Ecuaciones lineales de segundo orden no homogéneas
Una ecuación diferencial es lineal de segundo orden cuando tiene la forma
a 2 y´´+ a1 y´+ a 0 y = f ( x )
Ya sabemos resolver el caso en el que f ( x ) = 0 (ecuaciones homogéneas)
Estudiaremos ahora algunos tipos de ecuaciones no homogéneas en las cuales f ( x ) tome alguna forma
particular. Vamos a convenir primero en algunos conceptos.
Dada una ecuación no homogénea a 2 y´´+ a1 y´+ a 0 y = f ( x ) , su ecuación homogénea asociada es
a 2 y´´+ a1 y´+ a0 y = 0 .
Vamos a simbolizar con y a cualquier solución particular de la ecuación no homogénea, y llamaremos
y * a la solución general (que ya sabemos encontrar) de la homogénea asociada.
Puede demostrarse que todas las soluciones de la ecuación no homogénea se encuentran sumando y con
y * , de manera que si encontramos un método para hallar y tendremos resuelto el problema.
Veremos ahora ese método para algunas formas particulares de la función f ( x ) que aparece en el
segundo miembro. Las funciones que más frecuentemente aparecen en las aplicaciones son los
polinomios, las exponenciales y el seno o el coseno, y son las que analizaremos. La idea básica del
método es proponer una solución más o menos genérica y luego ajustar algunos parámetros hasta
determinarla con precisión.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación y´´+7 y´+12 y = 2 x
La ecuación homogénea asociada es y´´+7 y´+12 y = 0
y su solución es y* = c1 e −3 x + c2 e −4 x
Para hallar y observamos que la f ( x ) es un polinomio de grado uno, y proponemos entonces un
genérico polinomio del mismo grado: y = ax + b . Lo que falta ahora es determinar sus coeficientes.
, Calculamos las derivadas y ´= a y y ´´= 0 y reemplazamos en la ecuación a resolver
y´´ + 7 y´+ 12 y = 2 x
0 + 7 a + 12 (ax + b ) = 2 x
12 ax + (7 a + 12b ) = 2 x
Para que los polinomios en ambos miembros coincidan, sus coeficientes deben ser iguales, o sea
12 a = 2 y 7 a + 12b = 0
1 7
y entonces a= , b=−
6 72
de modo que queda
1 7
y= x−
6 72
La solución de la ecuación dada es
1 7
y = y + y* = x− + c1 e −3 x + c 2 e − 4 x
6 72
El procedimiento que hemos aplicado aquí para hallar y suele llamarse Método de los coeficientes
indeterminados.
La tabla siguiente servirá como guía para nuestra práctica
Si f ( x ) tiene la forma de La y a proponer es
Polinomio de grado n Genérico polinomio completo de grado n
Exponencial e kx a. e kx
sin mx ó cos mx a cos mx + b sin mx
Ejemplo 2: Resolver la ecuación y´´−5 y´+6 y = cos 2 x
La solución de la ecuación homogénea asociada ( y´´−5 y´+6 y = 0) es y* = c1 e 3 x + c2 e 2 x
Una ecuación diferencial es lineal de segundo orden cuando tiene la forma
a 2 y´´+ a1 y´+ a 0 y = f ( x )
Ya sabemos resolver el caso en el que f ( x ) = 0 (ecuaciones homogéneas)
Estudiaremos ahora algunos tipos de ecuaciones no homogéneas en las cuales f ( x ) tome alguna forma
particular. Vamos a convenir primero en algunos conceptos.
Dada una ecuación no homogénea a 2 y´´+ a1 y´+ a 0 y = f ( x ) , su ecuación homogénea asociada es
a 2 y´´+ a1 y´+ a0 y = 0 .
Vamos a simbolizar con y a cualquier solución particular de la ecuación no homogénea, y llamaremos
y * a la solución general (que ya sabemos encontrar) de la homogénea asociada.
Puede demostrarse que todas las soluciones de la ecuación no homogénea se encuentran sumando y con
y * , de manera que si encontramos un método para hallar y tendremos resuelto el problema.
Veremos ahora ese método para algunas formas particulares de la función f ( x ) que aparece en el
segundo miembro. Las funciones que más frecuentemente aparecen en las aplicaciones son los
polinomios, las exponenciales y el seno o el coseno, y son las que analizaremos. La idea básica del
método es proponer una solución más o menos genérica y luego ajustar algunos parámetros hasta
determinarla con precisión.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación y´´+7 y´+12 y = 2 x
La ecuación homogénea asociada es y´´+7 y´+12 y = 0
y su solución es y* = c1 e −3 x + c2 e −4 x
Para hallar y observamos que la f ( x ) es un polinomio de grado uno, y proponemos entonces un
genérico polinomio del mismo grado: y = ax + b . Lo que falta ahora es determinar sus coeficientes.
, Calculamos las derivadas y ´= a y y ´´= 0 y reemplazamos en la ecuación a resolver
y´´ + 7 y´+ 12 y = 2 x
0 + 7 a + 12 (ax + b ) = 2 x
12 ax + (7 a + 12b ) = 2 x
Para que los polinomios en ambos miembros coincidan, sus coeficientes deben ser iguales, o sea
12 a = 2 y 7 a + 12b = 0
1 7
y entonces a= , b=−
6 72
de modo que queda
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y= x−
6 72
La solución de la ecuación dada es
1 7
y = y + y* = x− + c1 e −3 x + c 2 e − 4 x
6 72
El procedimiento que hemos aplicado aquí para hallar y suele llamarse Método de los coeficientes
indeterminados.
La tabla siguiente servirá como guía para nuestra práctica
Si f ( x ) tiene la forma de La y a proponer es
Polinomio de grado n Genérico polinomio completo de grado n
Exponencial e kx a. e kx
sin mx ó cos mx a cos mx + b sin mx
Ejemplo 2: Resolver la ecuación y´´−5 y´+6 y = cos 2 x
La solución de la ecuación homogénea asociada ( y´´−5 y´+6 y = 0) es y* = c1 e 3 x + c2 e 2 x
