FACULTAD DE INGENIERIA-UBA
ÁLGEBRA II. Primer cuatrimestre de 2013
EXAMEN INTEGRADOR - 17 de julio de 2013 (Tercera fecha)
TEMA 1
RESOLUCIÓN
El alumno debe tener presente que siempre hay más de una forma correcta de resolver un
ejercicio. La resolución aquí presentada es una de las tantas posibles.
Ejercicio 1:
( ) ( )
Sea el problema a valor inicial { con
( )
Sabiendo que f es la solución del problema dado representada en el
gráfico, obtener todas las funciones que satisfacen g ’ = f.
Resolución:
La solución general de la ecuación homogénea ( ) ( )
es ( ) . Una solución particular de ( ) ( ) es
( ) ⁄ y la solución general es ( ) ⁄ . Usando la condición inicial y el
punto indicado en el gráfico, obtenemos los valores únicos de y de a. Resulta
( ) . Integrando tenemos
( ) ⁄
Ejercicio 2:
Para cada , sea la transformación lineal tal que , - [ ],
donde es la base canónica de y *, - , - , - +. Hallar todos
los valores de para los cuales existe una base de tal que , - es diagonal.
Resolución:
La existencia de tal base equivale a que , - sea diagonalizable (o bien, a que , - sea
diagonalizable para cualquier base de ).
, - , - [ ] y sus autovalores son , 1 y -1. Entonces:
Si y 2, , - tiene 3 autovalores distintos y por lo tanto es diagonalizable.
Si , 1 es autovalor con multiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1, y por lo tanto
, - no es diagonalizable.
ÁLGEBRA II. Primer cuatrimestre de 2013
EXAMEN INTEGRADOR - 17 de julio de 2013 (Tercera fecha)
TEMA 1
RESOLUCIÓN
El alumno debe tener presente que siempre hay más de una forma correcta de resolver un
ejercicio. La resolución aquí presentada es una de las tantas posibles.
Ejercicio 1:
( ) ( )
Sea el problema a valor inicial { con
( )
Sabiendo que f es la solución del problema dado representada en el
gráfico, obtener todas las funciones que satisfacen g ’ = f.
Resolución:
La solución general de la ecuación homogénea ( ) ( )
es ( ) . Una solución particular de ( ) ( ) es
( ) ⁄ y la solución general es ( ) ⁄ . Usando la condición inicial y el
punto indicado en el gráfico, obtenemos los valores únicos de y de a. Resulta
( ) . Integrando tenemos
( ) ⁄
Ejercicio 2:
Para cada , sea la transformación lineal tal que , - [ ],
donde es la base canónica de y *, - , - , - +. Hallar todos
los valores de para los cuales existe una base de tal que , - es diagonal.
Resolución:
La existencia de tal base equivale a que , - sea diagonalizable (o bien, a que , - sea
diagonalizable para cualquier base de ).
, - , - [ ] y sus autovalores son , 1 y -1. Entonces:
Si y 2, , - tiene 3 autovalores distintos y por lo tanto es diagonalizable.
Si , 1 es autovalor con multiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1, y por lo tanto
, - no es diagonalizable.
