Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
Una ecuación diferencial es lineal de segundo orden cuando tiene la forma
a 2 y´´+ a1 y´+ a 0 y = f ( x )
Los coeficientes serán constantes reales. La ecuación diferencial se llama homogénea cuando
f (x) = 0 .
• Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden siempre tiene dos soluciones
fundamentales y1 , y2 que son independientes entre si (Esto significa que una no es múltiplo de la otra:
y1 ≠ c . y2 , c ∈ R )
• También puede demostrarse que la combinación lineal de soluciones fundamentales de la forma
c1 y1 + c2 y2
no solo es también solución de la ecuación diferencial, sino que es la solución general.
Si suponemos que y = e rx es solución de a2 y´´+ a1 y´+ a0 y = 0 , calculando las derivadas y
reemplazando en la ecuación se llega a la expresión
( )
e rx a 2 r 2 + a1 r + a 0 = 0
que se verifica solo cuando
a 2 r 2 + a1 r + a0 = 0
Esta última es una ecuación cuadrática algebraica común, que se denomina Ecuación auxiliar o
característica asociada a la ecuación diferencial.
(Aclaración: En el texto de Novelli, encontrarán que en lugar de la letra se utiliza la letra griega λ
(lambda). Por supuesto, esto no implica cambio alguno más allá de la letra elegida)
• Podemos afirmar entonces que
y = e rx
es solución de la ecuación diferencial
a2 y´´+ a1 y´+ a0 y = 0
, si y solo si r es solución de la ecuación auxiliar
a 2 r 2 + a1 r + a0 = 0
Describiremos a continuación el método que permite encontrar las soluciones de una ecuación diferencial
lineal homogénea de segundo orden.
Dada a 2 y´´+ a1 y´+ a0 y = 0 , buscaremos en primer lugar las soluciones de la ecuación auxiliar
a 2 r 2 + a1 r + a0 = 0 .
Tenemos aquí tres posibilidades para la ecuación auxiliar, a las que agregamos un ejemplo resuelto.
Caso 1: Raíces reales distintas
Si r1 y r2 son raíces reales distintas de la ecuación característica, e r1x y e r2 x son soluciones de la
ecuación diferencial, y la solución general es
y = c1 e r1x + c2 e r 2 x
Ejemplo 1: Resolver la ecuación y´´+7 y´+12 y = 0
La ecuación característica es r 2 + 7 r + 12 = 0 , cuyas raíces son -4 y -3 .
e −3 x y e −4 x son soluciones de la ecuación diferencial, y la solución general es
y = c1 e −3 x + c2 e −4 x
Caso 2: Una raíz real doble
Si r es raíz doble de la ecuación característica, e rx y x e rx son soluciones de la ecuación diferencial,
y la solución general es
y = c1 e rx + c2 x e rx
Una ecuación diferencial es lineal de segundo orden cuando tiene la forma
a 2 y´´+ a1 y´+ a 0 y = f ( x )
Los coeficientes serán constantes reales. La ecuación diferencial se llama homogénea cuando
f (x) = 0 .
• Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden siempre tiene dos soluciones
fundamentales y1 , y2 que son independientes entre si (Esto significa que una no es múltiplo de la otra:
y1 ≠ c . y2 , c ∈ R )
• También puede demostrarse que la combinación lineal de soluciones fundamentales de la forma
c1 y1 + c2 y2
no solo es también solución de la ecuación diferencial, sino que es la solución general.
Si suponemos que y = e rx es solución de a2 y´´+ a1 y´+ a0 y = 0 , calculando las derivadas y
reemplazando en la ecuación se llega a la expresión
( )
e rx a 2 r 2 + a1 r + a 0 = 0
que se verifica solo cuando
a 2 r 2 + a1 r + a0 = 0
Esta última es una ecuación cuadrática algebraica común, que se denomina Ecuación auxiliar o
característica asociada a la ecuación diferencial.
(Aclaración: En el texto de Novelli, encontrarán que en lugar de la letra se utiliza la letra griega λ
(lambda). Por supuesto, esto no implica cambio alguno más allá de la letra elegida)
• Podemos afirmar entonces que
y = e rx
es solución de la ecuación diferencial
a2 y´´+ a1 y´+ a0 y = 0
, si y solo si r es solución de la ecuación auxiliar
a 2 r 2 + a1 r + a0 = 0
Describiremos a continuación el método que permite encontrar las soluciones de una ecuación diferencial
lineal homogénea de segundo orden.
Dada a 2 y´´+ a1 y´+ a0 y = 0 , buscaremos en primer lugar las soluciones de la ecuación auxiliar
a 2 r 2 + a1 r + a0 = 0 .
Tenemos aquí tres posibilidades para la ecuación auxiliar, a las que agregamos un ejemplo resuelto.
Caso 1: Raíces reales distintas
Si r1 y r2 son raíces reales distintas de la ecuación característica, e r1x y e r2 x son soluciones de la
ecuación diferencial, y la solución general es
y = c1 e r1x + c2 e r 2 x
Ejemplo 1: Resolver la ecuación y´´+7 y´+12 y = 0
La ecuación característica es r 2 + 7 r + 12 = 0 , cuyas raíces son -4 y -3 .
e −3 x y e −4 x son soluciones de la ecuación diferencial, y la solución general es
y = c1 e −3 x + c2 e −4 x
Caso 2: Una raíz real doble
Si r es raíz doble de la ecuación característica, e rx y x e rx son soluciones de la ecuación diferencial,
y la solución general es
y = c1 e rx + c2 x e rx
