Exámenes finales de Elementos de Matemática

Examen final del 19 de agosto de 2009. Resuelto.
(Se resuelve la parte práctica, la teórica puede buscarse en el libro)
1) Resolver la siguiente ecuación en R : ln( x  1)  ln 3  ln( x  1)
Trabajaré por equivalencias. El dominio es la intersección entre los x + 1> 0 y x – 1 > 0 o sea los x
mayores que 1.
Luego, en dicho dominio la ecuación es equivalente a

ln x  1  ln
3
, que equivale, en dicho do min io a
x  1
3
x 1 de donde x 2  1  3. Re sulta entonces x  2 ó x  2,
x 1
pero como -2 no pertenece al dominio la única solución es: x2


2) Resolver la siguiente inecuación : e 2 ln x  14  5x
Trabajaré por equivalencias. El dominio está formado por los x positivos. En este conjunto la

eln x  14  5x o sea: x 2  14  5x que equivale a
2
inecuación resulta equivalente a

encontrar el conjunto de los x que verifican: x  5 x  14  0, que a su vez es el conjunto de no
2

negatividad de la parábola

y  x  5x  14,
2
que es la unión de los intervalos:  ,  2  7,  pero

como estamos trabajando dentro del dominio de los x positivos. La solución es: x  7, 


1
 2 2 x ·4  x 
3) Esbozar la gráfica de la siguiente función:
f ( x)   2 x
 Es esencial justificar la
 4 
respuesta.
1
 
1
 2 2 x ·4  x   4 x ·4  x 
f ( x)    f ( x)   2 x 
 4 2 x  o sea
 4 
por lo tanto
 
x

f ( x)  4  
x  (  x )  ( 2 x ) 1    4 
f ( x)  4 2 x 1 2 x 1
 
 16 
lo que significa que

Se trata entonces de una función exponencial de base menor que 1 (decreciente):

, 4) Resolver la siguiente ecuación en R: x  x6
Trabajaré por equivalencias. El dominio es R.
Si x es no negativo la ecuación es equivalente a x – x = 6, que no tiene solución. Si x es negativo la

ecuación es equivalente a – x – x = 6 que tiene como única solución x= –3
que es la única solución de la ecuación dada.

5) Dada la recta de ecuación 2x – 5y + 10 =0. Hallar y representar gráficamente la recta paralela a la dada que
tenga ordenada al origen igual a –3.
2
La recta dada también puede expresarse: y x  2 por lo tanto la recta pedida deberá tener
5
Pendiente igual a dos quintos y ordenada al origen igual a menos tres, o sea que se trata de la recta:




2 cuya gráfica es:
y x 3
5




6) Descomponer el polinomio x 3  3x 2  x  3 en un producto de factores de primer grado.
Probando con los divisores de menos tres vemos que -3, 1 y -1
son raíces del polinomio por lo tanto el mismo pude factorizarse:

x  3x  1x  1
7) Enunciar tres teoremas relativos a raíces de un trinomio de segundo grado. (Ver bibliografía)

10(n  1)!
8) Escribir en forma de fracción simple el resultado de la siguiente operación:
(15n  15)n!
10(n  1)! 10(n  1)! 10(n  1)! 2
   .
(15n  15)n! 15(n  1)n! 15(n  1)! 3


SÓLO PARA ALUMNOS LIBRES
9) Demostrar que, Si a  0, log a x es creciente en (0, ). (Ver bibliografía)