UNIT-2 SEMICONDUCTOR
પ્રકરણ 9: સેમિકન્ડક્ટસસ (અર્સવાહકો) 1
ઘન પદાર્થોની વિદ્યુત િાહકતાના મ ૂલ્યો કોઈપણ સામાન્ય ભૌવતક ગુણધમમ માટે સૌર્થી વ્યાપક
શ્રેણીમાાં ફેલાયેલા હોય છે . તેર્થી આ મ ૂલ્યો ઘન પદાર્થોના િર્ગીકરણ માટેનો આધાર બને છે . જે
ઘન પદાર્થો અત્યાંત ઉચ્ચ અને અત્યાંત વનમ્ન વિદ્યુત િાહકતા ધરાિે છે , તેમને અનુક્રમે ધાતુઓ
અને અિાહકો તરીકે ઓળખિામાાં આિે છે . 1 K તાપમાને શુદ્ધ ધાતુની િાહકતા
ના ક્રમની હોઈ શકે છે , જ્યારે અત્યાંત અિાહક માટે તે જેટલી ઓછી હોઈ શકે
છે . આ આત્યાંવતક મ ૂલ્યોની િચ્ચેની િાહકતા ધરાિતા પદાર્થોને સેવમકન્ડક્ટસમ (અધમિાહકો)
કહેિામાાં આિે છે . સેવમકન્ડક્ટસમ માટે િાહકતાના સામાન્ય મ ૂલ્યો ર્થી ની
રે ન્જમાાં હોય છે . સેવમકન્ડક્ટસમન ુ ાં સૌર્થી ઉપયોર્ગી લક્ષણ એ છે કે તેમની વિદ્યુત િાહકતા સામાન્ય
રીતે શુદ્ધદ્ધકરણ િધિા સાર્થે ઘટે છે , જ્યારે ધાતુઓમાાં શુદ્ધદ્ધકરણ િધિા સાર્થે િાહકતા હાંમેશા િધે
છે .
સેવમકન્ડક્ટસમના પ્રચાંડ તકનીકી મહત્િ હોિા છતાાં, તેમનો અભ્યાસ ઘન પદાર્થોના ઇલેક્રોવનક
ગુણધમોને સમજિા માટે િધુ વનણામયક છે . આપણે જોઈશુાં કે સેવમકન્ડક્ટસમમાાં ચાર્જ કેરરયસમ
(િીજભાર િાહકો) સાર્થે કામ કરિા માટે મેક્સિેલ-બોલ્્ઝમેન સ્ટેરટસ્સ્ટક્સ લાગુ કરવુાં શક્ય છે .
આ ઘણી સમસ્યાઓના સચોટ વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો આપે છે જે ધાતુઓમાાં ફક્ત અંદાજજત અર્થિા
સાંખ્યાત્મક પદ્ધવતઓ દ્વારા જ ઉકેલી શકાય છે , જ્યાાં ફમી-રડરાક સ્ટેરટસ્સ્ટક્સનો ઉપયોર્ગ કરિો પડે
છે . િધુમાાં, સેવમકન્ડક્ટર સ્ફરટકો ઉર્ગાડિાની ટેકનોલોજીમાાં નોંધપાત્ર પ્રર્ગવત સાર્થે,
સેવમકન્ડક્ટસમના વસિંર્ગલ રક્રસ્ટલ ઉર્ગાડિામાાં પ્રાપ્ત કરે લી શુદ્ધદ્ધકરણ અને ચોકસાઈની રડગ્રી ધાતુઓ
અને અિાહકો કરતા ઘણી િધારે છે . ઇલેક્રોવનક ગુણધમોના અભ્યાસ માટે આ અત્યાંત મહત્િની
બાબત છે , જેમાાંર્થી કેટલાક પાસાઓ અશુદ્ધદ્ધઓની હાજરી અને સ્ફરટકીય ખામીઓને કારણે અસ્પષ્ટ
ર્થઈ જાય છે . સરળ શબ્દોમાાં કહીએ તો, ધાતુઓમાાં જે ઘટનાઓનો અભ્યાસ સામાન્ય રીતે મુશ્કેલ
હોય છે અર્થિા ચોકસાઈર્થી કરી શકાતો નર્થી, તે સેવમકન્ડક્ટસમમાાં જરૂરી ચોકસાઈ સાર્થે સરળતાર્થી
કરી શકાય છે . આમ, સેવમકન્ડક્ટસમનો અભ્યાસ સામાન્ય રીતે ઘન પદાર્થોના ઇલેક્રોવનક
ગુણધમોના અર્થમઘટનમાાં મદદરૂપ ર્થાય છે . આ પ્રકરણમાાં આપણે ઘન પદાર્થોના બેન્ડ ર્થીયરી
(band theory) ના માળખામાાં મ ૂળભ ૂત સૈદ્ધાાંવતક વિચારોને આકાર આપિા પર ધ્યાન કેસ્ન્િત
કરીશુ.ાં તેમ છતાાં, વિભાર્ગ 9.10 માાં કેટલીક સરળ અને લોકવપ્રય ઉપકરણોની રચના અને કાયમકારી
વસદ્ધાાંતનો ટૂાંકો અહેિાલ શામેલ છે .
9.1 સેમિકન્ડક્ટસસન ું વર્ગીકરણ
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
ઘન પદાર્થોની બેન્ડ સાંરચનાના આધારે કરિામાાં આિેલ ુાં િર્ગીકરણ ઘણા ઘન પદાર્થોના
2
ગુણધમોના અર્થમઘટન માટે બેન્ડ ર્થીયરીનો ઉપયોર્ગ કરિાની રદશા આપે છે . આપણે પ્રકરણ 7
માાં શીખ્યા કે સાંપ ૂણમ ભરાયેલા અને સાંપ ૂણમ ખાલી બેન્ડ પ્રિાહના િહનમાાં ફાળો આપતા નર્થી.
ધાતુઓમાાં સૌર્થી િધુ ભરાયેલો બેન્ડ (િેલેન્સ બેન્ડ) માત્ર આંવશક રીતે ભરાયેલો હોય છે અને
પ્રિાહનુ ાં િહન વિદ્યુતક્ષેત્રના પ્રભાિ હેઠળ ખાલી અિસ્ર્થાઓમાાં િેલેન્સ બેન્ડ ઇલેક્રોનના લર્ગભર્ગ
સતત ઉત્તેજનાને કારણે ર્થાય છે . તેર્થી, જે પદાર્થમમાાં ફક્ત સાંપ ૂણમ ભરાયેલા અને સાંપ ૂણમ ખાલી
બેન્ડ હોય છે તે વનરપેક્ષ શ ૂન્ય તાપમાને એક સાંપ ૂણમ અિાહક તરીકે િતે છે . િેલેન્સ બેન્ડના
ઉપરના છે ડા અને કન્ડક્શન બેન્ડના નીચેના છે ડા િચ્ચેનો તફાિત જો મોટો ન હોય અને ર્થી
ઓછો હોય, તો મધ્યમ અને ઉચ્ચ તાપમાને િેલેન્સ બેન્ડની ઉપર ની અિસ્ર્થાઓમાાં રહેલા ઇલેક્રોનનો
ર્થોડો અંશ ઉષ્મીય રીતે ઉત્તેજજત ર્થઈ ને કન્ડક્શન બેન્ડ માાં જિાની ચોક્કસ શક્યતા રહેલી હોય છે . આ
તાપમાને ઉજામની તે શ્રેણી કે જેના પર ફમી રડસ્સ્રબ્યુશન ફાંક્શન (Fermi distribution function) ઝડપ
ર્થી બદલાય છે , તે પ્રમાણમાાં નોંધ પાત્ર હોય છે . આ વિતરણ વિધેયમાાં ર્થતા ફેરફારના પરરણામોને
સરળતાર્થી અિલોકનક્ષમ બનાિે છે . ધાતુઓ, અધમિાહકો (સેવમકન્ડક્ટસમ) અને અિાહકો માટે
પ્રવતવનવધ બેન્ડ યોજના આકૃવત 9.1 માાં દોરિામાાં આિી છે . આ આકૃવત આ ઘન પદાર્થો ની બેન્ડ
સાંરચનામાાં રહેલો ગુણાત્મક તફાિત દશામિે છે .
આકૃવત 9.1: તાપમાને ધાતુઓ, અધમિાહકો અને અિાહકો માટે તુલનાત્મક ઉજામ બેન્ડ
યોજનાઓ. અધમિાહકો અને અિાહકોમાાં િેલેન્સ બેન્ડ સાંપ ૂણમ રીતે ભરાયેલો હોય છે પરાં ત ુ ધાતુઓમાાં
માત્ર આંવશક રીતે ભરાયેલો (છાયાાંરકત) હોય છે . અધમિાહકોમાાં પ્રમાણમાાં ઘણો નાનો બેન્ડ ર્ગેપ 𝐸𝑔
તેમને અિાહકોર્થી અલર્ગપાડે છે .
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
સેવમકન્ડક્ટર પદાર્થોની લાાંબી યાદી છે . તેમાાંર્થી માત્ર ર્થોડા જ તત્િો છે . {Si, Ge, ગ્રે Sn અને ગ્રે Se
3
તેના કેટલાક ઉદાહરણો છે . પ્રર્થમ ત્રણ આિતમકોષ્ટક ના સમ ૂહ IV (Group IV) માાં છે અને Se સમ ૂહ VI
માાં છે . બાકીના મોટાભાર્ગના બાયનરી સાંયોજનો (binary compounds) છે , જે મુખ્યત્િે બે પ્રકારના
છે :
* એક પ્રકારમાાં (દા.ત. Ga As, InSb, GaP) સમ ૂહ III નુ ાં એક તત્િ (દા.ત. B, Al, Ga, In) સમ ૂહ V ના
તત્િ (દા.ત. N, P, As, Sb) સાર્થે જોડાયેલ ુાં હોય છે .
* બીજા પ્રકારના બાયનરી સાંયોજનો સમ ૂહ II ના એક તત્િ (દા.ત Zn, Cd, Pb) અનેસમ ૂહ VI ના
બીજાતત્િ (દા.તS, Se, Te) સાર્થે બને છે .
આ પ્રકારના કેટલાક મહત્િના ઉદાહરણો ZnS, CdSe, PbTe છે . SiC અને SiGe એક માત્ર જાણીતા
બાયનરી સેવમકન્ડક્ટસમ છે જેના બાંને ઘટકો સમ ૂહ IV માાંર્થી છે . કેટલાક ઓક્સાઇડપણ અધમિાહક
િતમણ ૂક દશામિે છે —TiO2 , Cu2O અને ZnO આ િર્ગમના અગ્રણી ઉદાહરણો છે . ટેકનોલોજીની દૃ સ્ષ્ટએ
મહત્િપ ૂણમ સેવમકન્ડક્ટર પદાર્થોની યાદી કોષ્ટક 9.1 માાં આપિામાાં આિી છે જેમાાં આ પદાર્થોનો
સાંબવાં ધત ડેટા પણ છે .
સેવમકન્ડક્ટસમ મુખ્યત્િે બે પ્રકારના હોય છે — ઇસ્ન્રન્ન્સક (આંતરરક) અને એક્સરરન્ન્સક (બાહ્ય).
ઇસ્ન્રન્ન્સક સેવમકન્ડક્ટસમ સામાન્ય રીતે શુદ્ધ મોનોએટોવમક અર્થિા ડાયટોવમક ઘન પદાર્થો હોય છે .
િીજભાર િાહકની ઘનતાનુ ાં સ્તર િધારિાના હેતર્થ
ુ ી યોગ્ય અશુદ્ધદ્ધના અંશ (~10 લાખમાાં 1 ભાર્ગ)
ઉમેરીને આંતરરક પદાર્થમને એક્સરરન્ન્સક પ્રકારમાાં (અર્થિા અશુદ્ધ પ્રકારમાાં) રૂપાાંતરરત કરિામાાં આિે
છે . ઇસ્ન્રન્ન્સક સેવમકન્ડક્ટસમની વિદ્યુતિાહકતાના મ ૂલ્યો વ્યિહારરક ઉપયોર્ગ માટેની જરૂરી રે ન્જ કરતા
ઘણા નીચે હોય છે . પરાં ત ુ સેવમકન્ડક્ટસમમાાં એક અનોખો ગુણ છે કે ઓછી સાાંિતામાાં યોગ્ય અશુદ્ધદ્ધઓ
ભેળિીને તેમની વિદ્યુત િાહકતામાાં અનેક ર્ગણો િધારો કરી શકાય છે . આનાર્થી તેમનુ ાં તકનીકી મહત્િ
ઘણુાં િધી ર્ગયુાં છે . આમ, મુખ્યત્િે એક્સરરન્ન્સક સેવમકન્ડક્ટસમ જ સેવમકન્ડક્ટર ઉપકરણોનો આધાર
બને છે . એક્સરરન્ન્સક સેવમકન્ડક્ટસમની બનાિટ અને મોડેલની વિર્ગતો વિભાર્ગ 9.4 માાં આપિામાાં
આિી છે .
9.2 બેન્ડ સુંરચનાના ઉદાહરણો
ઘન પદાર્થમની બેન્ડ સાંરચના તેની સ્ફરટક સાંરચના સાર્થે ર્ગાઢ રીતે સાંબવાં ધત છે . ઘણી બધી
સ્ફરટકીય સાંરચનાઓ અધમિાહક (સેવમકન્ડસ્ક્ટિંર્ગ) િતમણ ૂક માટે અનુકૂળ હોતી નર્થી. ઊંડાણપ ૂિમક
તપાસિામાાં આિેલા મોટાભાર્ગના અધમિાહકો ડાયમાંડ પ્રકારની લેરટસ (diamond type lattice)
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
ધરાિે છે . આપણે Si, Ge અને GaAs ના ઉદાહરણો લઈએ છીએ જે તેમના બહોળા ઉપયોર્ગો
4
માટે જાણીતા છે . Si અને Ge સ્ફરટકો ડાયમાંડ સાંરચના ધરાિે છે . GaAs ની સ્ફરટક લેરટસ ઝઝિંક
બ્લેન્ડ (zenc blande) પ્રકારની છે જે ડાયમાંડ લેરટસનુ ાં જ સુધારે લ ુાં સ્િરૂપ છે . આપણે નીચે આ
સ્ફરટકોની બેન્ડ સાંરચનાઓનુ ાં િણમન કરીએ છીએ.
9.2.1 મસલિકોન અને જિસમનયિ
Si અને Ge ની બાહ્ય ઇલેક્રોન ર્ગોઠિણી અનુક્રમે 3𝑠 2 3𝑝2 અને 4𝑠 2 4p2 છે . આ પદાર્થોની બેન્ડ
સાંરચનાનો ઉદભિ પ્રકરણ 7.7 માાં ચચમિામાાં આવ્યો છે . S- અને p-તરાંર્ગવિધેયો (wave
functions) ના વમશ્રણને કારણે ટેરાહેડ્રલ બોસ્ન્ડિંર્ગ ઓઝબિટલ્સ sp3 બને છે . સાંતલ
ુ ન સમયે, બોસ્ન્ડિંર્ગ
અંતરની નજીક, આ ઓઝબિટલ્સ બોસ્ન્ડિંર્ગ અને એન્ટી-બોસ્ન્ડિંર્ગ ઓઝબિટલ્સમાાં વિભાજજત ર્થાય છે જે
અનુક્રમે િેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ બનાિે છે . તમામ ચાર s - અને p -ઇલેક્રોન િેલેન્સ
બેન્ડમાાં સ્ર્થાન લે છે , તેને સાંપ ૂણમ રીતે ભરે છે . સાંપ ૂણમ ખાલી કન્ડક્શન બેન્ડ આ ઝચત્ર સાર્થે જોડાઈને
અિાહક િતમણ ૂક ઉત્પન્ન કરિી જોઈએ. ડાયમાંડ સ્ફરટક (કાબમન) ના રકસ્સામાાં ખરે ખર આવુાં જ છે
જે સમાન બેન્ડ યોજના ધરાિે છે . પરાં ત ુ નાના બેન્ડ ર્ગેપ 𝐸𝑔 ને કારણે , Si અને Ge અધમિાહક
ગુણધમો દશામિે છે .
આકૃવત 7.11 બેન્ડ ર્ગેપની તાપમાન પરની વનભમરતા અંર્ગે એક મહત્િપ ૂણમ વિશેષતા દશામિે છે .
િેલેન્સ અને કન્ડક્શન બેન્ડ િચ્ચેના ઉજામ ર્ગેપનુ ાં કદ આંતર-પરમાણુ અંતર િધિા સાર્થે ઘટે છે
તે અિલોકન સ ૂચિે છે કે ઊંચા તાપમાને ર્ગેપ નાનો હોય છે જ્યાાં ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે
આંતર-પરમાણુ અંતર મોટુ ાં બને છે . આ હકીકત વિવિધ તાપમાને બેન્ડ ર્ગેપ 𝐸𝑔 ના માપેલા મ ૂલ્યો
દ્વારા પુસ્ષ્ટ પામે છે .
બેન્ડ સાંરચનાઓની ર્ગણતરી માપેલ ભૌવતક રાવશઓ જેમ કે બેન્ડ ર્ગેપ, ઝિલુઈન ઝોન (brillouin
zone) માાં ઉચ્ચ સાંવમવત ધરાિતા ઝબિંદુઓના સ્ર્થાનો અને ઉજામ સપાટીઓની િક્રતા (અસરકારક
દળ) ને રફટ કરીને કરિામાાં આિે છે . Si અને Ge ની ર્ગણતરી કરે લ બેન્ડ સાંરચનાઓ આકૃવત
9.2 માાં દશામિિામાાં આિી છે .
સાંજ્ઞાઓ ઝિલુઈન ઝોનમાાં ઉચ્ચ સાંવમવતના ચોક્કસ ઝબિંદુઓના સ્ર્થાન માટે િપરાય
છે . તેઓ અનુક્રમે ઝોન સેન્ટર (000), ઝબિંદુઓનો વનદે શ કરે છે ,
જ્યાાં ‘a’ એ લેરટસ અચળાાંક છે . Si અને Ge બાંને માટે િેલેન્સ બેન્ડનુ ાં મહત્તમ મ ૂલ્ય ઝોન સેન્ટર
એટલે કે k = 0 પર આિે છે . પરાં ત ુ કન્ડક્શન બેન્ડનુ ાં ન્ય ૂનતમ મ ૂલ્ય Si માાં [100] રદશામાાં k
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
માટે અને Ge માાં [111] રદશામાાં k માટે આિે છે . આનો અર્થમ એ છે કે કન્ડક્શન બેન્ડમાાં લઘુત્તમ
5
ઉજામ ધરાિતા ઇલેક્રોન તેમના તરાં ર્ગ સરદશ (wave vectors) Si માાં [100] રદશામાાં અને Ge માાં
[111] રદશામાાં ધરાિે છે . આ પ્રકારની બેન્ડ સાંરચના ધરાિતા અધમિાહકોને ઇનડાયરે ક્ટ ર્ગેપ
(indirect gap) સેવમકન્ડક્ટસમ કહેિામાાં આિે છે અને જેમના માટે મહત્તમ અને ન્ય ૂનતમ મ ૂલ્યો k
ના સમાન મ ૂલ્ય પર હોય તેમને ડાયરે ક્ટ ર્ગેપ (direct gap) સેવમકન્ડક્ટસમ કહેિાય છે . Si અને
Ge સ્ફરટકોનો પ્રર્થમ ઝિલુઈન ઝોન તેમના એકમ કોષની FCC સાંવમવતને અનુરૂપ એક કપાયેલ
અષ્ટફલક (truncated octahedron) છે .
આકૃવત 9.2: Si અને Ge ની ર્ગણતરી કરે લ બેન્ડ સાંરચનાઓ [J.R. Chelikowsky, M.L. Cohen,
Phys. Rev. B14, 556 (1976) પરર્થી]. આ સાંરચનાઓ Si અને Ge બાંને માટે ઇનડાયરે ક્ટ ર્ગેપ
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
(indirect gap)પ્રકૃવતની પુસ્ષ્ટ કરે છે . Ge માટે, ન્સ્પન-ઓઝબિટ સ્પસ્પ્લરટિંર્ગને પણ ધ્યાનમાાં લેિામાાં આવ્યુાં
6
છે .
Si માાં [100] રદશાઓમાાં ઝબિંદુઓ પર કન્ડક્શન બેન્ડના છ સાંવમવત-સાંબવાં ધત લઘુત્તમ (minima)
મ ૂલ્યો હોય છે . આ છ ઇઝલપ્સોઇડ્સ (ellipsoids) માાંર્થી દરે ક સાંવમવત દ્વારા ક્યુઝબક અક્ષની આસપાસ
રરિોલ્યુશનનુ ાં ઇઝલપ્સોઇડ છે . તેઓ આકૃવત 9.3(a) માાં દશામવ્યા મુજબ ક્યુબ અક્ષો સાર્થે ખેંચાયેલા
વસર્ગાર જેિા દે ખાય છે . ઇલેક્રોન પાસે બે અસર કારક દળ (effective masses) હોય છે —
લોન્ર્ગીટયુડનલ (અક્ષનીરદશામાાં) અનેરાન્સિસમ (અક્ષનેલબ
ાં િત). મુક્ત ઇલેક્રોન દળ m ના
સાંદભમમાાં તેમના મ ૂલ્યો અને તરીકે આપિામાાં આવ્યા છે . િેલેન્સ બેન્ડ બે
ડીજનરે ટ મહત્તમ (degenerate maxima) દશામિે છે જે બાંને k = 0 પર ર્ગોળાકાર સાંવમવત સાર્થે ન્સ્ર્થત
છે (આકૃવત 9.2). બે અસરકારક દળ 0.49 m અને 0.16 m છે . Ge માાં કન્ડક્શન બેન્ડના લઘુત્તમ
મ ૂલ્યો [111] રદશાઓમાાં ઝોન સીમાઓ (zone boundaries) પર જોિા મળે છે . ઝોનના સમાાંતર
ષ્કોણ ચહેરાઓ (parallel hexagonal faces) પરના લઘુત્તમ મ ૂલ્યો સમાન ઉજામ સ્તરોને અનુરૂપ
હોય છે , જે ચાર સાંવમવત-સાંબવાં ધત કન્ડક્શન બેન્ડ લઘુત્તમ આપે છે [આકૃવત 9.3(b)]. અચળ ઉજામ
સપાટીઓ [111] રદશાઓમાાં ખેંચાયેલા (elongation) રરિોલ્યુશનના ઇઝલપ્સોઇડ્સ છે અને તેમના
અસરકારક દળ 𝑚𝑙∗ = 1.57m અને 𝑚𝑡∗ = 0.082 m છે . આ રકસ્સામાાં બે ડીજનરે ટ િેલેન્સ બેન્ડ
મહત્તમ મ ૂલ્યો 0.28 m અને 0.44 m ના લાક્ષઝણક અસરકારક દળ આપે છે .
આકૃવત 9.3: (a) Si માટે અચળ ઉજામ સપાટીઓ: [100] રદશાઓમાાં ઝબિંદુઓ પર વસર્ગાર આકારના
છ કન્ડક્શન બેન્ડ લઘુત્તમ છે . ઉજામ સપાટીઓ ક્યુબ અક્ષો સાર્થે ખેંચાયેલા રરિોલ્યુશનના
ઇઝલપ્સોઇડ્સ છે . (b) Ge માટે અચળ ઉજામ સપાટીઓ: ઝિલુઈન ઝોનના સમાાંતર ષ્કોણ
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
ચહેરાઓ પર ચાર સાંવમવત સાંબવાં ધત કન્ડક્શન બેન્ડ લઘુત્તમ છે . ઉજામ સપાટીઓ [111] રદશાઓમાાં
7
ખેંચાયેલા રરિોલ્યુશનના ઇઝલપ્સોઇડ્સ છે .
અધમિાહકોના અભ્યાસ માટે હોલ્સ (holes) ના ગુણધમો પણ ઇલેક્રોન જેટલા જ મહત્િના છે .
સાયક્લોરોન રે ઝોનન્સ અભ્યાસોની વિર્ગતો દશામિે છે કે Si અને Ge માાં µ નજીક િેલેન્સ
બેન્ડ મહત્તમની સાંરચના આકૃવત 9.2 માાં દે ખાય છે તેના કરતા િધુ જરટલ છે . પરના બે
ડીજનરે ટ બેન્ડ ઉપરાાંત, ત્રીજો એક બેન્ડ છે જે ઉજામ Δ દ્વારા ર્થોડો નીચા ઉજામ બેન્ડ તરફ અલર્ગ
(split off) ર્થયેલ છે (આકૃવત 9.4). આ વિભાજન ન્સ્પન-ઓઝબિટ ઇન્ટરે ક્શનને કારણે ર્થાય છે .
અસરકારક દળના મ ૂલ્યોના આધારે , બે ડીજનરે ટ બેન્ડ્સને ‘લાઇટ’ (હલકા) અને ‘હેિી’ (ભારે )
હોલ્સ તરીકે ઓળખિામાાં આિે છે (આકૃવત 8.14). ત્રીજા બેન્ડ સાર્થે સાંકળાયેલા હોલ્સને ‘સ્પસ્પ્લટ-
ઓફ હોલ્સ’ (split-off holes) નામ આપિામાાં આવ્યુાં છે . સ્પસ્પ્લટ-ઓફ ઉજામ Δ નો અંદાજ Si માાં
0.044 eV અને Ge માાં 0.29 eV લર્ગાિિામાાં આવ્યો છે .
9.2.2 ર્ગેલિયિ આસેનાઇડ (Gallium Arsenide)
GaAs સ્ફરટક એક વિશેષ દરજ્જો ધરાિે છે , પ્રર્થમ તેના ડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ (direct-gap) ને કારણે
અને બીજુ ાં તેની બેન્ડ-ર્ગેપ ઉજામ િશ્ય પ્રકાશ (visible radiation) ની ઉજામ શ્રેણીની બરાબર નીચે
હોિાને કારણે. આ ગુણધમો તેને કાયમક્ષમ ઓસ્પ્ટકલ ઉપકરણો (optical devices) ના વનમામણ
માટે સૌર્થી યોગ્ય બનાિે છે .
સ્ફરટક ઝઝિંક બ્લેન્ડ (ZnS) સાંરચના ધરાિે છે . તે વમશ્ર આયવનક અને સહસાંયોજક (covalent)
બાંધનનુ ાં ઉદાહરણ છે . રાસાયઝણક બાંધનનુ ાં અર્થમઘટન બાંધનના આ બે આત્યાંવતક રકસ્સાઓના
સુપરપોઝઝશન તરીકે કરિામાાં આિે છે . આયવનક બાંધનમાાં, એક ઇલેક્રોન Ga ર્થી As માાં રાન્સફર
ર્થઈને આયવનક સાંરચના Ga+અને As − આપે છે . બીજી બાજુ , બીજા આત્યાંવતક રકસ્સામાાં, As ર્થી
Ga તરફ ઇલેક્રોનના વિસ્ર્થાપન સાર્થે, Ga અને As બાંને પરમાણુઓની બાહ્ય કક્ષામાાં ઇલેક્રોનની
સાંખ્યા ચાર ર્થઈ જાય છે જેના પરરણામે
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
8
આકૃવત 9.4: ન્સ્પન-ઓઝબિટ ઇન્ટરે ક્શનને ધ્યાનમાાં લેતા ટોચની નજીક Si અર્થિા Ge માાં િેલેન્સ
બેન્ડની સાંરચના (ગુણાત્મક). k = 0 પર ન્સ્પન-ઓઝબિટ ઇન્ટરે ક્શન દ્વારા ફાળો આપેલ સ્પસ્પ્લટ-ઓફ
હોલ બેન્ડ ટોચર્થી Δ દ્વારા અલર્ગ પડે છે .
Si અને Ge ના રકસ્સામાાં હોય છે તેમ sp3 હાઇઝિડાઇઝેશન જોિા મળે છે . GaAs ની અિલોકન કરે લ
ટેરાહેડ્રલી કોઓરડિનેટેડ ZnS સાંરચના એ િાતના પુરાિા તરીકે કામ કરે છે કે તેમાાં સહસાંયોજક
(covalent) બાંધનની અસરો પ્રભુત્િ ધરાિે છે .
GaAs ની બેન્ડ સાંરચના આકૃવત 9.5 માાં દશામિિામાાં આિી છે . તમામ િેલેન્સ બેન્ડ મહત્તમ અને
કન્ડક્શન બેન્ડ લઘુત્તમ પર જોિા મળે છે , જે 300 K તાપમાને 1.43 eV ના ર્ગેપ સાર્થે તેની
ડાયરે ક્ટ ર્ગેપ (direct gap) પ્રકૃવત દશામિે છે . તે મુજબ અચળ ઉજામ સપાટીઓ ર્ગોળાકાર હોય છે .
કન્ડક્શન બેન્ડનુ ાં અસરકારક દળ 𝑚𝑒∗ = 0.07m છે . અહીં \Gamma પર Si અને Ge ની જેમ જ ત્રણ
અલર્ગ-અલર્ગ િેલન્ે સ બેન્ડ્સ છે . તેમના સાંબવાં ધત અસરકારક દળ
તરીકે આપિામાાં આવ્યા છે , જ્યાાં Δ = 0.34
eV છે .
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
9
આકૃવત 9.5: III-V સેવમકન્ડક્ટસમના પ્રવતવનવધ એિા GaAs ની ર્ગણતરી કરે લ બેન્ડ સાંરચના. કન્ડક્શન
બેન્ડ લઘુત્તમ અને િેલેન્સ બેન્ડ મહત્તમ k = 0 પર જોિા મળે છે , જે ડાયરે ક્ટ ર્ગેપ િતમણ ૂક દશામિે છે
[J.R. Chelikowsky, M.L. Cohen, Phys. Rev., B14, 556 (1976) પરર્થી].
9.2.3 બેન્ડ ર્ગેપન ું મનર્ાસરણ
અધમિાહકોના બેન્ડ ર્ગેપ નક્કી કરિા માટે ઘણી પદ્ધવતઓનો ઉપયોર્ગ કરિામાાં આિે છે . સતત
ઓસ્પ્ટકલ એબ્સોપ્શમન (optical absorption) ની તકનીક તેની સચોટતા અને બેન્ડ સાંરચના વિશે
મળતી મહત્િપ ૂણમ મારહતીને કારણે િધુ િખત ઉપયોર્ગમાાં લેિાય છે . જ્યારે આપાત ર્થતા
વિરકરણની ઉજામ એટલી િધી જાય કે તે ઉજામ ર્ગેપ (energy gap) કરતા િધી જાય, ત્યારે
ઓસ્પ્ટકલ રે રડયેશનના શોષણમાાં એકાએક િધારો જોિા મળે છે .
ડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ (direct-gap) અધમિાહકોમાાં (દા.ત. GaAs, InSb), જ્યાાં કન્ડક્શન બેન્ડ ન્ય ૂનતમ
અને િેલન્ે સ બેન્ડ મહત્તમ k-સ્પેસમાાં સમાન k-મ ૂલ્ય પર જોિા મળે છે , ત્યાાં પરની
ઓસ્પ્ટકલ થ્રેશોલ્ડ સીધી રીતે બેન્ડ ર્ગેપ આપે છે [આકૃવત 9.6(a)]. પરાં ત ુ ઇનડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ
(indirect-gap) પદાર્થોમાાં (દા.ત. Si, Ge, GaP), િેલન્ે સ બેન્ડની ટોચ પરર્થી કન્ડક્શન બેન્ડના
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
તઝળયે ઇલેક્રોનના રાન્સફર સાર્થે ર્થતુ ાં સીધુાં ફોટોન શોષણ સ્ફરટકના િેર્ગમાન (momentum) નુ ાં
10
સાંરક્ષણ કરશે નહીં, કારણ કે સાંક્રમણના પ્રારાં ઝભક અને અંવતમ ઝબિંદુઓ k-સ્પેસમાાં સમાન k-મ ૂલ્ય
ધરાિતા નર્થી. તેર્થી આિા રકસ્સામાાં સીધુાં સાંક્રમણ (direct transition) શક્ય નર્થી. સાંક્રમણ પ્રરક્રયા
ઇનડાયરે ક્ટ હોિી જોઈએ જેમાાં ઓસ્પ્ટકલ ફોટોનનુ ાં શોષણ એિી અન્ય પ્રરક્રયા સાર્થે ર્થવુાં જોઈએ
કે જેના સામેલ ર્થિાર્થી િેર્ગમાન સાંરક્ષણની શરત સાંતોષાય. સતત શોષણ સ્પેક્રમની તીવ્રતાને
ફોનોન્સ (phonons) માાંર્થી પ ૂરતુ ાં યોર્ગદાન મળે છે . ચચામયેલા ઇનડાયરે ક્ટ સાંક્રમણમાાં ફોનોનના
સામેલ ર્થિા સાર્થે, સાંક્રમણ પહેલાના તરાં ર્ગ સરદશો (wavevectors) નો સરિાળો સાંક્રમણ પછીના
તેમના સરિાળા બરાબર ર્થાય છે , જે િેર્ગમાનનુ ાં સાંરક્ષણ દશામિે છે . આમાાં બે શક્યતાઓ હોઈ
શકે છે —એક જેમાાં સાંક્રમણ પછી ફોનોન ઉત્સજર્જત ર્થાય (ઉત્પન્ન ર્થાય) અને બીજી જેમાાં સાંક્રમણને
સાકાર કરિા માટે ઓસ્પ્ટકલ ફોટોન સાર્થે ફોનોનનુ ાં શોષણ ર્થાય (નાશ પામે).
ધારો કે ઓસ્પ્ટકલ ફોટોનનો તરાં ર્ગ સરદશ 𝐾𝑜𝑝 છે અને ફોનોનનો તરાં ર્ગ સરદશ 𝐾𝑝ℎ છે . જો
આકૃવત 9.6: (a) ડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ સેવમકન્ડક્ટરમાાં ફોટોનનુ ાં શોષણ, જ્યાાં િેલેન્સ બેન્ડમાાંર્થી
ઇલેક્રોન કન્ડક્શન બેન્ડમાાં જાય છે અને અન્ય કોઈ પ્રરક્રયા િર્ગર સ્ફરટક િેર્ગમાનનુ ાં સાંરક્ષણ
ર્થાય છે . (b) ઇનડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ પદાર્થમમાાં ફોટોનનુ ાં શોષણ જ્યાાં દશામિિામાાં આવ્યુાં છે કે િેર્ગમાન
સાંરક્ષણ સાંતોષિા માટે ફોટોન શોષણ પર ફોનોન ઉત્સજર્જત ર્થાય છે . 𝐾𝑜𝑝 અને 𝐾𝑝ℎ અનુક્રમે
શોષાયેલા ઓસ્પ્ટકલ ફોટોન અને ઉત્સજર્જત ફોનોનના તરાં ર્ગ સરદશો દશામિે છે .
(MAKE BY VARUN)
પ્રકરણ 9: સેમિકન્ડક્ટસસ (અર્સવાહકો) 1
ઘન પદાર્થોની વિદ્યુત િાહકતાના મ ૂલ્યો કોઈપણ સામાન્ય ભૌવતક ગુણધમમ માટે સૌર્થી વ્યાપક
શ્રેણીમાાં ફેલાયેલા હોય છે . તેર્થી આ મ ૂલ્યો ઘન પદાર્થોના િર્ગીકરણ માટેનો આધાર બને છે . જે
ઘન પદાર્થો અત્યાંત ઉચ્ચ અને અત્યાંત વનમ્ન વિદ્યુત િાહકતા ધરાિે છે , તેમને અનુક્રમે ધાતુઓ
અને અિાહકો તરીકે ઓળખિામાાં આિે છે . 1 K તાપમાને શુદ્ધ ધાતુની િાહકતા
ના ક્રમની હોઈ શકે છે , જ્યારે અત્યાંત અિાહક માટે તે જેટલી ઓછી હોઈ શકે
છે . આ આત્યાંવતક મ ૂલ્યોની િચ્ચેની િાહકતા ધરાિતા પદાર્થોને સેવમકન્ડક્ટસમ (અધમિાહકો)
કહેિામાાં આિે છે . સેવમકન્ડક્ટસમ માટે િાહકતાના સામાન્ય મ ૂલ્યો ર્થી ની
રે ન્જમાાં હોય છે . સેવમકન્ડક્ટસમન ુ ાં સૌર્થી ઉપયોર્ગી લક્ષણ એ છે કે તેમની વિદ્યુત િાહકતા સામાન્ય
રીતે શુદ્ધદ્ધકરણ િધિા સાર્થે ઘટે છે , જ્યારે ધાતુઓમાાં શુદ્ધદ્ધકરણ િધિા સાર્થે િાહકતા હાંમેશા િધે
છે .
સેવમકન્ડક્ટસમના પ્રચાંડ તકનીકી મહત્િ હોિા છતાાં, તેમનો અભ્યાસ ઘન પદાર્થોના ઇલેક્રોવનક
ગુણધમોને સમજિા માટે િધુ વનણામયક છે . આપણે જોઈશુાં કે સેવમકન્ડક્ટસમમાાં ચાર્જ કેરરયસમ
(િીજભાર િાહકો) સાર્થે કામ કરિા માટે મેક્સિેલ-બોલ્્ઝમેન સ્ટેરટસ્સ્ટક્સ લાગુ કરવુાં શક્ય છે .
આ ઘણી સમસ્યાઓના સચોટ વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલો આપે છે જે ધાતુઓમાાં ફક્ત અંદાજજત અર્થિા
સાંખ્યાત્મક પદ્ધવતઓ દ્વારા જ ઉકેલી શકાય છે , જ્યાાં ફમી-રડરાક સ્ટેરટસ્સ્ટક્સનો ઉપયોર્ગ કરિો પડે
છે . િધુમાાં, સેવમકન્ડક્ટર સ્ફરટકો ઉર્ગાડિાની ટેકનોલોજીમાાં નોંધપાત્ર પ્રર્ગવત સાર્થે,
સેવમકન્ડક્ટસમના વસિંર્ગલ રક્રસ્ટલ ઉર્ગાડિામાાં પ્રાપ્ત કરે લી શુદ્ધદ્ધકરણ અને ચોકસાઈની રડગ્રી ધાતુઓ
અને અિાહકો કરતા ઘણી િધારે છે . ઇલેક્રોવનક ગુણધમોના અભ્યાસ માટે આ અત્યાંત મહત્િની
બાબત છે , જેમાાંર્થી કેટલાક પાસાઓ અશુદ્ધદ્ધઓની હાજરી અને સ્ફરટકીય ખામીઓને કારણે અસ્પષ્ટ
ર્થઈ જાય છે . સરળ શબ્દોમાાં કહીએ તો, ધાતુઓમાાં જે ઘટનાઓનો અભ્યાસ સામાન્ય રીતે મુશ્કેલ
હોય છે અર્થિા ચોકસાઈર્થી કરી શકાતો નર્થી, તે સેવમકન્ડક્ટસમમાાં જરૂરી ચોકસાઈ સાર્થે સરળતાર્થી
કરી શકાય છે . આમ, સેવમકન્ડક્ટસમનો અભ્યાસ સામાન્ય રીતે ઘન પદાર્થોના ઇલેક્રોવનક
ગુણધમોના અર્થમઘટનમાાં મદદરૂપ ર્થાય છે . આ પ્રકરણમાાં આપણે ઘન પદાર્થોના બેન્ડ ર્થીયરી
(band theory) ના માળખામાાં મ ૂળભ ૂત સૈદ્ધાાંવતક વિચારોને આકાર આપિા પર ધ્યાન કેસ્ન્િત
કરીશુ.ાં તેમ છતાાં, વિભાર્ગ 9.10 માાં કેટલીક સરળ અને લોકવપ્રય ઉપકરણોની રચના અને કાયમકારી
વસદ્ધાાંતનો ટૂાંકો અહેિાલ શામેલ છે .
9.1 સેમિકન્ડક્ટસસન ું વર્ગીકરણ
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
ઘન પદાર્થોની બેન્ડ સાંરચનાના આધારે કરિામાાં આિેલ ુાં િર્ગીકરણ ઘણા ઘન પદાર્થોના
2
ગુણધમોના અર્થમઘટન માટે બેન્ડ ર્થીયરીનો ઉપયોર્ગ કરિાની રદશા આપે છે . આપણે પ્રકરણ 7
માાં શીખ્યા કે સાંપ ૂણમ ભરાયેલા અને સાંપ ૂણમ ખાલી બેન્ડ પ્રિાહના િહનમાાં ફાળો આપતા નર્થી.
ધાતુઓમાાં સૌર્થી િધુ ભરાયેલો બેન્ડ (િેલેન્સ બેન્ડ) માત્ર આંવશક રીતે ભરાયેલો હોય છે અને
પ્રિાહનુ ાં િહન વિદ્યુતક્ષેત્રના પ્રભાિ હેઠળ ખાલી અિસ્ર્થાઓમાાં િેલેન્સ બેન્ડ ઇલેક્રોનના લર્ગભર્ગ
સતત ઉત્તેજનાને કારણે ર્થાય છે . તેર્થી, જે પદાર્થમમાાં ફક્ત સાંપ ૂણમ ભરાયેલા અને સાંપ ૂણમ ખાલી
બેન્ડ હોય છે તે વનરપેક્ષ શ ૂન્ય તાપમાને એક સાંપ ૂણમ અિાહક તરીકે િતે છે . િેલેન્સ બેન્ડના
ઉપરના છે ડા અને કન્ડક્શન બેન્ડના નીચેના છે ડા િચ્ચેનો તફાિત જો મોટો ન હોય અને ર્થી
ઓછો હોય, તો મધ્યમ અને ઉચ્ચ તાપમાને િેલેન્સ બેન્ડની ઉપર ની અિસ્ર્થાઓમાાં રહેલા ઇલેક્રોનનો
ર્થોડો અંશ ઉષ્મીય રીતે ઉત્તેજજત ર્થઈ ને કન્ડક્શન બેન્ડ માાં જિાની ચોક્કસ શક્યતા રહેલી હોય છે . આ
તાપમાને ઉજામની તે શ્રેણી કે જેના પર ફમી રડસ્સ્રબ્યુશન ફાંક્શન (Fermi distribution function) ઝડપ
ર્થી બદલાય છે , તે પ્રમાણમાાં નોંધ પાત્ર હોય છે . આ વિતરણ વિધેયમાાં ર્થતા ફેરફારના પરરણામોને
સરળતાર્થી અિલોકનક્ષમ બનાિે છે . ધાતુઓ, અધમિાહકો (સેવમકન્ડક્ટસમ) અને અિાહકો માટે
પ્રવતવનવધ બેન્ડ યોજના આકૃવત 9.1 માાં દોરિામાાં આિી છે . આ આકૃવત આ ઘન પદાર્થો ની બેન્ડ
સાંરચનામાાં રહેલો ગુણાત્મક તફાિત દશામિે છે .
આકૃવત 9.1: તાપમાને ધાતુઓ, અધમિાહકો અને અિાહકો માટે તુલનાત્મક ઉજામ બેન્ડ
યોજનાઓ. અધમિાહકો અને અિાહકોમાાં િેલેન્સ બેન્ડ સાંપ ૂણમ રીતે ભરાયેલો હોય છે પરાં ત ુ ધાતુઓમાાં
માત્ર આંવશક રીતે ભરાયેલો (છાયાાંરકત) હોય છે . અધમિાહકોમાાં પ્રમાણમાાં ઘણો નાનો બેન્ડ ર્ગેપ 𝐸𝑔
તેમને અિાહકોર્થી અલર્ગપાડે છે .
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
સેવમકન્ડક્ટર પદાર્થોની લાાંબી યાદી છે . તેમાાંર્થી માત્ર ર્થોડા જ તત્િો છે . {Si, Ge, ગ્રે Sn અને ગ્રે Se
3
તેના કેટલાક ઉદાહરણો છે . પ્રર્થમ ત્રણ આિતમકોષ્ટક ના સમ ૂહ IV (Group IV) માાં છે અને Se સમ ૂહ VI
માાં છે . બાકીના મોટાભાર્ગના બાયનરી સાંયોજનો (binary compounds) છે , જે મુખ્યત્િે બે પ્રકારના
છે :
* એક પ્રકારમાાં (દા.ત. Ga As, InSb, GaP) સમ ૂહ III નુ ાં એક તત્િ (દા.ત. B, Al, Ga, In) સમ ૂહ V ના
તત્િ (દા.ત. N, P, As, Sb) સાર્થે જોડાયેલ ુાં હોય છે .
* બીજા પ્રકારના બાયનરી સાંયોજનો સમ ૂહ II ના એક તત્િ (દા.ત Zn, Cd, Pb) અનેસમ ૂહ VI ના
બીજાતત્િ (દા.તS, Se, Te) સાર્થે બને છે .
આ પ્રકારના કેટલાક મહત્િના ઉદાહરણો ZnS, CdSe, PbTe છે . SiC અને SiGe એક માત્ર જાણીતા
બાયનરી સેવમકન્ડક્ટસમ છે જેના બાંને ઘટકો સમ ૂહ IV માાંર્થી છે . કેટલાક ઓક્સાઇડપણ અધમિાહક
િતમણ ૂક દશામિે છે —TiO2 , Cu2O અને ZnO આ િર્ગમના અગ્રણી ઉદાહરણો છે . ટેકનોલોજીની દૃ સ્ષ્ટએ
મહત્િપ ૂણમ સેવમકન્ડક્ટર પદાર્થોની યાદી કોષ્ટક 9.1 માાં આપિામાાં આિી છે જેમાાં આ પદાર્થોનો
સાંબવાં ધત ડેટા પણ છે .
સેવમકન્ડક્ટસમ મુખ્યત્િે બે પ્રકારના હોય છે — ઇસ્ન્રન્ન્સક (આંતરરક) અને એક્સરરન્ન્સક (બાહ્ય).
ઇસ્ન્રન્ન્સક સેવમકન્ડક્ટસમ સામાન્ય રીતે શુદ્ધ મોનોએટોવમક અર્થિા ડાયટોવમક ઘન પદાર્થો હોય છે .
િીજભાર િાહકની ઘનતાનુ ાં સ્તર િધારિાના હેતર્થ
ુ ી યોગ્ય અશુદ્ધદ્ધના અંશ (~10 લાખમાાં 1 ભાર્ગ)
ઉમેરીને આંતરરક પદાર્થમને એક્સરરન્ન્સક પ્રકારમાાં (અર્થિા અશુદ્ધ પ્રકારમાાં) રૂપાાંતરરત કરિામાાં આિે
છે . ઇસ્ન્રન્ન્સક સેવમકન્ડક્ટસમની વિદ્યુતિાહકતાના મ ૂલ્યો વ્યિહારરક ઉપયોર્ગ માટેની જરૂરી રે ન્જ કરતા
ઘણા નીચે હોય છે . પરાં ત ુ સેવમકન્ડક્ટસમમાાં એક અનોખો ગુણ છે કે ઓછી સાાંિતામાાં યોગ્ય અશુદ્ધદ્ધઓ
ભેળિીને તેમની વિદ્યુત િાહકતામાાં અનેક ર્ગણો િધારો કરી શકાય છે . આનાર્થી તેમનુ ાં તકનીકી મહત્િ
ઘણુાં િધી ર્ગયુાં છે . આમ, મુખ્યત્િે એક્સરરન્ન્સક સેવમકન્ડક્ટસમ જ સેવમકન્ડક્ટર ઉપકરણોનો આધાર
બને છે . એક્સરરન્ન્સક સેવમકન્ડક્ટસમની બનાિટ અને મોડેલની વિર્ગતો વિભાર્ગ 9.4 માાં આપિામાાં
આિી છે .
9.2 બેન્ડ સુંરચનાના ઉદાહરણો
ઘન પદાર્થમની બેન્ડ સાંરચના તેની સ્ફરટક સાંરચના સાર્થે ર્ગાઢ રીતે સાંબવાં ધત છે . ઘણી બધી
સ્ફરટકીય સાંરચનાઓ અધમિાહક (સેવમકન્ડસ્ક્ટિંર્ગ) િતમણ ૂક માટે અનુકૂળ હોતી નર્થી. ઊંડાણપ ૂિમક
તપાસિામાાં આિેલા મોટાભાર્ગના અધમિાહકો ડાયમાંડ પ્રકારની લેરટસ (diamond type lattice)
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
ધરાિે છે . આપણે Si, Ge અને GaAs ના ઉદાહરણો લઈએ છીએ જે તેમના બહોળા ઉપયોર્ગો
4
માટે જાણીતા છે . Si અને Ge સ્ફરટકો ડાયમાંડ સાંરચના ધરાિે છે . GaAs ની સ્ફરટક લેરટસ ઝઝિંક
બ્લેન્ડ (zenc blande) પ્રકારની છે જે ડાયમાંડ લેરટસનુ ાં જ સુધારે લ ુાં સ્િરૂપ છે . આપણે નીચે આ
સ્ફરટકોની બેન્ડ સાંરચનાઓનુ ાં િણમન કરીએ છીએ.
9.2.1 મસલિકોન અને જિસમનયિ
Si અને Ge ની બાહ્ય ઇલેક્રોન ર્ગોઠિણી અનુક્રમે 3𝑠 2 3𝑝2 અને 4𝑠 2 4p2 છે . આ પદાર્થોની બેન્ડ
સાંરચનાનો ઉદભિ પ્રકરણ 7.7 માાં ચચમિામાાં આવ્યો છે . S- અને p-તરાંર્ગવિધેયો (wave
functions) ના વમશ્રણને કારણે ટેરાહેડ્રલ બોસ્ન્ડિંર્ગ ઓઝબિટલ્સ sp3 બને છે . સાંતલ
ુ ન સમયે, બોસ્ન્ડિંર્ગ
અંતરની નજીક, આ ઓઝબિટલ્સ બોસ્ન્ડિંર્ગ અને એન્ટી-બોસ્ન્ડિંર્ગ ઓઝબિટલ્સમાાં વિભાજજત ર્થાય છે જે
અનુક્રમે િેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ બનાિે છે . તમામ ચાર s - અને p -ઇલેક્રોન િેલેન્સ
બેન્ડમાાં સ્ર્થાન લે છે , તેને સાંપ ૂણમ રીતે ભરે છે . સાંપ ૂણમ ખાલી કન્ડક્શન બેન્ડ આ ઝચત્ર સાર્થે જોડાઈને
અિાહક િતમણ ૂક ઉત્પન્ન કરિી જોઈએ. ડાયમાંડ સ્ફરટક (કાબમન) ના રકસ્સામાાં ખરે ખર આવુાં જ છે
જે સમાન બેન્ડ યોજના ધરાિે છે . પરાં ત ુ નાના બેન્ડ ર્ગેપ 𝐸𝑔 ને કારણે , Si અને Ge અધમિાહક
ગુણધમો દશામિે છે .
આકૃવત 7.11 બેન્ડ ર્ગેપની તાપમાન પરની વનભમરતા અંર્ગે એક મહત્િપ ૂણમ વિશેષતા દશામિે છે .
િેલેન્સ અને કન્ડક્શન બેન્ડ િચ્ચેના ઉજામ ર્ગેપનુ ાં કદ આંતર-પરમાણુ અંતર િધિા સાર્થે ઘટે છે
તે અિલોકન સ ૂચિે છે કે ઊંચા તાપમાને ર્ગેપ નાનો હોય છે જ્યાાં ઉષ્મીય વિસ્તરણને કારણે
આંતર-પરમાણુ અંતર મોટુ ાં બને છે . આ હકીકત વિવિધ તાપમાને બેન્ડ ર્ગેપ 𝐸𝑔 ના માપેલા મ ૂલ્યો
દ્વારા પુસ્ષ્ટ પામે છે .
બેન્ડ સાંરચનાઓની ર્ગણતરી માપેલ ભૌવતક રાવશઓ જેમ કે બેન્ડ ર્ગેપ, ઝિલુઈન ઝોન (brillouin
zone) માાં ઉચ્ચ સાંવમવત ધરાિતા ઝબિંદુઓના સ્ર્થાનો અને ઉજામ સપાટીઓની િક્રતા (અસરકારક
દળ) ને રફટ કરીને કરિામાાં આિે છે . Si અને Ge ની ર્ગણતરી કરે લ બેન્ડ સાંરચનાઓ આકૃવત
9.2 માાં દશામિિામાાં આિી છે .
સાંજ્ઞાઓ ઝિલુઈન ઝોનમાાં ઉચ્ચ સાંવમવતના ચોક્કસ ઝબિંદુઓના સ્ર્થાન માટે િપરાય
છે . તેઓ અનુક્રમે ઝોન સેન્ટર (000), ઝબિંદુઓનો વનદે શ કરે છે ,
જ્યાાં ‘a’ એ લેરટસ અચળાાંક છે . Si અને Ge બાંને માટે િેલેન્સ બેન્ડનુ ાં મહત્તમ મ ૂલ્ય ઝોન સેન્ટર
એટલે કે k = 0 પર આિે છે . પરાં ત ુ કન્ડક્શન બેન્ડનુ ાં ન્ય ૂનતમ મ ૂલ્ય Si માાં [100] રદશામાાં k
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
માટે અને Ge માાં [111] રદશામાાં k માટે આિે છે . આનો અર્થમ એ છે કે કન્ડક્શન બેન્ડમાાં લઘુત્તમ
5
ઉજામ ધરાિતા ઇલેક્રોન તેમના તરાં ર્ગ સરદશ (wave vectors) Si માાં [100] રદશામાાં અને Ge માાં
[111] રદશામાાં ધરાિે છે . આ પ્રકારની બેન્ડ સાંરચના ધરાિતા અધમિાહકોને ઇનડાયરે ક્ટ ર્ગેપ
(indirect gap) સેવમકન્ડક્ટસમ કહેિામાાં આિે છે અને જેમના માટે મહત્તમ અને ન્ય ૂનતમ મ ૂલ્યો k
ના સમાન મ ૂલ્ય પર હોય તેમને ડાયરે ક્ટ ર્ગેપ (direct gap) સેવમકન્ડક્ટસમ કહેિાય છે . Si અને
Ge સ્ફરટકોનો પ્રર્થમ ઝિલુઈન ઝોન તેમના એકમ કોષની FCC સાંવમવતને અનુરૂપ એક કપાયેલ
અષ્ટફલક (truncated octahedron) છે .
આકૃવત 9.2: Si અને Ge ની ર્ગણતરી કરે લ બેન્ડ સાંરચનાઓ [J.R. Chelikowsky, M.L. Cohen,
Phys. Rev. B14, 556 (1976) પરર્થી]. આ સાંરચનાઓ Si અને Ge બાંને માટે ઇનડાયરે ક્ટ ર્ગેપ
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
(indirect gap)પ્રકૃવતની પુસ્ષ્ટ કરે છે . Ge માટે, ન્સ્પન-ઓઝબિટ સ્પસ્પ્લરટિંર્ગને પણ ધ્યાનમાાં લેિામાાં આવ્યુાં
6
છે .
Si માાં [100] રદશાઓમાાં ઝબિંદુઓ પર કન્ડક્શન બેન્ડના છ સાંવમવત-સાંબવાં ધત લઘુત્તમ (minima)
મ ૂલ્યો હોય છે . આ છ ઇઝલપ્સોઇડ્સ (ellipsoids) માાંર્થી દરે ક સાંવમવત દ્વારા ક્યુઝબક અક્ષની આસપાસ
રરિોલ્યુશનનુ ાં ઇઝલપ્સોઇડ છે . તેઓ આકૃવત 9.3(a) માાં દશામવ્યા મુજબ ક્યુબ અક્ષો સાર્થે ખેંચાયેલા
વસર્ગાર જેિા દે ખાય છે . ઇલેક્રોન પાસે બે અસર કારક દળ (effective masses) હોય છે —
લોન્ર્ગીટયુડનલ (અક્ષનીરદશામાાં) અનેરાન્સિસમ (અક્ષનેલબ
ાં િત). મુક્ત ઇલેક્રોન દળ m ના
સાંદભમમાાં તેમના મ ૂલ્યો અને તરીકે આપિામાાં આવ્યા છે . િેલેન્સ બેન્ડ બે
ડીજનરે ટ મહત્તમ (degenerate maxima) દશામિે છે જે બાંને k = 0 પર ર્ગોળાકાર સાંવમવત સાર્થે ન્સ્ર્થત
છે (આકૃવત 9.2). બે અસરકારક દળ 0.49 m અને 0.16 m છે . Ge માાં કન્ડક્શન બેન્ડના લઘુત્તમ
મ ૂલ્યો [111] રદશાઓમાાં ઝોન સીમાઓ (zone boundaries) પર જોિા મળે છે . ઝોનના સમાાંતર
ષ્કોણ ચહેરાઓ (parallel hexagonal faces) પરના લઘુત્તમ મ ૂલ્યો સમાન ઉજામ સ્તરોને અનુરૂપ
હોય છે , જે ચાર સાંવમવત-સાંબવાં ધત કન્ડક્શન બેન્ડ લઘુત્તમ આપે છે [આકૃવત 9.3(b)]. અચળ ઉજામ
સપાટીઓ [111] રદશાઓમાાં ખેંચાયેલા (elongation) રરિોલ્યુશનના ઇઝલપ્સોઇડ્સ છે અને તેમના
અસરકારક દળ 𝑚𝑙∗ = 1.57m અને 𝑚𝑡∗ = 0.082 m છે . આ રકસ્સામાાં બે ડીજનરે ટ િેલેન્સ બેન્ડ
મહત્તમ મ ૂલ્યો 0.28 m અને 0.44 m ના લાક્ષઝણક અસરકારક દળ આપે છે .
આકૃવત 9.3: (a) Si માટે અચળ ઉજામ સપાટીઓ: [100] રદશાઓમાાં ઝબિંદુઓ પર વસર્ગાર આકારના
છ કન્ડક્શન બેન્ડ લઘુત્તમ છે . ઉજામ સપાટીઓ ક્યુબ અક્ષો સાર્થે ખેંચાયેલા રરિોલ્યુશનના
ઇઝલપ્સોઇડ્સ છે . (b) Ge માટે અચળ ઉજામ સપાટીઓ: ઝિલુઈન ઝોનના સમાાંતર ષ્કોણ
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
ચહેરાઓ પર ચાર સાંવમવત સાંબવાં ધત કન્ડક્શન બેન્ડ લઘુત્તમ છે . ઉજામ સપાટીઓ [111] રદશાઓમાાં
7
ખેંચાયેલા રરિોલ્યુશનના ઇઝલપ્સોઇડ્સ છે .
અધમિાહકોના અભ્યાસ માટે હોલ્સ (holes) ના ગુણધમો પણ ઇલેક્રોન જેટલા જ મહત્િના છે .
સાયક્લોરોન રે ઝોનન્સ અભ્યાસોની વિર્ગતો દશામિે છે કે Si અને Ge માાં µ નજીક િેલેન્સ
બેન્ડ મહત્તમની સાંરચના આકૃવત 9.2 માાં દે ખાય છે તેના કરતા િધુ જરટલ છે . પરના બે
ડીજનરે ટ બેન્ડ ઉપરાાંત, ત્રીજો એક બેન્ડ છે જે ઉજામ Δ દ્વારા ર્થોડો નીચા ઉજામ બેન્ડ તરફ અલર્ગ
(split off) ર્થયેલ છે (આકૃવત 9.4). આ વિભાજન ન્સ્પન-ઓઝબિટ ઇન્ટરે ક્શનને કારણે ર્થાય છે .
અસરકારક દળના મ ૂલ્યોના આધારે , બે ડીજનરે ટ બેન્ડ્સને ‘લાઇટ’ (હલકા) અને ‘હેિી’ (ભારે )
હોલ્સ તરીકે ઓળખિામાાં આિે છે (આકૃવત 8.14). ત્રીજા બેન્ડ સાર્થે સાંકળાયેલા હોલ્સને ‘સ્પસ્પ્લટ-
ઓફ હોલ્સ’ (split-off holes) નામ આપિામાાં આવ્યુાં છે . સ્પસ્પ્લટ-ઓફ ઉજામ Δ નો અંદાજ Si માાં
0.044 eV અને Ge માાં 0.29 eV લર્ગાિિામાાં આવ્યો છે .
9.2.2 ર્ગેલિયિ આસેનાઇડ (Gallium Arsenide)
GaAs સ્ફરટક એક વિશેષ દરજ્જો ધરાિે છે , પ્રર્થમ તેના ડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ (direct-gap) ને કારણે
અને બીજુ ાં તેની બેન્ડ-ર્ગેપ ઉજામ િશ્ય પ્રકાશ (visible radiation) ની ઉજામ શ્રેણીની બરાબર નીચે
હોિાને કારણે. આ ગુણધમો તેને કાયમક્ષમ ઓસ્પ્ટકલ ઉપકરણો (optical devices) ના વનમામણ
માટે સૌર્થી યોગ્ય બનાિે છે .
સ્ફરટક ઝઝિંક બ્લેન્ડ (ZnS) સાંરચના ધરાિે છે . તે વમશ્ર આયવનક અને સહસાંયોજક (covalent)
બાંધનનુ ાં ઉદાહરણ છે . રાસાયઝણક બાંધનનુ ાં અર્થમઘટન બાંધનના આ બે આત્યાંવતક રકસ્સાઓના
સુપરપોઝઝશન તરીકે કરિામાાં આિે છે . આયવનક બાંધનમાાં, એક ઇલેક્રોન Ga ર્થી As માાં રાન્સફર
ર્થઈને આયવનક સાંરચના Ga+અને As − આપે છે . બીજી બાજુ , બીજા આત્યાંવતક રકસ્સામાાં, As ર્થી
Ga તરફ ઇલેક્રોનના વિસ્ર્થાપન સાર્થે, Ga અને As બાંને પરમાણુઓની બાહ્ય કક્ષામાાં ઇલેક્રોનની
સાંખ્યા ચાર ર્થઈ જાય છે જેના પરરણામે
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
8
આકૃવત 9.4: ન્સ્પન-ઓઝબિટ ઇન્ટરે ક્શનને ધ્યાનમાાં લેતા ટોચની નજીક Si અર્થિા Ge માાં િેલેન્સ
બેન્ડની સાંરચના (ગુણાત્મક). k = 0 પર ન્સ્પન-ઓઝબિટ ઇન્ટરે ક્શન દ્વારા ફાળો આપેલ સ્પસ્પ્લટ-ઓફ
હોલ બેન્ડ ટોચર્થી Δ દ્વારા અલર્ગ પડે છે .
Si અને Ge ના રકસ્સામાાં હોય છે તેમ sp3 હાઇઝિડાઇઝેશન જોિા મળે છે . GaAs ની અિલોકન કરે લ
ટેરાહેડ્રલી કોઓરડિનેટેડ ZnS સાંરચના એ િાતના પુરાિા તરીકે કામ કરે છે કે તેમાાં સહસાંયોજક
(covalent) બાંધનની અસરો પ્રભુત્િ ધરાિે છે .
GaAs ની બેન્ડ સાંરચના આકૃવત 9.5 માાં દશામિિામાાં આિી છે . તમામ િેલેન્સ બેન્ડ મહત્તમ અને
કન્ડક્શન બેન્ડ લઘુત્તમ પર જોિા મળે છે , જે 300 K તાપમાને 1.43 eV ના ર્ગેપ સાર્થે તેની
ડાયરે ક્ટ ર્ગેપ (direct gap) પ્રકૃવત દશામિે છે . તે મુજબ અચળ ઉજામ સપાટીઓ ર્ગોળાકાર હોય છે .
કન્ડક્શન બેન્ડનુ ાં અસરકારક દળ 𝑚𝑒∗ = 0.07m છે . અહીં \Gamma પર Si અને Ge ની જેમ જ ત્રણ
અલર્ગ-અલર્ગ િેલન્ે સ બેન્ડ્સ છે . તેમના સાંબવાં ધત અસરકારક દળ
તરીકે આપિામાાં આવ્યા છે , જ્યાાં Δ = 0.34
eV છે .
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
9
આકૃવત 9.5: III-V સેવમકન્ડક્ટસમના પ્રવતવનવધ એિા GaAs ની ર્ગણતરી કરે લ બેન્ડ સાંરચના. કન્ડક્શન
બેન્ડ લઘુત્તમ અને િેલેન્સ બેન્ડ મહત્તમ k = 0 પર જોિા મળે છે , જે ડાયરે ક્ટ ર્ગેપ િતમણ ૂક દશામિે છે
[J.R. Chelikowsky, M.L. Cohen, Phys. Rev., B14, 556 (1976) પરર્થી].
9.2.3 બેન્ડ ર્ગેપન ું મનર્ાસરણ
અધમિાહકોના બેન્ડ ર્ગેપ નક્કી કરિા માટે ઘણી પદ્ધવતઓનો ઉપયોર્ગ કરિામાાં આિે છે . સતત
ઓસ્પ્ટકલ એબ્સોપ્શમન (optical absorption) ની તકનીક તેની સચોટતા અને બેન્ડ સાંરચના વિશે
મળતી મહત્િપ ૂણમ મારહતીને કારણે િધુ િખત ઉપયોર્ગમાાં લેિાય છે . જ્યારે આપાત ર્થતા
વિરકરણની ઉજામ એટલી િધી જાય કે તે ઉજામ ર્ગેપ (energy gap) કરતા િધી જાય, ત્યારે
ઓસ્પ્ટકલ રે રડયેશનના શોષણમાાં એકાએક િધારો જોિા મળે છે .
ડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ (direct-gap) અધમિાહકોમાાં (દા.ત. GaAs, InSb), જ્યાાં કન્ડક્શન બેન્ડ ન્ય ૂનતમ
અને િેલન્ે સ બેન્ડ મહત્તમ k-સ્પેસમાાં સમાન k-મ ૂલ્ય પર જોિા મળે છે , ત્યાાં પરની
ઓસ્પ્ટકલ થ્રેશોલ્ડ સીધી રીતે બેન્ડ ર્ગેપ આપે છે [આકૃવત 9.6(a)]. પરાં ત ુ ઇનડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ
(indirect-gap) પદાર્થોમાાં (દા.ત. Si, Ge, GaP), િેલન્ે સ બેન્ડની ટોચ પરર્થી કન્ડક્શન બેન્ડના
(MAKE BY VARUN)
, UNIT-2 SEMICONDUCTOR
તઝળયે ઇલેક્રોનના રાન્સફર સાર્થે ર્થતુ ાં સીધુાં ફોટોન શોષણ સ્ફરટકના િેર્ગમાન (momentum) નુ ાં
10
સાંરક્ષણ કરશે નહીં, કારણ કે સાંક્રમણના પ્રારાં ઝભક અને અંવતમ ઝબિંદુઓ k-સ્પેસમાાં સમાન k-મ ૂલ્ય
ધરાિતા નર્થી. તેર્થી આિા રકસ્સામાાં સીધુાં સાંક્રમણ (direct transition) શક્ય નર્થી. સાંક્રમણ પ્રરક્રયા
ઇનડાયરે ક્ટ હોિી જોઈએ જેમાાં ઓસ્પ્ટકલ ફોટોનનુ ાં શોષણ એિી અન્ય પ્રરક્રયા સાર્થે ર્થવુાં જોઈએ
કે જેના સામેલ ર્થિાર્થી િેર્ગમાન સાંરક્ષણની શરત સાંતોષાય. સતત શોષણ સ્પેક્રમની તીવ્રતાને
ફોનોન્સ (phonons) માાંર્થી પ ૂરતુ ાં યોર્ગદાન મળે છે . ચચામયેલા ઇનડાયરે ક્ટ સાંક્રમણમાાં ફોનોનના
સામેલ ર્થિા સાર્થે, સાંક્રમણ પહેલાના તરાં ર્ગ સરદશો (wavevectors) નો સરિાળો સાંક્રમણ પછીના
તેમના સરિાળા બરાબર ર્થાય છે , જે િેર્ગમાનનુ ાં સાંરક્ષણ દશામિે છે . આમાાં બે શક્યતાઓ હોઈ
શકે છે —એક જેમાાં સાંક્રમણ પછી ફોનોન ઉત્સજર્જત ર્થાય (ઉત્પન્ન ર્થાય) અને બીજી જેમાાં સાંક્રમણને
સાકાર કરિા માટે ઓસ્પ્ટકલ ફોટોન સાર્થે ફોનોનનુ ાં શોષણ ર્થાય (નાશ પામે).
ધારો કે ઓસ્પ્ટકલ ફોટોનનો તરાં ર્ગ સરદશ 𝐾𝑜𝑝 છે અને ફોનોનનો તરાં ર્ગ સરદશ 𝐾𝑝ℎ છે . જો
આકૃવત 9.6: (a) ડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ સેવમકન્ડક્ટરમાાં ફોટોનનુ ાં શોષણ, જ્યાાં િેલેન્સ બેન્ડમાાંર્થી
ઇલેક્રોન કન્ડક્શન બેન્ડમાાં જાય છે અને અન્ય કોઈ પ્રરક્રયા િર્ગર સ્ફરટક િેર્ગમાનનુ ાં સાંરક્ષણ
ર્થાય છે . (b) ઇનડાયરે ક્ટ-ર્ગેપ પદાર્થમમાાં ફોટોનનુ ાં શોષણ જ્યાાં દશામિિામાાં આવ્યુાં છે કે િેર્ગમાન
સાંરક્ષણ સાંતોષિા માટે ફોટોન શોષણ પર ફોનોન ઉત્સજર્જત ર્થાય છે . 𝐾𝑜𝑝 અને 𝐾𝑝ℎ અનુક્રમે
શોષાયેલા ઓસ્પ્ટકલ ફોટોન અને ઉત્સજર્જત ફોનોનના તરાં ર્ગ સરદશો દશામિે છે .
(MAKE BY VARUN)
