Sumario Integrales curvilíneas de funciones

Integrales curvilíneas de funciones

Sea , ≤ ≤ una parametrización de una curva regular de o de , y sea una función
definida y continua sobre la curva, se define a la integral de la función sobre la curva:

= ‖ ´ ‖



, = 1 es igual a la longitud de la curva de integración
Importante
La integral curvilínea de la función

1 =



Ejemplo
Calcular la integral de la función , = sobre el arco de cicloide = − sin , 1 −
cos , 0 ≤ ≤ 2%


´ = 1 − cos , sin ‖ ´ ‖= 1 − cos + () = √2 − 2 cos = √2 √1 − cos


+
‖ ´ ‖ = − sin √1 − cos √2 √1 − cos
,
+
+ +
√2
= √2 − sin 1 − cos = √2 − sin − sin =- − sin . = 2√2%
, , 2 ,




Respuesta a los ejercicios de la clase


Página 255


1. Calcular / 0 , donde = cos , sin , , 0 ≤ ≤ 2%

´ = − sin , cos , 1 ‖ ´ ‖= () + 12 + 1 = √2


+
+
√2
0 = √2 =- . = 2√2%
, 2 ,

, 3. Calcular / + , donde es la circunferencia −1 + =1


−1 + =1
− 1 = cos -
3
= sin
= 1 + cos , sin , 0 ≤ ≤ 2%


´ = − sin , cos ‖ ´ ‖= () + 12 =1


+ + +
‖ ´ ‖ = 1 + cos + sin = 2 + 2 cos = - 2 + 2 sin |, =
, ,



= 4%


Página 245


4. Calcular la integral del campo vectorial

6 = 7 log − , log + :

sobre el arco de circunferencia = 1 + cos , 1 + sin , 0 ≤ ≤ %/2


El campo está definido para = > 0
<




?@ es abierto simplemente conexo > 0, > 0


? es abierto simplemente conexo < 0, < 0




= B= = log
<
Además < =



Entonces 6 es conservativo en ?@ y 6 es conservativo en ? , a
nosotros nos interesa que sea conservativo en ?@ que es el
abierto simplemente conexo que contiene a la curva: