcular la integral del campo = 2 , 2, 2 sobre la curva ! % = cos %, sin %, 5 ,
0 ≤ % ≤ 2-
El campo = 2 , 2, 2 es conservativo porque existe , , = +2 + tal que =∇ .
La curva ! % es una curva cerrada (el punto final coincide con el punto inicial), por lo tanto:
6 =0
• Si 8 es conservativo en un abierto conexo , entonces la matriz jacobiana ´ 8 es
simétrica
Ejemplo 4: El campo = 2 , 2, 2 es conservativo porque existe , , = +2 + tal
que = ∇ . La matriz jacobiana es simétrica:
2 0 0
´ 8 =: ; = <0 0 0=
ℎ ℎ ℎ 0 0 2
Definición
es una diferencial exacta si existe una función tal que su diferencial total coincida con .
Supongamos que tenemos una forma diferencial lineal
= , , + , , +ℎ , ,
donde , , , , , ,ℎ , , son funciones continuas en un abierto de . Ésta forma
diferencial lineal será exacta si existe una función , , continua, con derivadas parciales
primeras continuas en el mismo abierto de , tal que = , es decir
= , , = , , =ℎ , ,
Por ejemplo la forma diferencial lineal =2 +2 +2 es una forma diferencial exacta, ya
que el diferencial total de la función , , = +2 + = + + =
2 +2 +2 coincide con .
• Si es una forma diferencial exacta, se dice que la función , , es una primitiva de .
• Si es una forma diferencial exacta, se dice que el campo asociado a ella
= , , , , , ,ℎ , ,
es conservativo.
• Si el campo = , , , , , ,ℎ , , es conservativo, se dice que la función
, , es un potencial del campo . Nótese que =∇ .
Teoremas importantes
• Si existe una función potencial , , en un abierto conexo , entonces existen infinitos
potenciales, que difieren de , , en una constante.
Ejemplo 1:
El campo = 2 , 2, 2 es conservativo porque existe , , = +2 + tal que =∇ .
Pero para cualquier ∈ , los potenciales , , = +2 + + también verifican =∇ .
, • Si es conservativo en un abierto conexo , y los puntos y dos puntos del abierto ,
entonces cualquiera sea la trayectoria ! que vaya desde hasta resulta:
" = −
$
donde es el potencial del campo.
Este teorema es muy importante porque nos indica que si el campo es conservativo, no importa la
curva sobra la que se integra, mientras que se conserve el punto de partida y el de llegada.
Ejemplo 2: Calcular la integral del campo = 2 , 2, 2 sobre la curva ! % = cos %, sin %, % ,
0≤%≤-
El campo = 2 , 2, 2 es conservativo porque existe , , = +2 + tal que =∇ .
Si % = 0, = cos 0, sin 0, 0 = 1, 0 ,0 /%0. 121 134 → = 1, 0 ,0 = 1
Si % = -, = cos -, sin -, - = −1, 0, - /%0. 1234 → = −1, 0, - = 1 + -
Entonces
" = − = −1, 0, - − 1, 0 ,0 = 1 + - − 1 = -
$
• Si es conservativo en un abierto conexo , la integral del campo se anula sobre cualquier
trayectoria cerrada contenida en :
6 =0
Ejemplo 3: Calcular la integral del campo = 2 , 2, 2 sobre la curva ! % = cos %, sin %, 5 ,
0 ≤ % ≤ 2-
El campo = 2 , 2, 2 es conservativo porque existe , , = +2 + tal que =∇ .
La curva ! % es una curva cerrada (el punto final coincide con el punto inicial), por lo tanto:
6 =0
• Si 8 es conservativo en un abierto conexo , entonces la matriz jacobiana ´ 8 es
simétrica
Ejemplo 4: El campo = 2 , 2, 2 es conservativo porque existe , , = +2 + tal
que = ∇ . La matriz jacobiana es simétrica:
2 0 0
´ 8 =: ; = <0 0 0=
ℎ ℎ ℎ 0 0 2
