TRABAJO PRÁCTICO 11
TEOREMAS DEL VALOR MEDIO:APLICACIONES AL ESTUDIO DE FUNCIONES
REGLA DE L’HÔPITAL.
1. Mostrar ejemplos que permitan ver que, en el enunciado del Teorema de Rolle es necesaria
la hipótesis de la derivabilidad en todos los puntos interiores del intervalo (a, b). Lo mismo
para la hipótesis de igualdad de resultados en los extremos, f (a) = f (b).
2. Examinar si para la función definida por la expresión
1
en el intervalo ; 2 se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. En caso afirmativo,
determinar el punto c del cual se asegura su existencia en la tesis de dicho teorema.
3. Demostrar que la derivada de la función definida como f (x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) se anula
en dos valores distintos de x.
4. Si f es una función de la que se sabe que su función derivada es
′ : IR IR, ′ 2. 3. 5. e
probar que la función f tiene a lo sumo tres raíces reales distintas
5. Mostrar con ejemplos que, en el enunciado del Teorema de Lagrange es necesaria la
hipótesis de la derivabilidad de la función en todos los puntos del intervalo (a, b).
6. Dada la función definida por la expresión f (x) = √4 1, ¿se verifican las hipótesis del
Teorema de Lagrange en el intervalo [0, 2]? En caso afirmativo hallar el (o los) puntos a los
que se refiere el citado Teorema.
7. Usar el Teorema de Lagrange para probar que si una función es derivable en un intervalo
; y para todo
; se cumple que ′ ! 0 entonces es estrictamente
decreciente en todo el intervalo
; .
8. Si f es una función continua en [a; b], estrictamente creciente y derivable en (a; b), probar
que la gráfica de f corta a lo sumo una vez al eje de las abscisas.
9. Sabiendo que f es una función derivable para la cual se verifica que ´ ! 0 # 2; 8,
decidir si es válido afirmar que 3 % 5. Justificar la respuesta.
10. Calcular los siguientes límites:
)* ./
a. lim h. lim,-
)+ √ 0
234 ./
b. lim1 1 i. lim, ./ 56789
)
)678
c. lim, j. lim, √. ln
234
d. lim,
*; ) k. lim)∞ . <
e. lim,
)678 l. lim, 51 cos 9
0
TEOREMAS DEL VALOR MEDIO:APLICACIONES AL ESTUDIO DE FUNCIONES
REGLA DE L’HÔPITAL.
1. Mostrar ejemplos que permitan ver que, en el enunciado del Teorema de Rolle es necesaria
la hipótesis de la derivabilidad en todos los puntos interiores del intervalo (a, b). Lo mismo
para la hipótesis de igualdad de resultados en los extremos, f (a) = f (b).
2. Examinar si para la función definida por la expresión
1
en el intervalo ; 2 se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. En caso afirmativo,
determinar el punto c del cual se asegura su existencia en la tesis de dicho teorema.
3. Demostrar que la derivada de la función definida como f (x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) se anula
en dos valores distintos de x.
4. Si f es una función de la que se sabe que su función derivada es
′ : IR IR, ′ 2. 3. 5. e
probar que la función f tiene a lo sumo tres raíces reales distintas
5. Mostrar con ejemplos que, en el enunciado del Teorema de Lagrange es necesaria la
hipótesis de la derivabilidad de la función en todos los puntos del intervalo (a, b).
6. Dada la función definida por la expresión f (x) = √4 1, ¿se verifican las hipótesis del
Teorema de Lagrange en el intervalo [0, 2]? En caso afirmativo hallar el (o los) puntos a los
que se refiere el citado Teorema.
7. Usar el Teorema de Lagrange para probar que si una función es derivable en un intervalo
; y para todo
; se cumple que ′ ! 0 entonces es estrictamente
decreciente en todo el intervalo
; .
8. Si f es una función continua en [a; b], estrictamente creciente y derivable en (a; b), probar
que la gráfica de f corta a lo sumo una vez al eje de las abscisas.
9. Sabiendo que f es una función derivable para la cual se verifica que ´ ! 0 # 2; 8,
decidir si es válido afirmar que 3 % 5. Justificar la respuesta.
10. Calcular los siguientes límites:
)* ./
a. lim h. lim,-
)+ √ 0
234 ./
b. lim1 1 i. lim, ./ 56789
)
)678
c. lim, j. lim, √. ln
234
d. lim,
*; ) k. lim)∞ . <
e. lim,
)678 l. lim, 51 cos 9
0
