UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJÁN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS DIVISIÓN MATEMÁTICA
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I --SOLUCIONES-- 04 – 08 – 2017
( ) 2
1. Estudiar la siguiente función y = x 2 − 3 e − x y trazar su gráfica. Omitir el estudio de y”.
Dominio R. Función par.
No hacemos la resolución completa,. Solamente algunos comentarios donde observamos los
errores más frecuentes. Aprovechando la simetría se puede calcular:
x2 − 3 L'H 2x 1
lim 2
= lim 2
= lim 2
= 0 , y para evitar aplicar una vez más el
x →∞ x →∞ x →∞
ex 2x e x ex
teorema de L’Hospital o cometer errores al derivar de nuevo el denominador.se simplifica el
factor 2x .
2. Determinar los valores de los parámetros de la ecuación de la parábola cúbica
y = a x 3 + b x 2 + c x + d que presenta en el origen un punto de inflexión con tangente
horizontal y además pasa por el punto (2, 4).
y = a x 3 + b x 2 + c x + d . Pasa por el origen, o sea y (0) = 0. Entonces d=0
y ' = 3 a x + 2 b x + c . Por (0, 0) pasa la tangente horizontal, o sea y‘(0) = 0. Entonces c = 0
2
y '' = 6 a x + 2b . (0,0) es punto de inflexión, o sea y‘’(0) = 0. Entonces b = 0
Es decir que la ecuación de la curva se reduce a la forma y = a x 3
Y como pasa por el punto (2,4), se cumple que 4 = a 23 de donde sigue que a = ½
4
∫
dx
3. Calcular, si existe, la siguiente integral impropia: . (Sugerencia: x = t)
0 x+ x
x =t
∫
dx
x+ x
= x = t2 =
∫
2 t dt
t +t
2
=
2 dt
t +1 ∫
= 2 log (t + 1) = 2 log x + 1 ( )
dx = 2 t dt
( )
4 4 4
∫ ∫
dx dx
= lim = lim 2 log x + 1 = L = 2 log 3
0 x + x a→0 a x + x a→0 a
4. Hallar el área de la figura limitada por la parábola y = 3 − x 2 , su tangente en el punto de
abscisa x = 1 y el eje de las ordenadas. Esbozar la figura.
x e x + 1 , si x < 1
2 1 2
e1 x
5. Dada f ( x) =
e
1 x
, si x ≥ 1
calcular
∫ −1
f (x ) dx =
∫144x 2e 443dx + 1∫ 42x 43dx
−1
x +1
1
2
x 2 por partes por sustitución
e1
( )= − e
x
Muchos errores en la segunda:
∫ x 2 ∫
dx = − e1 x
d e1 x 1 x
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS DIVISIÓN MATEMÁTICA
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I --SOLUCIONES-- 04 – 08 – 2017
( ) 2
1. Estudiar la siguiente función y = x 2 − 3 e − x y trazar su gráfica. Omitir el estudio de y”.
Dominio R. Función par.
No hacemos la resolución completa,. Solamente algunos comentarios donde observamos los
errores más frecuentes. Aprovechando la simetría se puede calcular:
x2 − 3 L'H 2x 1
lim 2
= lim 2
= lim 2
= 0 , y para evitar aplicar una vez más el
x →∞ x →∞ x →∞
ex 2x e x ex
teorema de L’Hospital o cometer errores al derivar de nuevo el denominador.se simplifica el
factor 2x .
2. Determinar los valores de los parámetros de la ecuación de la parábola cúbica
y = a x 3 + b x 2 + c x + d que presenta en el origen un punto de inflexión con tangente
horizontal y además pasa por el punto (2, 4).
y = a x 3 + b x 2 + c x + d . Pasa por el origen, o sea y (0) = 0. Entonces d=0
y ' = 3 a x + 2 b x + c . Por (0, 0) pasa la tangente horizontal, o sea y‘(0) = 0. Entonces c = 0
2
y '' = 6 a x + 2b . (0,0) es punto de inflexión, o sea y‘’(0) = 0. Entonces b = 0
Es decir que la ecuación de la curva se reduce a la forma y = a x 3
Y como pasa por el punto (2,4), se cumple que 4 = a 23 de donde sigue que a = ½
4
∫
dx
3. Calcular, si existe, la siguiente integral impropia: . (Sugerencia: x = t)
0 x+ x
x =t
∫
dx
x+ x
= x = t2 =
∫
2 t dt
t +t
2
=
2 dt
t +1 ∫
= 2 log (t + 1) = 2 log x + 1 ( )
dx = 2 t dt
( )
4 4 4
∫ ∫
dx dx
= lim = lim 2 log x + 1 = L = 2 log 3
0 x + x a→0 a x + x a→0 a
4. Hallar el área de la figura limitada por la parábola y = 3 − x 2 , su tangente en el punto de
abscisa x = 1 y el eje de las ordenadas. Esbozar la figura.
x e x + 1 , si x < 1
2 1 2
e1 x
5. Dada f ( x) =
e
1 x
, si x ≥ 1
calcular
∫ −1
f (x ) dx =
∫144x 2e 443dx + 1∫ 42x 43dx
−1
x +1
1
2
x 2 por partes por sustitución
e1
( )= − e
x
Muchos errores en la segunda:
∫ x 2 ∫
dx = − e1 x
d e1 x 1 x
