Samenvatting Getal & Ruimte Havo B deel 2 leerboek - Wiskunde B

Hoofdstuk 5 - Functies en vergelijkingen

5.1 - Gebroken functies
Gebroken functies = functies waarbij de variabele (ook) in de noemer voorkomt.
1
Standaard gebroken functie: 𝑓(𝑥) = 𝑥
. Bijbehoorende standaardgrafiek is een hyperbool
f(0) kan niet, de grafiek bestaat uit 2 takken.
Asymptoot = een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel samenvalt
Bij standaardgrafiek is de horizontale asymptoot de x-as (y=0) en de verticale de y-as (x=0)
1
Translatie (p,q) geeft 𝑓(𝑥) = 𝑥−𝑝
+ 𝑞 met asymptoten x=p en y=q. De asymptoten geef je
aan in een schets met x=n en y=n bij stippellijnen.

Gebroken vergelijking = de variabele komt (ook) in de noemer van een breuk voor
Oplossingen:
𝐴 𝐶
-​ kruislings vermenigvuldigen 𝐵
= 𝐷
geeft 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶
𝐴
-​ Het linker en rechterlic vermenigvuldigen met de noemer 𝐵
= 𝐶 geeft 𝐴 = 𝐵𝐶
𝐴
-​ Als de teller nul is en de noemer niet is de breuk nul 𝐵
= 0 geeft 𝐴 = 0
𝐴 𝐶
-​ Dezelfde teller geeft noemer = noemer 𝐵
= 𝐵
geeft 𝐴 = 𝐶
𝐴 𝐴
-​ Dezelde noemer geeft teller = teller of noemer = 0 𝐵
= 𝐶
geeft 𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝐶




5.2 - Wortelfuncties
Wortelfunctie = de variabele staat (ook) onder de wortel
Standaard wortelfunctie: 𝑓(𝑥) = 𝑥. De standaardgrafiek is een halve parabool met
randpunt (0,0)
Domein = het interval van alle mogelijke getallen van de x-waarde (alle orginelen)
Bereik = het interval van alle mogelijke getallen van de y-waarde (alle beelden)
Translatie (p,q) geeft 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑝 + 𝑞 met randpunt (p,q) en 𝐷𝑓 = [𝑝, → 〉en 𝐵𝑓 = [𝑞, → 〉

· 𝑎 tov x-as geeft 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥. Als a negatief is is de grafiek onder de x-as en 𝐵𝑓 = 〈 ←, 0]
Bij een schets van een wortelfunctie zet je de coordinaten bij het randpunt

Randpunt berekenen: eerst het deel onder de wortel gelijkstellen aan 0 om X te krijgen.
Bereken y met die x.

Wortelvergelijking = de variable staat (ook) onder een wortel.
-​ Isoleer: zet de wortel apart
-​ Kwadrateer = kwadrateer het linker- en rechterlid en los de vergelijking op
-​ Controleer = check of de oplossingen voldoen

, 5.3 - Machten met negatieve en positieve gebroken
exponenten
𝑝
𝑝 𝑞 𝑝+𝑞 𝑎 𝑝−𝑞 𝑝 𝑞 𝑝𝑞 𝑝 𝑝 𝑝
Machten herleiden: 𝑎 · 𝑎 = 𝑎 ​ 𝑞 =𝑎 ​ (𝑎 ) = 𝑎 ​ (𝑎𝑏) = 𝑎 𝑏
𝑎
Machten met negatieve exponenten:
𝑝 𝑝 𝑝
0 𝑎 𝑝−𝑞 𝑎 0 𝑎
voor 𝑎 ≠ 0 geld 𝑎 = 1 want 𝑞 =𝑎 dus 𝑝 = 𝑎 en als 𝑎 ≠ 0 is 𝑝 =1
𝑎 𝑎 𝑎
0
−𝑞 1 1 𝑎 0−𝑞 −𝑞
𝑎 = 𝑞 want 𝑞 = 𝑞 =𝑎 =𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
Machten met gebroken exponenten:
1 1
𝑞 𝑞 𝑞 𝑞
𝑎 = 𝑎 want (𝑥 ) = 𝑥 en ( 𝑥) = 𝑥
𝑞 𝑞

𝑝 1
𝑝 𝑞 𝑝
Ook 𝑎 𝑞 = (𝑎 ) 𝑞 = 𝑎



5.4 - Exponentiële functies
Exponentiële functie = functie waarbij de variabele (ook) in de exponent voorkomt
𝑥
Standaard exponentiële functie: 𝑓(𝑥) = 𝑔 met de x-as als horizontale asymptoot en
𝐵𝑓 = 〈0, → 〉en 𝐷𝑓 = 〈 ←, → 〉 = 𝑅
Als g>1 is de grafiek stijgend en als 0<g<1 is de grafiek dalend. g>0
Transformaties:
𝑥−𝑝
Translatie (p,q): 𝑦 = 𝑔 + 𝑞 met horizontale asymptoot q
1
𝑥 𝑥
x a tov x-as: 𝑦 = 𝑎 · 𝑔 en x b tov y as: 𝑦 = 𝑎 · 𝑔 𝑏

𝐴 𝐵
𝑔 = 𝑔 geeft A=B. werk naar een vorm toe waar beide kanten dezelfde grondgetal hebben.



5.5 - Logaritmen
𝑔
Logaritmen = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) met grondgetal g en resultaat x. Voer in op gr voor de exponent
𝑔 𝑦
Logaritmische vergelijking = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 𝑦 geeft 𝑥 = 𝑔
𝑔
Logaritmische functie = standaard 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑜𝑔(𝑥) met asymptoot x=0 Df=〈0,→〉en Bf=R
g>1 geeft een stijgende grafiek, 0<g<1 geeft een dalende grafiek.
𝑔
Voor de verticale asympotoot van 𝑦= 𝑙𝑜𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) los je 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 op
Transformaties:
𝑛
Translatie (p,q) geeft 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 𝑝) + 𝑞
𝑛 𝑥 𝑔
· 𝑎 tov y-as geeft 𝑦= 𝑙𝑜𝑔( 𝑎 ) en · 𝑏 tov x-as geeft 𝑦= 𝑙𝑜𝑔(𝑏𝑥)