Segundos exámenes parciales de Análisis Matemático II - con respuestas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN

SEGUNDA EVALUACIÓN DE

ANÁLISIS MATEMÁTICO II 15/06/2012 TEMA 1
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1) Calcular
1 
D  e  cos x  dx   x 2 y  sin y 2  dy
x2
 2 
donde D  ( x, y ) : ( x  1) 2  y 2  1, y  0 .


2) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial

y ' '2 y ' y  e x

 1 x2 
3) Dado el campo F ( x, y)   , .
2 
 y  1 ( y  1) 
a) Examinar en qué conjuntos abiertos está definido y si es conservativo en ellos.
Justificar.

b) Calcular la integral del campo sobre la circunferencia
2
 1 1
x2   y   
 2 4
desde el punto (0, 0) hasta el punto (0, 1) en sentido antihorario.


4) Dada la superficie X (u, v)  3u  v, 2u  v, 2uv . Hallar la ecuación cartesiana del
plano tangente a la misma en el punto de la superficie correspondiente a (u, v)  (1, 2) .


5) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x , de la
curva y  4  x 2 ,  1  x  1 .


6) Calcular el flujo saliente del campo
 z2 
F ( x, y, z )   x  y 5  z 3 , x 3  y  z 2 , x 2  y 2  
 2
a través de la frontera del sólido T  ( x, y, z ) : x 2  y 2  z 2  4, 
z0 .


7) Calcular el flujo entrante del campo F ( x, y, z )   y,  x, x 2  sobre la superficie
z  4  x2  y2 , z  0 .

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SEGUNDA EVALUACIÓN DE

ANÁLISIS MATEMÁTICO II 15/06/2012 TEMA 2
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1) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial

y ' '4 y '4 y  e 2 x

2) Calcular
1 
D  xe
 cos x 2  dx   x 2 y  y sin y 2  dy
x2
 2 
donde D  ( x, y ) : ( x  2)  y  4, y  0 .
2 2




3) Dada la superficie X (u, v)  3u  v, 2u  v, 2uv . Hallar la ecuación cartesiana del
plano tangente a la misma en el punto de la superficie correspondiente a (u, v)  (1, 2) .

 1 x4 
4) Dado el campo F ( x, y )   , .
2 
 y  2 ( y  2) 
a) Examinar en qué conjuntos abiertos está definido y si es conservativo en ellos.
Justificar.

b) Calcular la integral del campo sobre la circunferencia
x 2   y  1  1
2


desde el punto (0, 0) hasta el punto (0, 2) en sentido antihorario.


5) Calcular el flujo saliente del campo
 z2 
F ( x, y, z )   x  2 y  3z , 4 x  y  7 z , x  y  
5 3 3 2 2 2

 2
a través de la frontera del sólido T  ( x, y, z ) : x 2  y 2  z 2  1, 
z0 .

6) Calcular el flujo entrante del campo F ( x, y, z )   y,  x, x 2  sobre la superficie
z  16  x 2  y 2 , z  0 .


7) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x , de la
curva y  16  x 2 ,  2  x  2 .

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SEGUNDA EVALUACIÓN DE

ANÁLISIS MATEMÁTICO II 15/06/2012 TEMA 3
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 1 x6 
1) Dado el campo F ( x, y)   , .
2 
 y  3 ( y  3) 
a) Examinar en qué conjuntos abiertos está definido y si es conservativo en ellos.
Justificar.

b) Calcular la integral del campo sobre la circunferencia
2
 3 9
x y  
2

 2 4
desde el punto (0, 0) hasta el punto (0, 3) en sentido antihorario.


2) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial

y ' '6 y '9 y  e 3 x

3) Dada la superficie X (u, v)  3u  2v, 2u  v, 3uv  . Hallar la ecuación cartesiana del
plano tangente a la misma en el punto de la superficie correspondiente a (u, v)  (1,1) .


4) Calcular
1 
D  ( x  1) e  cos x  dx   2 x y  y sin y
x2
 dy
2 3 2


donde D  ( x, y ) : ( x  3)  y  9, y  0 .
2 2




5) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x , de la
curva y  36  x 2 ,  3  x  3 .


6) Calcular el flujo entrante del campo F ( x, y, z )   y,  x, x 2  sobre la superficie
z  1 x2  y2 , z  0 .

7) Calcular el flujo saliente del campo
 z2 
F ( x, y, z )   x  3 y 5  4 z 3 , 5 x 3  y  4 z 2 , x 2  y 2  
 2
a través de la frontera del sólido T  ( x, y, z ) : x 2  y 2  z 2  16 , 
z0 .

, UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJAN

SEGUNDA EVALUACIÓN DE

ANÁLISIS MATEMÁTICO II 15/06/2012 TEMA 4
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1) Dada la superficie X (u, v)  3u  2v, 2u  v, 3uv  . Hallar la ecuación cartesiana del
plano tangente a la misma en el punto de la superficie correspondiente a (u, v)  (1,1) .


2) Calcular
1 
D  e sin x  2 cos x  dx
x2
  x 2 y  3 y 5 sin y 2  dy
2 
donde D  ( x, y ) : ( x  4)  y  16 , y  0 .
2 2




3) Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x , de la
curva y  64  x 2 ,  4  x  4 .

 1  x8 
4) Dado el campo F ( x, y )   , .
2 
 y  4 ( y  4) 
a) Examinar en qué conjuntos abiertos está definido y si es conservativo en ellos.
Justificar.

b) Calcular la integral del campo sobre la circunferencia
x 2   y  2  4
2


desde el punto (0, 0) hasta el punto (0, 4) en sentido antihorario.


5) Calcular el flujo saliente del campo
 z2 
F ( x, y, z )   x  y 5  5 z 3 ,  2 x 3  y  6 z 2 , x 2  y 2  
 2
a través de la frontera del sólido T  ( x, y, z ) : x  y  z 2  9,
2 2

z0 .

6) Calcular el flujo entrante del campo F ( x, y, z )   y,  x, x 2  sobre la superficie
z  9  x2  y2 , z  0.

7) Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial

y ' '8 y '16 y  e 4 x