SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
1. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
DEFINICIÓN: Son ecuaciones de primer grado con una incógnita y tienen la
forma general: ax+b=0, donde a y b son constantes, a ≠ 0 siendo x la incógnita.
Por lo mismo son llamados también ecuaciones lineales con una incógnita.
Se resuelve de la siguiente manera:
𝑏
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑥=−
𝑎
Características:
Presentan una única solución real.
Se resuelven mediante el despeje de la incógnita.
EJEMPLOS:
3
2𝑋 + 3 = 0 ↔ 𝑋 = −2
5
3𝑋 − 5 = 0 ↔ 𝑋 = −3
16
− 4𝑋 − 16 = 0 ↔ 𝑋 = − = −4
4
1.1. ECUACIONES EQUIVALENTES
DEFINICIÓN: Dos ecuaciones se llaman equivalentes si es que tienen
exactamente las mismas soluciones.
Ejemplo: 2𝑥 = 6 𝒚 𝑥−3 = 0 Son equivalentes porque
𝑥=3 𝑥=3 cada una de ellas tiene
como solución a 𝑥 = 3.
2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS
INCÓGNITAS
DEFINICIÓN: Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas está
formado por dos ecuaciones de primer grado con dos variables, generalmente
(x, y).
Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales simultaneas con
dos incógnitas: x, y:
2𝑥 + 3𝑦 = 5 … … … … … . . (𝐼)
(*)
3𝑥 + 8𝑦 = 4 … … … … … … (𝐼𝐼)
, Paso 1. Multiplicamos ahora la primera ecuación por 3 y la segunda por -2
(esto en ambos miembros)
x (3) ……… 2𝑥 + 3𝑦 = 5 6𝑥 + 9𝑦 = 15
(**)
x (-2)……… 3𝑥 + 8𝑦 = 4 −6𝑥 − 16𝑦 = −8
Paso 2. Sumamos algebraicamente ambas ecuaciones de (**) y obtenemos:
6𝑥 + 9𝑦 = 15
+
−6𝑥 − 16𝑦 = −8
−7𝑦 = 7 𝑦 = −1
Paso 3. Reemplazando el valor de y en cualquiera de las ecuaciones de (**) o
de (*) sirve para hallar el valor de x.
2𝑥 + 3 (−1 ) = 5
2𝑥 = 8
𝑥=4
Paso 4. Por lo tanto, la solución del sistema es (*) es 𝑥 = 4, 𝑦 = −1.
2.1. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
a). Método de sustitución
Este método despeja una de las dos incógnitas en función de la otra en una de
las dos ecuaciones. Luego sustituye el valor obtenido en la otra ecuación.
Ejemplo:
𝐼 … … … ..
𝐼𝐼 … … ….
Paso 1. Despejamos x o y en una de las dos ecuaciones. Por
ejemplo, y en la primera:
Paso 2. Sustituimos este valor en la otra ecuación. En este caso, en la
segunda:
Nos queda una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos:
𝑋=5
1. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
DEFINICIÓN: Son ecuaciones de primer grado con una incógnita y tienen la
forma general: ax+b=0, donde a y b son constantes, a ≠ 0 siendo x la incógnita.
Por lo mismo son llamados también ecuaciones lineales con una incógnita.
Se resuelve de la siguiente manera:
𝑏
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑥=−
𝑎
Características:
Presentan una única solución real.
Se resuelven mediante el despeje de la incógnita.
EJEMPLOS:
3
2𝑋 + 3 = 0 ↔ 𝑋 = −2
5
3𝑋 − 5 = 0 ↔ 𝑋 = −3
16
− 4𝑋 − 16 = 0 ↔ 𝑋 = − = −4
4
1.1. ECUACIONES EQUIVALENTES
DEFINICIÓN: Dos ecuaciones se llaman equivalentes si es que tienen
exactamente las mismas soluciones.
Ejemplo: 2𝑥 = 6 𝒚 𝑥−3 = 0 Son equivalentes porque
𝑥=3 𝑥=3 cada una de ellas tiene
como solución a 𝑥 = 3.
2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS
INCÓGNITAS
DEFINICIÓN: Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas está
formado por dos ecuaciones de primer grado con dos variables, generalmente
(x, y).
Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales simultaneas con
dos incógnitas: x, y:
2𝑥 + 3𝑦 = 5 … … … … … . . (𝐼)
(*)
3𝑥 + 8𝑦 = 4 … … … … … … (𝐼𝐼)
, Paso 1. Multiplicamos ahora la primera ecuación por 3 y la segunda por -2
(esto en ambos miembros)
x (3) ……… 2𝑥 + 3𝑦 = 5 6𝑥 + 9𝑦 = 15
(**)
x (-2)……… 3𝑥 + 8𝑦 = 4 −6𝑥 − 16𝑦 = −8
Paso 2. Sumamos algebraicamente ambas ecuaciones de (**) y obtenemos:
6𝑥 + 9𝑦 = 15
+
−6𝑥 − 16𝑦 = −8
−7𝑦 = 7 𝑦 = −1
Paso 3. Reemplazando el valor de y en cualquiera de las ecuaciones de (**) o
de (*) sirve para hallar el valor de x.
2𝑥 + 3 (−1 ) = 5
2𝑥 = 8
𝑥=4
Paso 4. Por lo tanto, la solución del sistema es (*) es 𝑥 = 4, 𝑦 = −1.
2.1. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
a). Método de sustitución
Este método despeja una de las dos incógnitas en función de la otra en una de
las dos ecuaciones. Luego sustituye el valor obtenido en la otra ecuación.
Ejemplo:
𝐼 … … … ..
𝐼𝐼 … … ….
Paso 1. Despejamos x o y en una de las dos ecuaciones. Por
ejemplo, y en la primera:
Paso 2. Sustituimos este valor en la otra ecuación. En este caso, en la
segunda:
Nos queda una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos:
𝑋=5
