als een Functie inverteerbaar is dan is die inverse uniek
F : A-oB
neem aan dat g B-A
:
en hi B-A beide inverses
zijn
TB :
g(b) =
h(b)
Df(g(b)) b VbEB
gegeren
: =
②g(f(a)) =
a VaEA
③Fin(h)l =
b VbcB
④ hifjall =
a VacA
Zij bEB
(gof)(h(b))h(b)
③
g(b)
=
g(f(n(b)) =
=>
g
= h = de inverse is uniek
F is inverteerbaar
Fis ,
bijectief
= >
gegeven
: F is
injectief en f is
surjectief
↑B : ZF" :
B - A Zodat DF/F" (b)) =
b ,
UbeB
② F-frall =
a
,
XaCA
Zijf" : B -
A zodat VDEB F (b) =
a
*
surectie F(a) b =
neem aan dat Ja
*
zodat F - (b) =
ac = > F(at) =
b =
F()
injectier #
(= S a =
a
dus a is uniek zodat F(a) =
b
controleer :
① FIFIA) a) b VbEB
②f"(f(a)) (b)a
/
+
F ,
VaEA
=> JF" 0 en ⑳ gelden.
: B-0 A zodat
=
gegeren IF" B-A zodat F(F"
#
:
(b)) b , beB :
=
② F"(f(all a , Vac A =
TB : a) injectief : Va azEA F(a ) F(az) = a. 92 , ,
= =
b) surjectief : VbEB => JaeA :
Flal-b
a)Za
bl beß F (b)
Zijg a =
en
·
, als een Functie monotoon is
,
is de functie
injectief
Zijf strict
stijgend
:
VX
,, XzEA X
, <Xz
= > F(x ( ,
< f(xz)
. P XX XzEA X, + Xc f(x ) + f(xz)
T
: : = >
,, ,
*****
Dus F is
injectief .
Laf(x) +
g(x)] =
L + M
gegeven
: Daf(x) =
L /Ve , 070 , 70 zodat IF(X)- 11 ,,
Ax : ockals
②
(Ve > 78 , 0Lag(x) =
mc= zodat (f(x) M(c XX oc(x ak
-
,
: -
TB :
Veso 7530 zodat (f(x) + g(x) -
L-Mkz , X : OsIX-also
Zij > o
If(x) + a(x) -
L -
M(f(X) -
(1 +
1g(x) *
-
M/
E + = + E
5
Ez
=
2
② ,
Kies =Een E=
voor = min (5 ,, 02) = als IX-als -
Dus (f(x) +
g(x) -
L -
MI < E ) (ma(f(x) g(x)] + =
L + M .
insluitstelling :
F(x) = g(x) = h(x) XXA en Kaf(x) Yah(x) = = L
=>
dag(x) =
L
gegeven : F(x)
=
g(x) = h(x)
② (E ,
>070
,0 zodat If(x) -
Le ,,
XX : odx-akd)
③ (E30750 zodat Ih(x)-11Ez ,
XX ocx- alsal :
TB :
IVE >o 78 >
o zodat Ig(x) -
11cE ,,
XX :
0c(X-a(c)
(
= -
E <
g(x) -
L+ E
Zij > O
Zet · =
min(5 , , 82) zodat Ix-ak =
Een
②
>
-
-
L -Ecf(x) -
L + enl -
Ech(x)s L + E
⑬ h(x)
> L Ecf(x) =
g(x) = - L+ E
-
-
=> L -
E -
g(x) = L+ E
=>
Ig(x) -
L)E
>
Lag(X) =
L
F : A-oB
neem aan dat g B-A
:
en hi B-A beide inverses
zijn
TB :
g(b) =
h(b)
Df(g(b)) b VbEB
gegeren
: =
②g(f(a)) =
a VaEA
③Fin(h)l =
b VbcB
④ hifjall =
a VacA
Zij bEB
(gof)(h(b))h(b)
③
g(b)
=
g(f(n(b)) =
=>
g
= h = de inverse is uniek
F is inverteerbaar
Fis ,
bijectief
= >
gegeven
: F is
injectief en f is
surjectief
↑B : ZF" :
B - A Zodat DF/F" (b)) =
b ,
UbeB
② F-frall =
a
,
XaCA
Zijf" : B -
A zodat VDEB F (b) =
a
*
surectie F(a) b =
neem aan dat Ja
*
zodat F - (b) =
ac = > F(at) =
b =
F()
injectier #
(= S a =
a
dus a is uniek zodat F(a) =
b
controleer :
① FIFIA) a) b VbEB
②f"(f(a)) (b)a
/
+
F ,
VaEA
=> JF" 0 en ⑳ gelden.
: B-0 A zodat
=
gegeren IF" B-A zodat F(F"
#
:
(b)) b , beB :
=
② F"(f(all a , Vac A =
TB : a) injectief : Va azEA F(a ) F(az) = a. 92 , ,
= =
b) surjectief : VbEB => JaeA :
Flal-b
a)Za
bl beß F (b)
Zijg a =
en
·
, als een Functie monotoon is
,
is de functie
injectief
Zijf strict
stijgend
:
VX
,, XzEA X
, <Xz
= > F(x ( ,
< f(xz)
. P XX XzEA X, + Xc f(x ) + f(xz)
T
: : = >
,, ,
*****
Dus F is
injectief .
Laf(x) +
g(x)] =
L + M
gegeven
: Daf(x) =
L /Ve , 070 , 70 zodat IF(X)- 11 ,,
Ax : ockals
②
(Ve > 78 , 0Lag(x) =
mc= zodat (f(x) M(c XX oc(x ak
-
,
: -
TB :
Veso 7530 zodat (f(x) + g(x) -
L-Mkz , X : OsIX-also
Zij > o
If(x) + a(x) -
L -
M(f(X) -
(1 +
1g(x) *
-
M/
E + = + E
5
Ez
=
2
② ,
Kies =Een E=
voor = min (5 ,, 02) = als IX-als -
Dus (f(x) +
g(x) -
L -
MI < E ) (ma(f(x) g(x)] + =
L + M .
insluitstelling :
F(x) = g(x) = h(x) XXA en Kaf(x) Yah(x) = = L
=>
dag(x) =
L
gegeven : F(x)
=
g(x) = h(x)
② (E ,
>070
,0 zodat If(x) -
Le ,,
XX : odx-akd)
③ (E30750 zodat Ih(x)-11Ez ,
XX ocx- alsal :
TB :
IVE >o 78 >
o zodat Ig(x) -
11cE ,,
XX :
0c(X-a(c)
(
= -
E <
g(x) -
L+ E
Zij > O
Zet · =
min(5 , , 82) zodat Ix-ak =
Een
②
>
-
-
L -Ecf(x) -
L + enl -
Ech(x)s L + E
⑬ h(x)
> L Ecf(x) =
g(x) = - L+ E
-
-
=> L -
E -
g(x) = L+ E
=>
Ig(x) -
L)E
>
Lag(X) =
L
