Teoremas integrales
Divergencia de un campo vectorial
Sea = , , , , , ,ℎ , , un campo vectorial definido en un abierto de ,y
existen y son continuas las derivadas parciales primeras de las funciones componentes. Se llama
ℎ
divergencia de a la función de tres variables definida por:
= + +
Ejemplo 1: Calcular la divergencia del campo = , ,−
ℎ
= + + = +
Rotor de un campo vectorial
Sea = , , , , , ,ℎ , , un campo vectorial definido en un abierto de ,y
existen y son continuas las derivadas parciales primeras de las funciones componentes. Se llama rotor
%& % %
de al campo definido simbólicamente por:
ℎ ℎ
!"# =$ $=' − , − , − (
ℎ
Ejemplo 2: Calcular el rotor del campo = , ,−
%& % %
− −
!"# =$ $=) − , − , − *=
−
= −2 − , ,
, Respuesta a los ejercicios de la clase
Página 289
3. Calcular la divergencia y el rotor del campo = , ,
ℎ
= + + = + +
%& % %
!"# =$ $ = 0− ,0 − ,0 − = − ,− ,−
ℎ
Página 272
12. Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje , de la curva
= ,0 ≤ ≤1
Primero escribimos la ecuación vectorial de la curva, y luego calculamos la integral que corresponde:
/ # = #, # , 0 ≤ # ≤ 1
& &
= 20 1 # ‖/´ # ‖ # = 20 1 # 51 + 2# # = 20 1 # 51 + 4# #=
4 6 6
12 &
0
= 820 1 + 4# ;
< = >5 ;
− 1@
83 6 6
14. Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje , de la curva
= x ,0 ≤ ≤ 1.
Primero escribimos la ecuación vectorial de la curva, y luego calculamos la integral que corresponde:
/ # = #, # , 0 ≤ # ≤ 1
& &
= 20 1 # ‖/´ # ‖ # = 20 1 # 51 + 3# # = 20 1 # 51 + 9# C # =
4 6 6
1 2 &
0
= 820 1 + 9# C ;
< = >10 ;
− 1@
36 3 6 27
Divergencia de un campo vectorial
Sea = , , , , , ,ℎ , , un campo vectorial definido en un abierto de ,y
existen y son continuas las derivadas parciales primeras de las funciones componentes. Se llama
ℎ
divergencia de a la función de tres variables definida por:
= + +
Ejemplo 1: Calcular la divergencia del campo = , ,−
ℎ
= + + = +
Rotor de un campo vectorial
Sea = , , , , , ,ℎ , , un campo vectorial definido en un abierto de ,y
existen y son continuas las derivadas parciales primeras de las funciones componentes. Se llama rotor
%& % %
de al campo definido simbólicamente por:
ℎ ℎ
!"# =$ $=' − , − , − (
ℎ
Ejemplo 2: Calcular el rotor del campo = , ,−
%& % %
− −
!"# =$ $=) − , − , − *=
−
= −2 − , ,
, Respuesta a los ejercicios de la clase
Página 289
3. Calcular la divergencia y el rotor del campo = , ,
ℎ
= + + = + +
%& % %
!"# =$ $ = 0− ,0 − ,0 − = − ,− ,−
ℎ
Página 272
12. Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje , de la curva
= ,0 ≤ ≤1
Primero escribimos la ecuación vectorial de la curva, y luego calculamos la integral que corresponde:
/ # = #, # , 0 ≤ # ≤ 1
& &
= 20 1 # ‖/´ # ‖ # = 20 1 # 51 + 2# # = 20 1 # 51 + 4# #=
4 6 6
12 &
0
= 820 1 + 4# ;
< = >5 ;
− 1@
83 6 6
14. Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje , de la curva
= x ,0 ≤ ≤ 1.
Primero escribimos la ecuación vectorial de la curva, y luego calculamos la integral que corresponde:
/ # = #, # , 0 ≤ # ≤ 1
& &
= 20 1 # ‖/´ # ‖ # = 20 1 # 51 + 3# # = 20 1 # 51 + 9# C # =
4 6 6
1 2 &
0
= 820 1 + 9# C ;
< = >10 ;
− 1@
36 3 6 27
