Integración sobre curvas
Curvas y trayectorias
Una curva = ( ), o bien = ( ) admite infinitas parametrizaciones. Una vez definida la
parametrización y el intervalo en el que varía , queda determinada la orientación de la curva, por
ejemplo:
La curva + = 1, ≥ 0, ≥ 0 puede parametrizarse ( ) = (cos , sin ) ∈ 0, :
Con esta parametrización el punto ( ) se mueve en sentido antihorario
cuando crece desde = 0 hasta = .
El sentido va desde (0) = (1, 0) hasta = (0, 1).
Pero también podría parametrizarse ( ) = (sin , cos ) ∈ 0, :
Con esta parametrización el punto ( ) se mueve en sentido horario
cuando crece desde = 0 hasta = .
El sentido va desde (0) = (0, 1) hasta = (1,0).
La curva = 0≤ ≤ 1 puede parametrizarse ( )=( , ) ∈ 0, 1 :
Con esta parametrización el sentido va desde (0) = (0, 0) hasta
(1) = (1,1).
Para integrar un campo sobre una curva parametrizada, hay que especificar un sentido de integración,
es decir que hay que indicar si el sentido de integración coincide con el sentido del parámetro creciente
o bien si se integra en el sentido opuesto al del parámetro creciente.
, La curva parametrizada, junto con el sentido de integración se llama trayectoria. Si la curva es
cerrada se dice que la trayectoria es cerrada.
Para precisar una trayectoria, basta con establecer una parametrización de la curva, y si el sentido de
integración coincide con el sentido del parámetro creciente, la trayectoria se indica , en caso que no
coincida el sentido de integración con el sentido del parámetro creciente (es opuesta) se indica con .
Integrales curvilíneas de campos vectoriales
Un campo vectorial es una función del tipo : ! " → ! " , en particular un campo plano es de la forma
( , ) = ($% ( , ), $ ( , ))
donde a cada punto ( , ) perteneciente al abierto & del plano donde está definido el campo, le hace
corresponder un vector ( , ) de ! .
Supongamos una curva del plano ( ) = ( ( ), ( )) ∈ ', ( . El campo ( , ) calculado
sobre la curva es:
) ( )* = ($% ( ( ), ( )), $ ( ( ), ( )))
La integral del campo sobre la curva parametrizada , es decir la integral del campo sobre la
trayectoria de C se define:
/
+ =+ ) ( )*. ´( ).
1 0
Ejemplo 1: Calcular la integral del campo =( ,− ) sobre el arco de circunferencia + =4
desde el punto 4 = (2, 0) hasta el punto 6 = (0, 2) en sentido antihorario.
Primeramente graficamos el arco de circunferencia y parametrizamos la curva.
7
( ) = (2 cos , 2 sin ) ∈ 0,
2
(0) = (2, 0) = 4
7
= (0, 2) = 6
2
Curvas y trayectorias
Una curva = ( ), o bien = ( ) admite infinitas parametrizaciones. Una vez definida la
parametrización y el intervalo en el que varía , queda determinada la orientación de la curva, por
ejemplo:
La curva + = 1, ≥ 0, ≥ 0 puede parametrizarse ( ) = (cos , sin ) ∈ 0, :
Con esta parametrización el punto ( ) se mueve en sentido antihorario
cuando crece desde = 0 hasta = .
El sentido va desde (0) = (1, 0) hasta = (0, 1).
Pero también podría parametrizarse ( ) = (sin , cos ) ∈ 0, :
Con esta parametrización el punto ( ) se mueve en sentido horario
cuando crece desde = 0 hasta = .
El sentido va desde (0) = (0, 1) hasta = (1,0).
La curva = 0≤ ≤ 1 puede parametrizarse ( )=( , ) ∈ 0, 1 :
Con esta parametrización el sentido va desde (0) = (0, 0) hasta
(1) = (1,1).
Para integrar un campo sobre una curva parametrizada, hay que especificar un sentido de integración,
es decir que hay que indicar si el sentido de integración coincide con el sentido del parámetro creciente
o bien si se integra en el sentido opuesto al del parámetro creciente.
, La curva parametrizada, junto con el sentido de integración se llama trayectoria. Si la curva es
cerrada se dice que la trayectoria es cerrada.
Para precisar una trayectoria, basta con establecer una parametrización de la curva, y si el sentido de
integración coincide con el sentido del parámetro creciente, la trayectoria se indica , en caso que no
coincida el sentido de integración con el sentido del parámetro creciente (es opuesta) se indica con .
Integrales curvilíneas de campos vectoriales
Un campo vectorial es una función del tipo : ! " → ! " , en particular un campo plano es de la forma
( , ) = ($% ( , ), $ ( , ))
donde a cada punto ( , ) perteneciente al abierto & del plano donde está definido el campo, le hace
corresponder un vector ( , ) de ! .
Supongamos una curva del plano ( ) = ( ( ), ( )) ∈ ', ( . El campo ( , ) calculado
sobre la curva es:
) ( )* = ($% ( ( ), ( )), $ ( ( ), ( )))
La integral del campo sobre la curva parametrizada , es decir la integral del campo sobre la
trayectoria de C se define:
/
+ =+ ) ( )*. ´( ).
1 0
Ejemplo 1: Calcular la integral del campo =( ,− ) sobre el arco de circunferencia + =4
desde el punto 4 = (2, 0) hasta el punto 6 = (0, 2) en sentido antihorario.
Primeramente graficamos el arco de circunferencia y parametrizamos la curva.
7
( ) = (2 cos , 2 sin ) ∈ 0,
2
(0) = (2, 0) = 4
7
= (0, 2) = 6
2
