Primeros parciales de Análisis Matemático II con respuestas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN

PRIMERA EVALUACIÓN DE
ANÁLISIS MATEMÁTICO II / 2012 TEMA 1
______________________________________________________________________

1) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal y la ecuación vectorial de la recta tangente
a la curva intersección de las superficies
x2 − 2y2 + z2 = 0 , x + y3 − z = 3 ,
en el punto (1, 1, − 1) .

2) Dada la función f ( x, y ) = 2 x 2 + 4 y 2 + 3 . Estudiar sus curvas de nivel.

2 x3 + y 3
3) Hallar las dos derivadas segundas cruzadas de la función f ( x, y ) = x y e y verificar
el Teorema de Schwarz.

−1x
4) Dada la función f ( x, y ) = ( x + y )
2 2
e 2 . Calcular su máximo y su mínimo absolutos y
los puntos donde estos son alcanzados en el dominio circular x 2 + y 2 ≤ 1 .

5) Calcular la integral
∫∫ (3x + 3 y + 4) dxdy
D

{
donde D = ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 }
6) Hallar el área de la región del primer
cuadrante indicada con D.
2




D
1



π/3

−1 1



7) Calcular la integral
∫∫∫ z dx dy dz {
donde D = ( x, y, z ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 1 }
D

, UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN

PRIMERA EVALUACIÓN DE
ANÁLISIS MATEMÁTICO II / 2012 TEMA 2
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1) Dada la función f ( x, y ) = 4 x 2 + y 2 + 5 . Estudiar sus curvas de nivel.

−1x
2) Dada la función f ( x, y ) = ( x + y )
2 2
e 4 . Calcular su máximo y su mínimo absolutos y
los puntos donde estos son alcanzados en el dominio circular x 2 + y 2 ≤ 1 .

3) Calcular la integral
∫∫ (6 x + 6 y + 4) dxdy
D

{
donde D = ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 }
4) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal y la ecuación vectorial de la recta tangente
a la curva intersección de las superficies
x3 − y 2 + z = 0 , x2 + 2 y 2 − z 2 = 7 ,
en el punto (− 1, − 1, 2) .

5) Hallar el área de la región del primer
cuadrante indicada con D.
2




D
1



π/3

−1 1



6) Calcular la integral
{
∫∫∫ z dx dy dz donde D = ( x, y, z ) : x + y + z ≤ 16, 0 ≤ z ≤ 2
2 2 2
}
D



x3 + 3 y 3
7) Hallar las dos derivadas segundas cruzadas de la función f ( x, y ) = x y e y verificar
el Teorema de Schwarz.

, UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN

PRIMERA EVALUACIÓN DE
ANÁLISIS MATEMÁTICO II / 2012 TEMA 3
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x4 +2 y 4
1) Hallar las dos derivadas segundas cruzadas de la función f ( x, y ) = x y e y verificar
el Teorema de Schwarz.

2) Dada la función f ( x, y ) = 6 − 2 x 2 − 5 y 2 . Estudiar sus curvas de nivel.

3) Calcular la integral
∫∫ (9 x + 9 y + 8) dxdy {
donde D = ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 }
D


4) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal y la ecuación vectorial de la recta tangente
a la curva intersección de las superficies
3x 2 − y 3 − z = 0 , x 2 + 3 y − z 2 = 0 ,
en el punto (1, 1, 2) .



5) Hallar el área de la región indicada con D.
1

D
π/6

1 2



−1




6) Calcular la integral
∫∫∫ z dx dy dz
D

{
donde D = ( x, y, z ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16, 0 ≤ z ≤ 1 }
−1 x
7) Dada la función f ( x, y ) = ( x + y ) e
2 2 3
. Calcular su máximo y su mínimo absolutos y
los puntos donde estos son alcanzados en el dominio circular x 2 + y 2 ≤ 1 .