Examen de sistema de ecuaciones diferenciales

Examen 3 Ecuaciones Diferenciales
Capitaine Martı́nez Jesús Adán

November 30, 2020


1. Reemplaza la siguiente ecuación diferencial por un sistema de ecua-
ciones diferenciales de primer orden equivalente y 00 − x2 y 0 − xy = 0. (No es
necesario resolverlo).

Se despeja y 00
y 00 = x2 y 0 + xy
Tomamos
w1 = y ⇒ w10 = y 0 = w2
w2 = y 0 ⇒ w20 = y 00
Teniendo ası́
w20 = y 00
w20 = x2 y 0 + xy
⇒ w20 = x2 w2 + xw1
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

w10 = w2

w20 = x2 w2 + xw1




1

, 2. Encuentra la solución general del siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales.
dx
=x+y
dt
dy
= 4x − 2y
dt
Se puede escribir     
x 1 1 x
=
y 4 −2 y
Calculando eigenvalores
Āξ~ = λξ~
⇒ (Ā − λI)ξ~ = 0
Se pide que |Ā − Iλ| = 0

1−λ 1
=0
4 −2 − λ

(1 − λ)(−2 − λ) − 4 = 0
⇒ λ2 + λ − 6 = 0
(λ + 3)(λ − 2) = 0
λ1 = −3
λ2 = 2
Se calculan los eigenvectores con λ1 = −3
    
1 1 a a
= −3
4 −2 b b

a + b = −3a
⇒ b = −4a
Se toma a = 1

 
1
ξ~1 =
−4
Para λ2 = 2     
1 1 a a
=2
4 −2 b b

2