Modelos de examen - Álgebra

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN 12/8/10
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS - DIVISION MATEMÁTICA
EXAMEN FINAL DE ÁLGEBRA (10021)


1) Sean los siguientes puntos de  3 : (1,0,2), (1,2,-1), (1,1,0), (1,3,-3).
a) Demostrar que determinan un paralelogramo.
b) Escribir la ecuación de una recta perpendicular al paralelogramo que pasa por
uno de sus vértices.

2) Resolver las siguientes ecuaciones en C:
a) z 3  1  0 . b) z 1  i

3) Determinar el conjunto de vectores:
a) de  2 perpendiculares al vector (1,1).
b) de  3 perpendiculares al vector (1,1,1).

cos   sen 
4) Sea la matriz de rotación: R(  )= 
cos  
, mostrar que:
 sen
a) tiene inversa. b) R 1 (  )= R(   ).

1 0 2 
 
5) Sea A= 2 1 1  .
1  1 5
Escribir una base para el espacio de soluciones del sistema lineal AX=0.
Justificar (explicar por qué la base propuesta es efectivamente una base).
6) Sea la matriz A dada en el ejercicio 5.
a) Determinar el subespacio generado por las filas de A.
b) ¿ El vector (3,2,0) pertenece al subespacio generado por las filas de A?
(Justificar la respuesta).

7) Sea A la matriz dada en el ejercicio 5 y sea la transformación lineal
T : 3  3 / T ( X )  AX .
a) Determinar el núcleo de T.
b) ¿Qué dimensión tiene el núcleo de T? (Justificar la respuesta).
8) Demostrar que: Si dos vectores no nulos de  son perpendiculares, entonces son
3

linealmente independientes.
1) (Sólo para alumnos libres) Demostrar que T :  2   2 / T ( X )  rX con r   es
una transformación lineal.
Determinar la intersección de la recta que pasa por P=(1,0,-1) y es perpendicular al plano z=0,
con el plano x+y+z=1.

2) Sea la transformación lineal T :  2   2 / T ( x, y)  ( x, y) .

, a) Describir el efecto geométrico que produce en los vectores de  2 la
transformación lineal dada.
b) Escribirla en forma matricial.
c) Determinar si es o no un isomorfismo.

3) Sea el siguiente sistema lineal homogéneo: a) Resolverlo. b) Escribir, si es posible, una
base del espacio de soluciones.
x  2 y  4z  0
2 x  6 y  2 z  0


3x  4 y  2 z  0
10 y  10 z  0
3
4) Sean los vectores: (1,1,1), (1,-1,1), (2,4,2), (0,-4,0), (-2,2,3). ¿Generan R ? (Justificar).
3
Elegir, si es posible, dos de éstos vectores que generen el plano z=0 de R .
5) Determinar la intersección del paraboloide elíptico x 2  y 2  z  0 con la recta
X=(1,1,1)t.
6) Sea la ecuación, en el conjunto de números complejos, z3 1  0 .
1 3
a) Verificar que z=  i es una solución.
2 2
b) Determinar todas las soluciones en C.
7) Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o
independientes:
a) {(1,1,1), ( 2  1, 2 , 2  3), (1,0,3)}
b) { sen 2 x, 3(1  cos 2 x) }
8) Demostrar que el conjunto {E1 , E2 , E3 }  {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es efectivamente una
3
base de R .
9) (Sólo para alumnos libres) Demostrar que toda recta de R n que pasa por el origen es
n
un subespacio de R

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS - DIVISION MATEMÁTICA
EXAMEN FINAL DE ÁLGEBRA (10021)


1) Determinar la intersección de la recta que pasa por P=(1,0,-1) y es perpendicular al plano z=0,
con el plano x+y+z=1.

2) Sea la transformación lineal T :  2   2 / T ( x, y)  ( x, y) .
a) Describir el efecto geométrico que produce en los vectores de  2 la
transformación lineal dada.
b) Escribirla en forma matricial.
c) Determinar si es o no un isomorfismo.

3) Sea el siguiente sistema lineal homogéneo: a) Resolverlo. b) Escribir, si es posible, una
base del espacio de soluciones.