Ecuaciones diferenciales
Una ecuación en la que se relacionan una función y ( x ) , sus derivadas y´, y´´,..., y (n ) y también la
variable x se llama Ecuación diferencial.
Podemos escribir estas ecuaciones en la forma
( )
F y, y´, y´´,..., y (n ) , x = 0
Resolver una ecuación diferencial es encontrar, si existen, todas las funciones y ( x ) que verifiquen la
relación dada.
Las ecuaciones diferenciales se llaman Ordinarias si solo aparecen en ellas funciones de una sola variable
independiente. El Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparezca.
Ejemplo 1
f ´x − x2 − f = 0 es una ecuación diferencial donde la incógnita es la función f . Vamos a
verificar que sus soluciones son las funciones de la forma f = x 2 + cx ( c es una constante arbitraria).
En efecto, resulta
f ´= 2x + c
y reemplazando en la ecuación dada, sigue
(2 x + c ) x − x 2 − (x 2 + cx) = 0
Operando en el primer miembro veremos que es igual a 0, y esto muestra que f = x 2 + cx es solución
de la ecuación diferencial.
Ejemplo 2
y´= 2 x es una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden, que tiene por soluciones las funciones del tipo
y = x 2 + C, C ∈ R , como inmediatamente puede
comprobarse.
, Notemos que las soluciones son parábolas, de las que en el gráfico mostramos solo algunas. Esta familia
de infinitas parábolas constituye lo que se llama Solución general de la ecuación diferencial.
Es decir, dada la ecuación diferencial y´= 2 x , su solución general es y = x 2 + C , C ∈ R .
Y si asignamos a la constante C algún valor real arbitrario, lo que encontramos son soluciones
particulares de la ecuación.
Así, y = x 2 + 3, y = x 2 − π son dos soluciones particulares de la ecuación (obtenidas para
C = 3, C = −π respectivamente.
Las soluciones de una ecuación diferencial se llaman a veces integrales de la ecuación, y también curvas
integrales. Por eso a veces se usa “integrar” como sinónimo de “resolver” una ecuación diferencial.
Agregaremos también que, dado que las soluciones son funciones, muchas veces será importante indicar
el dominio en que tales soluciones son consideradas.
Algún detalle más sobre la ecuación diferencial del ejemplo anterior y´= 2 x
dy
Escribimos = 2x
dx
dy = 2 x dx
En esta última expresión el segundo miembro solo contiene a la variable x y el otro solo contiene la y .
Por eso estas ecuaciones suelen llamarse “con variables separables”.
Integrando ambos miembros sale y + c1 = x 2 + c2
(Aquí se ve por que se usa Integrar como Resolver)
Y poniendo c 2 − c1 = c , queda
y = x 2 + c que es la solución general de la ecuación.
Una ecuación en la que se relacionan una función y ( x ) , sus derivadas y´, y´´,..., y (n ) y también la
variable x se llama Ecuación diferencial.
Podemos escribir estas ecuaciones en la forma
( )
F y, y´, y´´,..., y (n ) , x = 0
Resolver una ecuación diferencial es encontrar, si existen, todas las funciones y ( x ) que verifiquen la
relación dada.
Las ecuaciones diferenciales se llaman Ordinarias si solo aparecen en ellas funciones de una sola variable
independiente. El Orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparezca.
Ejemplo 1
f ´x − x2 − f = 0 es una ecuación diferencial donde la incógnita es la función f . Vamos a
verificar que sus soluciones son las funciones de la forma f = x 2 + cx ( c es una constante arbitraria).
En efecto, resulta
f ´= 2x + c
y reemplazando en la ecuación dada, sigue
(2 x + c ) x − x 2 − (x 2 + cx) = 0
Operando en el primer miembro veremos que es igual a 0, y esto muestra que f = x 2 + cx es solución
de la ecuación diferencial.
Ejemplo 2
y´= 2 x es una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden, que tiene por soluciones las funciones del tipo
y = x 2 + C, C ∈ R , como inmediatamente puede
comprobarse.
, Notemos que las soluciones son parábolas, de las que en el gráfico mostramos solo algunas. Esta familia
de infinitas parábolas constituye lo que se llama Solución general de la ecuación diferencial.
Es decir, dada la ecuación diferencial y´= 2 x , su solución general es y = x 2 + C , C ∈ R .
Y si asignamos a la constante C algún valor real arbitrario, lo que encontramos son soluciones
particulares de la ecuación.
Así, y = x 2 + 3, y = x 2 − π son dos soluciones particulares de la ecuación (obtenidas para
C = 3, C = −π respectivamente.
Las soluciones de una ecuación diferencial se llaman a veces integrales de la ecuación, y también curvas
integrales. Por eso a veces se usa “integrar” como sinónimo de “resolver” una ecuación diferencial.
Agregaremos también que, dado que las soluciones son funciones, muchas veces será importante indicar
el dominio en que tales soluciones son consideradas.
Algún detalle más sobre la ecuación diferencial del ejemplo anterior y´= 2 x
dy
Escribimos = 2x
dx
dy = 2 x dx
En esta última expresión el segundo miembro solo contiene a la variable x y el otro solo contiene la y .
Por eso estas ecuaciones suelen llamarse “con variables separables”.
Integrando ambos miembros sale y + c1 = x 2 + c2
(Aquí se ve por que se usa Integrar como Resolver)
Y poniendo c 2 − c1 = c , queda
y = x 2 + c que es la solución general de la ecuación.
