lOMoARcPSD|56460752
FIUBA 2020 Análisis Matemático II
Síntesis de definiciones y enunciados: S-1, versión 1.1
Esta síntesis no es un apunte de la teoría de la asignatura, sólo es un resumen de
las principales definiciones y enunciados de teoremas/propiedades, utilizando una
nomenclatura que respeta la adoptada en la Guía de Trabajos Prácticos.
INTRODUCCIÓN Y NOMENCLATURA BÁSICA
• a A se lee “ a pertenece A ”, significa que el elemento a forma parte del conjunto A .
• El símbolo = se lee “igual por definición”.
• El símbolo representa al conjunto de los números reales.
• El símbolo + representa al conjunto de los números reales positivos, es decir, + = {x / x 0} .
• A B se lee “ A incluido en B ”, significa que todos los elementos de A pertenecen a B .
• A B se lee “ A unión B ” y es el conjunto que contiene los elementos de ambos.
• A B se lee “ A intersección B ” y es el conjunto que contiene los elementos comunes a ambos.
• representa al conjunto vacío.
• A y B son conjuntos disjuntos cuando A B = (no tienen elementos comunes).
• El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B se representa A B y es el conjunto de pares
ordenados cuyo primer elemento pertenece a A y el segundo a B . Es decir:
A B = {(a, b) / a A b B}
Si se tratara del producto cartesiano de n conjuntos A1 , , An :
A1 An = { (a1 , , an ) / ak Ak , k = 1,, n } ,
donde (a1 , , an ) se denomina n–upla ordenada de los elementos que se indican en ella.
• f : D → H se lee “ f es función de D en H ”, significando que D f H
para cada elemento a D la función f le hace corresponder un
único elemento f (a) H .
D se denomina dominio de f , H es el codominio de f .
f (a) es “la imagen de a a través de f ” o bien “la imagen de a por f ” o bien “el valor de f en el
punto a ”.
Im( f ) es el “conjunto imagen de f ”, es decir, Im( f ) = { y H / y = f (a) a D}
• Un espacio es todo conjunto no vacío de elementos a los cuales se los denomina puntos.
• Se denomina espacio métrico a todo espacio A en el cual se ha definido una función d que establece
la distancia entre sus puntos, dicha función debe ser del tipo d : A A → y para todo a, b, c A debe
cumplir las siguientes cuatro propiedades:
d (a, b) 0 , d (a, b) = d (b, a) , d (a, b) = 0 a = b ,
d (a, b) + d (b, c) d (a, c) propiedad triangular
R.O. Sirne con la colaboración de M. Sassano, C. Unger y E. Zitto Página 1 de 4.-
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FIUBA 2020 Análisis Matemático II
Síntesis de definiciones y enunciados: S-1, versión 1.1
Se suponen conocidas las operaciones básicas entre vectores y de escalares por vectores.
En la asignatura trabajaremos con espacios vectoriales euclídeos n-dimensionales que denotaremos n ,
cuyos puntos son del tipo X = ( x1 ,, xn ) n , donde xi para todo i = 1,, n .
El origen de n es el punto = (0,, 0) .
n ceros
Dados dos puntos X = ( x1 ,, xn ), Y = ( y1 ,, yn ) n , adoptaremos como producto interno o producto
n
escalar al número real X Y = xi yi .
i=1
Establecido el producto interno (con lo cual el espacio vectorial pasa a ser euclídeo), quedan definidos:
|| X || = X X que se denomina norma de X n .
d ( X ,Y ) = || X − Y || que es la distancia entre los puntos X , Y n .
X , Y n son ortogonales cuando X Y = 0 .
X , Y n son ortonormales cuando son ortogonales y || X || = || Y || = 1 .
Para todo X , Y n se cumple que | X Y | || X || || Y || desigualdad de Cauchy-Schwarz
Por último, sólo para X , Y 3 el producto vectorial entre ellos es:
i j k
X Y = x1 x2 x3 = ( x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ) .
y1 y2 y3
NOCIONES DE TOPOLOGÍA
E ( A, r ) : Esfera abierta con centro en el punto A n y radio r +
Es el conjunto de puntos de n cuya distancia al punto A es menor que r .
E ( A, r ) = { X n / || X − A || r , r 0}
Aspectos de esferas abiertas en y en 2 :
y
r
yo
(///////////////////////////////////////////) A
A−r A A+r
xo x
E( A, r ) = { x / A − r x A + r }
E( A, r ) = { X = ( x, y) 2 / ( x − xo ) 2 + ( y − yo ) 2 r 2 }
E (A) : Entorno de un punto A n
Es todo conjunto capaz de incluir una esfera abierta con centro en el punto A .
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Síntesis de definiciones y enunciados: S-1, versión 1.1
E ( A) : Entorno reducido de un punto A n
Es el entorno de A sin el punto A , en símbolos:
E ( A) = E ( A) − { A}
En particular, toda E ( A, r ) es un E (A) , pues siempre incluye una E( A, r / 2) .
Nota: A partir de ahora, salvo que se aclare lo contrario, cada vez que se hable de un E (A) se supondrá
que es del tipo esfera abierta (sin aclarar explícitamente el valor del radio).
En este contexto, si E ( A) = { X n / || X − A || r , r 0} el correspondiente entorno reducido es
E ( A) = { X n / 0 || X − A || r } .
Dado un punto A n y un conjunto de puntos S n , sólo puede ocurrir una de las siguientes tres
situaciones.
• A es punto interior a S cuando existe algún E (A) incluido en S .
• A es punto exterior a S cuando existe algún E (A) que no tiene puntos de S .
• A es punto frontera de S cuando en todo E (A) existe algún punto de S y alguno que no perte-
nece a S .
El interior de S es el conjunto de sus puntos interiores.
El exterior de S es el conjunto de sus puntos exteriores.
La frontera de S es el conjunto de sus puntos frontera. Denotaremos con S a la frontera de S .
puntos frontera punto frontera
punto exterior S punto interior
S
Un punto A S n es punto aislado de S cuando existe algún E ( A) que no tiene puntos de S .
Un punto A n es punto de acumulación de S n cuando en todo E ( A) existe algún punto de S .
Ejemplo: f ( x) = x ( x + 1) 4 ln | x − 2 | adopta valores reales en S = {x / x = −1 0 x 2 x 2} ,
que es el dominio natural de f . En la figura los puntos de S se indican en color rojo.
A1: punto interior y de acumulación de S.
A5 A4 A3 A2 A1 A2 y A3: puntos frontera y de acumulación de S.
[//////////////)(//////////////////////////// x A : punto frontera y aislado de S.
–1.5 –1 0 2 3 4
A5: punto exterior de S.
S n es un conjunto abierto cuando todos sus puntos son interiores.
S n es un conjunto cerrado cuando contiene a todos sus puntos de acumulación.
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FIUBA 2020 Análisis Matemático II
Síntesis de definiciones y enunciados: S-1, versión 1.1
S n es un conjunto acotado cuando se lo puede incluir en una esfera abierta con centro en el origen y
radio finito.
S n es un conjunto compacto cuando es cerrado y acotado.
S n es un conjunto convexo cuando para todo par de puntos A, B S el segmento AB está incluido
en S .
Noción: S n es un conjunto conexo cuando dados dos puntos cualesquiera A, B S “es posible ir
desde uno al otro desplazándose por puntos de S ”. (1)
Se denomina poligonal de vértices en los puntos A1 , A2 , , Ak n al conjunto formado por la unión de
los segmentos A1 A2 , A2 A3 , , Ak −1 Ak , tomados en ese orden. Los segmentos se denominan lados de la
poligonal.
EJEMPLOS
u si u 0
Recuerde que el valor absoluto de u es: | u | =
− u si u 0
▪ | 2 x − 1 | 5 − 5 2 x − 1 5 − 5 + 1 2 x 5 + 1 − 2 x 3 .
▪ | 2 x − 1 | 5 . Ahora con más cuidado:
x 3 si x
2 x − 1 5 si 2 x − 1 0 − 2 x + 1 5 si x x 3 si x
| 2 x −1| 5
− (2 x − 1) 5 si 2 x − 1 0 1−5 2 x x − 2 si x
Con lo cual: | 2 x − 1 | 5 x − 2 x 3
▪ | x y | 0 se cumple para todo ( x, y) 2 que no pertenezca a los ejes coordenados.
▪ x y 0 ( x 0 y 0) ( x 0 y 0) , es decir, los puntos pertenecientes a los cuadrantes 1º
y 3º del plano xy .
▪ | y − x | 0 Se cumple para todos los puntos del plano xy , salvo los que pertenecen a la recta de
ecuación y = x , se invita a justificarlo.
▪ Propuesta: demuestre que | x ( x − 3) | 4 en el {x / x − 1 x 4}.
▪ Propuesta: demuestre que | x | | x − 2 | para todo x tal que x 1 .
(1)
En realidad esta es una noción del concepto de conjunto arco-conexo, que es suficiente para el desarrollo de nuestra asignatura.
R.O. Sirne con la colaboración de M. Sassano, C. Unger y E. Zitto Página 4 de 4.-
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Síntesis de definiciones y enunciados: S-1, versión 1.1
Esta síntesis no es un apunte de la teoría de la asignatura, sólo es un resumen de
las principales definiciones y enunciados de teoremas/propiedades, utilizando una
nomenclatura que respeta la adoptada en la Guía de Trabajos Prácticos.
INTRODUCCIÓN Y NOMENCLATURA BÁSICA
• a A se lee “ a pertenece A ”, significa que el elemento a forma parte del conjunto A .
• El símbolo = se lee “igual por definición”.
• El símbolo representa al conjunto de los números reales.
• El símbolo + representa al conjunto de los números reales positivos, es decir, + = {x / x 0} .
• A B se lee “ A incluido en B ”, significa que todos los elementos de A pertenecen a B .
• A B se lee “ A unión B ” y es el conjunto que contiene los elementos de ambos.
• A B se lee “ A intersección B ” y es el conjunto que contiene los elementos comunes a ambos.
• representa al conjunto vacío.
• A y B son conjuntos disjuntos cuando A B = (no tienen elementos comunes).
• El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B se representa A B y es el conjunto de pares
ordenados cuyo primer elemento pertenece a A y el segundo a B . Es decir:
A B = {(a, b) / a A b B}
Si se tratara del producto cartesiano de n conjuntos A1 , , An :
A1 An = { (a1 , , an ) / ak Ak , k = 1,, n } ,
donde (a1 , , an ) se denomina n–upla ordenada de los elementos que se indican en ella.
• f : D → H se lee “ f es función de D en H ”, significando que D f H
para cada elemento a D la función f le hace corresponder un
único elemento f (a) H .
D se denomina dominio de f , H es el codominio de f .
f (a) es “la imagen de a a través de f ” o bien “la imagen de a por f ” o bien “el valor de f en el
punto a ”.
Im( f ) es el “conjunto imagen de f ”, es decir, Im( f ) = { y H / y = f (a) a D}
• Un espacio es todo conjunto no vacío de elementos a los cuales se los denomina puntos.
• Se denomina espacio métrico a todo espacio A en el cual se ha definido una función d que establece
la distancia entre sus puntos, dicha función debe ser del tipo d : A A → y para todo a, b, c A debe
cumplir las siguientes cuatro propiedades:
d (a, b) 0 , d (a, b) = d (b, a) , d (a, b) = 0 a = b ,
d (a, b) + d (b, c) d (a, c) propiedad triangular
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Síntesis de definiciones y enunciados: S-1, versión 1.1
Se suponen conocidas las operaciones básicas entre vectores y de escalares por vectores.
En la asignatura trabajaremos con espacios vectoriales euclídeos n-dimensionales que denotaremos n ,
cuyos puntos son del tipo X = ( x1 ,, xn ) n , donde xi para todo i = 1,, n .
El origen de n es el punto = (0,, 0) .
n ceros
Dados dos puntos X = ( x1 ,, xn ), Y = ( y1 ,, yn ) n , adoptaremos como producto interno o producto
n
escalar al número real X Y = xi yi .
i=1
Establecido el producto interno (con lo cual el espacio vectorial pasa a ser euclídeo), quedan definidos:
|| X || = X X que se denomina norma de X n .
d ( X ,Y ) = || X − Y || que es la distancia entre los puntos X , Y n .
X , Y n son ortogonales cuando X Y = 0 .
X , Y n son ortonormales cuando son ortogonales y || X || = || Y || = 1 .
Para todo X , Y n se cumple que | X Y | || X || || Y || desigualdad de Cauchy-Schwarz
Por último, sólo para X , Y 3 el producto vectorial entre ellos es:
i j k
X Y = x1 x2 x3 = ( x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ) .
y1 y2 y3
NOCIONES DE TOPOLOGÍA
E ( A, r ) : Esfera abierta con centro en el punto A n y radio r +
Es el conjunto de puntos de n cuya distancia al punto A es menor que r .
E ( A, r ) = { X n / || X − A || r , r 0}
Aspectos de esferas abiertas en y en 2 :
y
r
yo
(///////////////////////////////////////////) A
A−r A A+r
xo x
E( A, r ) = { x / A − r x A + r }
E( A, r ) = { X = ( x, y) 2 / ( x − xo ) 2 + ( y − yo ) 2 r 2 }
E (A) : Entorno de un punto A n
Es todo conjunto capaz de incluir una esfera abierta con centro en el punto A .
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Síntesis de definiciones y enunciados: S-1, versión 1.1
E ( A) : Entorno reducido de un punto A n
Es el entorno de A sin el punto A , en símbolos:
E ( A) = E ( A) − { A}
En particular, toda E ( A, r ) es un E (A) , pues siempre incluye una E( A, r / 2) .
Nota: A partir de ahora, salvo que se aclare lo contrario, cada vez que se hable de un E (A) se supondrá
que es del tipo esfera abierta (sin aclarar explícitamente el valor del radio).
En este contexto, si E ( A) = { X n / || X − A || r , r 0} el correspondiente entorno reducido es
E ( A) = { X n / 0 || X − A || r } .
Dado un punto A n y un conjunto de puntos S n , sólo puede ocurrir una de las siguientes tres
situaciones.
• A es punto interior a S cuando existe algún E (A) incluido en S .
• A es punto exterior a S cuando existe algún E (A) que no tiene puntos de S .
• A es punto frontera de S cuando en todo E (A) existe algún punto de S y alguno que no perte-
nece a S .
El interior de S es el conjunto de sus puntos interiores.
El exterior de S es el conjunto de sus puntos exteriores.
La frontera de S es el conjunto de sus puntos frontera. Denotaremos con S a la frontera de S .
puntos frontera punto frontera
punto exterior S punto interior
S
Un punto A S n es punto aislado de S cuando existe algún E ( A) que no tiene puntos de S .
Un punto A n es punto de acumulación de S n cuando en todo E ( A) existe algún punto de S .
Ejemplo: f ( x) = x ( x + 1) 4 ln | x − 2 | adopta valores reales en S = {x / x = −1 0 x 2 x 2} ,
que es el dominio natural de f . En la figura los puntos de S se indican en color rojo.
A1: punto interior y de acumulación de S.
A5 A4 A3 A2 A1 A2 y A3: puntos frontera y de acumulación de S.
[//////////////)(//////////////////////////// x A : punto frontera y aislado de S.
–1.5 –1 0 2 3 4
A5: punto exterior de S.
S n es un conjunto abierto cuando todos sus puntos son interiores.
S n es un conjunto cerrado cuando contiene a todos sus puntos de acumulación.
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Síntesis de definiciones y enunciados: S-1, versión 1.1
S n es un conjunto acotado cuando se lo puede incluir en una esfera abierta con centro en el origen y
radio finito.
S n es un conjunto compacto cuando es cerrado y acotado.
S n es un conjunto convexo cuando para todo par de puntos A, B S el segmento AB está incluido
en S .
Noción: S n es un conjunto conexo cuando dados dos puntos cualesquiera A, B S “es posible ir
desde uno al otro desplazándose por puntos de S ”. (1)
Se denomina poligonal de vértices en los puntos A1 , A2 , , Ak n al conjunto formado por la unión de
los segmentos A1 A2 , A2 A3 , , Ak −1 Ak , tomados en ese orden. Los segmentos se denominan lados de la
poligonal.
EJEMPLOS
u si u 0
Recuerde que el valor absoluto de u es: | u | =
− u si u 0
▪ | 2 x − 1 | 5 − 5 2 x − 1 5 − 5 + 1 2 x 5 + 1 − 2 x 3 .
▪ | 2 x − 1 | 5 . Ahora con más cuidado:
x 3 si x
2 x − 1 5 si 2 x − 1 0 − 2 x + 1 5 si x x 3 si x
| 2 x −1| 5
− (2 x − 1) 5 si 2 x − 1 0 1−5 2 x x − 2 si x
Con lo cual: | 2 x − 1 | 5 x − 2 x 3
▪ | x y | 0 se cumple para todo ( x, y) 2 que no pertenezca a los ejes coordenados.
▪ x y 0 ( x 0 y 0) ( x 0 y 0) , es decir, los puntos pertenecientes a los cuadrantes 1º
y 3º del plano xy .
▪ | y − x | 0 Se cumple para todos los puntos del plano xy , salvo los que pertenecen a la recta de
ecuación y = x , se invita a justificarlo.
▪ Propuesta: demuestre que | x ( x − 3) | 4 en el {x / x − 1 x 4}.
▪ Propuesta: demuestre que | x | | x − 2 | para todo x tal que x 1 .
(1)
En realidad esta es una noción del concepto de conjunto arco-conexo, que es suficiente para el desarrollo de nuestra asignatura.
R.O. Sirne con la colaboración de M. Sassano, C. Unger y E. Zitto Página 4 de 4.-
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