College H7
Z-toets herhaling (met voorbeeld) - Nulhypothese toetsing
Stel dat er wordt gesteld dat de gemiddelde leeftijd van kinderen die lid zijn van een grote
turnvereniging in een stedelijk gebied kleiner is dan 10 jaar.
De leeftijd is verder normaal verdeeld (σ = 2)
Een random steekproef van n = 16 kinderen wordt uit deze populatie getrokken en het
steekproefgemiddelde is 8,76.
Neem aan dat je de volgende hypothese wilt toetsen:
H0: µ = 10
Ha: µ = < 10
Ga uit van een alfa van 0,05
Je gaat de H0 verwerpen als de kans op een steekproefresultaat of extremer kleiner is dan
0,05.
Let op!
Het gaat hier om een eenzijdige toetsing, dit voornamelijk omdat er in de vraag staat dat het
kleiner is, er wordt dus een richting aangegeven. Dit moet je uit de tekst kunnen halen!
Stappen van berekening
Stap 1: Hypotheses opstellen
- H0 :µ = 10
- HA :µ = < 10
Stap 2: Toets (test) statistiek vastellen
- Z = (8,76-10) : (2 : 16 ) = -1,24 : 0,5 = -2,48
Stap 3: Zie tabel A (of tabel D onderaan bij z* en upper-tail probability of 0,05)
- P(Z < -2,48) = 0,0066
Stap 4: Conclusie
- Alfa Niveau = 0,05, eenzijdig. Kunnen we H0 verwerpen?
- Is de gevonden p-waarde 0,0066 < 0,05?
- Is de gevonden toetsstatistiek (-2,48) extremer dan de kritieke waarde?
Kritieke waarde is hier: -1.645, (hoort altijd bij een alfa van 0.05)
- Wat als de toetsstatistiek tweezijdig was geweest?\
Bij een z-toets heb je een uitkomstmaat die kwantitatief is, en je hebt 1 steekproef en je toets
een nulhypothese die betrekking hebben op een populatiegemiddelde
, T-verdelingen
In de praktijk weet je vaak de Sd niet, dan moet je een alternatief verzinnen om iets erover te
kunnen zeggen.
Je kan de Sd in de steekproef gebruiken als een schatting voor de Sd in de populatie. Op
basis daarvan bereken je een standaard error.
In deze situatie heb je een T-verdeling.
- T verdelingen verschillen maar hebben wel allemaal dezelfde vorm
- De t-verdeling heeft een vorm die vergelijkbaar is met de standaard
normaalverdeling: symmetrisch en unimodaal met een top bij t = 0.
- De t-verdeling heeft echter ‘dikkere staarten’
- Een t-score zegt (net als een z-score): hoe ver is en toetsstatistiek verwijderd van het
gemiddelde uitgedrukt in standaarddeviaties
Trek een SRS van maat n van een grote populatie die een normaalverdeling heeft met
gemiddelde µ en standaarddeviatie van σ
1 steekproef t-statistiek gebruik je:
Gebruik je met 1 steekproefgemiddelde met een toetsing over een populatiegemiddelde
wanneer de standaarddeviatie in de populatie niet bekend is
Dan gebruik je t = x-bar - mu gedeeld door Sx gedeeld door wortel N
Dan staat er nog t verdeling met degrees of freedom : df = n -1
One-sample: Betrouwbaarheidsintervallen t-toets (voorbeeld)
Een machine vult flessen Guinness. Flessen verschillen enigszins in inhoud maar als de
machine goed functioneert is µ = 16 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑 𝑜𝑢𝑛𝑐𝑒𝑠 (= 1 pint = 0.473 liter) bij een
verdeling die ongeveer normaal is.
Om te bekijken of de machine nog goed functioneert wordt er een SRS van 12 flessen
geselecteerd uit de productielijn. De onderstaande resultaten worden verkregen.
- ? Schat de gemiddelde inhoud (populatiegemiddelde) van een fles Guinness met
95% zekerheid
Pak het steekproefgemiddelde
Plus t* keer SEx
Min t* keer de SEx
Z-toets herhaling (met voorbeeld) - Nulhypothese toetsing
Stel dat er wordt gesteld dat de gemiddelde leeftijd van kinderen die lid zijn van een grote
turnvereniging in een stedelijk gebied kleiner is dan 10 jaar.
De leeftijd is verder normaal verdeeld (σ = 2)
Een random steekproef van n = 16 kinderen wordt uit deze populatie getrokken en het
steekproefgemiddelde is 8,76.
Neem aan dat je de volgende hypothese wilt toetsen:
H0: µ = 10
Ha: µ = < 10
Ga uit van een alfa van 0,05
Je gaat de H0 verwerpen als de kans op een steekproefresultaat of extremer kleiner is dan
0,05.
Let op!
Het gaat hier om een eenzijdige toetsing, dit voornamelijk omdat er in de vraag staat dat het
kleiner is, er wordt dus een richting aangegeven. Dit moet je uit de tekst kunnen halen!
Stappen van berekening
Stap 1: Hypotheses opstellen
- H0 :µ = 10
- HA :µ = < 10
Stap 2: Toets (test) statistiek vastellen
- Z = (8,76-10) : (2 : 16 ) = -1,24 : 0,5 = -2,48
Stap 3: Zie tabel A (of tabel D onderaan bij z* en upper-tail probability of 0,05)
- P(Z < -2,48) = 0,0066
Stap 4: Conclusie
- Alfa Niveau = 0,05, eenzijdig. Kunnen we H0 verwerpen?
- Is de gevonden p-waarde 0,0066 < 0,05?
- Is de gevonden toetsstatistiek (-2,48) extremer dan de kritieke waarde?
Kritieke waarde is hier: -1.645, (hoort altijd bij een alfa van 0.05)
- Wat als de toetsstatistiek tweezijdig was geweest?\
Bij een z-toets heb je een uitkomstmaat die kwantitatief is, en je hebt 1 steekproef en je toets
een nulhypothese die betrekking hebben op een populatiegemiddelde
, T-verdelingen
In de praktijk weet je vaak de Sd niet, dan moet je een alternatief verzinnen om iets erover te
kunnen zeggen.
Je kan de Sd in de steekproef gebruiken als een schatting voor de Sd in de populatie. Op
basis daarvan bereken je een standaard error.
In deze situatie heb je een T-verdeling.
- T verdelingen verschillen maar hebben wel allemaal dezelfde vorm
- De t-verdeling heeft een vorm die vergelijkbaar is met de standaard
normaalverdeling: symmetrisch en unimodaal met een top bij t = 0.
- De t-verdeling heeft echter ‘dikkere staarten’
- Een t-score zegt (net als een z-score): hoe ver is en toetsstatistiek verwijderd van het
gemiddelde uitgedrukt in standaarddeviaties
Trek een SRS van maat n van een grote populatie die een normaalverdeling heeft met
gemiddelde µ en standaarddeviatie van σ
1 steekproef t-statistiek gebruik je:
Gebruik je met 1 steekproefgemiddelde met een toetsing over een populatiegemiddelde
wanneer de standaarddeviatie in de populatie niet bekend is
Dan gebruik je t = x-bar - mu gedeeld door Sx gedeeld door wortel N
Dan staat er nog t verdeling met degrees of freedom : df = n -1
One-sample: Betrouwbaarheidsintervallen t-toets (voorbeeld)
Een machine vult flessen Guinness. Flessen verschillen enigszins in inhoud maar als de
machine goed functioneert is µ = 16 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑 𝑜𝑢𝑛𝑐𝑒𝑠 (= 1 pint = 0.473 liter) bij een
verdeling die ongeveer normaal is.
Om te bekijken of de machine nog goed functioneert wordt er een SRS van 12 flessen
geselecteerd uit de productielijn. De onderstaande resultaten worden verkregen.
- ? Schat de gemiddelde inhoud (populatiegemiddelde) van een fles Guinness met
95% zekerheid
Pak het steekproefgemiddelde
Plus t* keer SEx
Min t* keer de SEx
