Samenvatting syllabus
Toetsmatrijs van het tentamen
Hoofdstuk 1. Meten en fouten
1.1 Grootheden en eenheden (college 1)
Een fysieke grootheid is een natuurkundige eigenschap waarvan je met een getal de waarde kunt
aangeven. Die getalswaarde is daarbij uitgedrukt in een bij de grootheid passende eenheid.
Om te kunnen meten heb je een meetinstrument nodig, zoals een rolmaat of een krachtopnemer. Voor
veel metingen, zoals van een EMG-signaal, is een enkel apparaat niet voldoende, maar gebruik je er
meerdere tegelijk die je via elektrische kabels met elkaar verbindt. Het geheel van alle
meetinstrumenten en hun onderlinge verbindingen dat dan ontstaat wordt de meetopstelling genoemd.
1.2 Kalibreren en ijken (college 2)
Elk meetinstrument heeft zijn eigen schaalverdeling. Het aanbrengen van een schaalverdeling wordt
ijken of kalibreren genoemd. (tijdens dit vak worden beide termen door elkaar gebruikt)
Kalibreren kan lastig zijn. Je moet er immers een standaardeenheid voor bij de hand hebben.
In het geval van het meetlint is dat een standaard meter.
Tegenwoordig produceren de meeste meetinstrumenten een elektrische spanning of een numerieke
waarde op de computer als uitvoer. Kalibreren komt er dan op neer dat je bepaalt hoe je een
elektrische spanning of numerieke computerwaarde moet omrekenen naar de waarde van de
betreffende grootheid. Het verband tussen invoer (bijvoorbeeld de kracht bij een krachtenplatform) en
uitvoer (bijvoorbeeld de numerieke waarde op de computer) kan je grafisch weergeven door middel
van een zogenaamde kalibratielijn. Vaak is het verband tussen invoer en uitvoer lineair; in dat geval is
de kalibratielijn een rechte lijn.
Om de kalibratielijn te bepalen kan je de uitvoer meten voor een aantal exact bekende waarden van de
invoer.
onafhankelijke variabele = de exact bekende waarden van de invoer (x)
afhankelijke variabele = de gemeten waarden (deze hangen immers af van de gekozen
waarden van en onafhankelijke variabele) (y)
Als het verband tussen invoer en uitvoer lineair is, dan heb je in principe aan twee referentiegewichten
genoeg. Immers, om de rechte lijn door een aantal punten te bepalen heb je niet meer dan twee punten
nodig. Het wordt echter sterk aangeraden meer dan twee punten te gebruiken. Elke meting kan
namelijk meetfouten bevatten. Als je maar twee metingen doet, dan is de kalibratielijn erg gevoelig
voor meetfouten.
,Heb je de kalibratiemetingen verricht, dan bepaal je de kalibratielijn door de juiste waarden voor a en
b te vinden in de formule y = ax + b.
We gaan uit van een lineair verband tussen invoer (onafhankelijke
variabele x, in dit voorbeeld kracht) en uitvoer (afhankelijke
variabele y, in dit voorbeeld de computerwaarde).
Hierin wordt a de richtingscoëfficiënt a de gevoeligheid
(sensitivity) van het meetinstrument genoemd.
En b (de afnsede met de y-as) de offset genoemd = de waarde die
je krijgt wanneer je 0 zou verwachten.
Voor a en b moet je de waarden gebruiken die ervoor zorgen dat de
rechte kalibratielijn het best met de meetpunten overeenkomt. Het
bepalen van deze waarden kun je doen met de kleinste
kwadratenmethode = deze methode bepaalt de lijn waarvoor de som van de gekwadrateerde
verschillen tussen de gemeten y-waarden en de y-waarden van de lijn zo klein mogelijk is. Essentieel
hierbij is dat afwijkingen van de lijn volledig worden toegeschreven aan verschillen in de afhankelijke
variabele (y), en dus niet aan verschillen in de onafhankelijke variabele (x). Het is daarom belangrijk
dat je de onafhankelijke variabele altijd op de horizontale as zet, en de afhankelijke variabele op de
verticale as. Wissel je dit om, dan bepaal je een andere lijn dan de kalibratielijn.
Kalibratielijn in MATLAB:
Coef = polyfit (x, y, 1)
x = onafhankelijke variabele
y = afhankelijke variabele
1 = orde van de polynoom (lineair = 1, kwadratisch verband = 2)
In de variabele coef komen de coëfficiënten van de polynoom terecht.
De eerste die MATLAB geeft = a = gevoeligheid
De tweede die MATLAB geeft = b = offset
Nadat je de kalibratielijn hebt bepaald, kan je deze gebruiken om de uitvoer van het meetinstrument
om te rekenen naar de waarde van de grootheid met de juiste eenheid. Hiervoor moet je de
vergelijking van de kalibratielijn (y=ax+b) omschrijven. Die vergelijking geeft immers de
computerwaarde (y) als functie van de werkelijke waarde (x). Nu hebben we het omgekeerde nodig:
de werkelijke waarde (x) als functie van de computerwaarde (y).
De volgende formule hiervoor is: x = (1/a) * (y-b)
1.3 Validiteit en betrouwbaarheid (college 3 en college 6)
Validiteit = de mate waarin we meten wat we willen meten (heeft betrekking op systematische
fouten/bias).
Kalibreren van een meetinstrument verhoogt de validiteit. Je zorgt er dan immers voor dat het
instrument nauwkeuriger meet wat het moet meten.
Het is een gradueel (itt zwart-wit) begrip. Het is namelijk zo dat het ene meetinstrument meer valide
kan zijn dan het andere.
Betrouwbaarheid = de mate waarin we correct/zorgvuldig meten. Iedere keer hetzelfde meten. (heeft
betrekking op toevalsfouten/error).
Hierbij is het belangrijk om te weten dat een meetinstrument zelden exact zullen reproduceren. Bij het
meten van een fysische grootheid maakt een meetinstrument namelijk altijd een zekere meetfout.
,De meetfout (= het verschil tussen de gemeten waarde en de werkelijke waarde) is het gevolg van de
eindige nauwkeurigheid van meetinstrumenten en van ruis (= onvoorspelbare fluctuaties) in interne
signalen binnen meetinstrumenten.
Validiteit en betrouwbaarheid zijn onafhankelijk van elkaar.
1.4 Fouten, onzekerheid en betrouwbaarheid (college 6)
Inhoud van deze paragraaf:
- Fouten, onzekerheid en betrouwbaarheid
- Gemiddelde
- Standaarddeviatie
- Standaardfout van het gemiddelde
- Betrouwbaarheidsinterval
Er zijn drie soorten fouten die allemaal kunnen bijdragen aan de meetfout:
Onjuistheden: toe te schrijven aan de experimentator. Je kunt dan denken aan verkeerd
overnemen van een meetwaarden, meting te vroeg gestart.
Om onjuistheden te voorkomen goed bijhouden van een logboek.
Systematische fouten (validiteit) zorgen voor waarden die systematische te hoog of te laag
zijn.
Dit kan komen door een het niet goed kalibreren van het meetinstrument.
Kunnen worden opgemerkt door na afloop van het experiment nogmaals te kalibreren, door
een meting te doen waarvan je exact weet wat eruit moet komen. Of door metingen te doen
vergelijken met resultaten die zijn verkregen met andere meetmethoden.
Toevallige fouten (betrouwbaarheid) = variaties in gemeten waarden wanneer eenzelfde
grootheid een aantal maal op exact dezelfde manier wordt gemeten. Wordt veroorzaakt door
ruis en door eindige nauwkeurigheid.
Toevallige fouten kunnen niet voorkomen worden. Wat kun je wel doen?
Dezelfde grootheid een aantal keer op precies dezelfde manier meten om een zo goed
mogelijke schatting van de werkelijke waarde te kunnen maken en om tegelijk een schatting
van de onzekerheid in deze schatting te kunnen maken. Deze schatting van de onzekerheid
kun je dan bij je resultaat vermelden.
Begrippen die hierbij horen:
o Gemiddelde = beste schatting van de werkelijke waarde zie A)
o Standaarddeviatie = maat voor de spreiding van de meetwaarden zie B)
o Standaardfout van het gemiddelde = een maat voor de onzekerheid van het gemiddelde
zie C)
A) Gemiddelde
Wanneer een meting van een grootheid x een aantal keer (N keer) is uitgevoerd dan is een
goede schatting van de werkelijke waarde van deze grootheid het gemiddelde (
x ¿ van de gemeten waarden x.
, B) Standaarddeviatie
= maat voor de spreiding van de meetwaarden
Hoe bereken je deze?
Vergelijk alle meetwaarden met het gemiddelde. Kwadrateer deze gevonden verschillen. Tel
die gekwadrateerde waarden bij elkaar op. Vervolgens deel je deze som door (N-1). Dit om op
een soort gemiddelde afwijking uit te komen. Ten slotte trek je van het geheel de wortel, zodat
de standaarddeviatie dezelfde eenheid als de meetwaarden heeft.
In MATLAB: std(...)
De rol van het toeval wordt kleiner als het aantal metingen toeneemt. De standaarddeviatie
wordt echter niet systematisch kleiner als het aantal meetwaarden toeneemt.
C) Standaardfout van het gemiddelde (= onzekerheid)
Hoe meer meetwaarden hoe kleiner de onzekerheid in het gemiddelde
De standaarddeviatie, wordt echter niet systematisch kleiner als het aantal meetwaarden
toeneemt. Hierom is de standaarddeviatie geen geschikte maat voor de onzekerheid in het
gemiddelde.
Standaardfout van het gemiddelde is hiervoor wel een geschikte maat.
Standaardfout van het gemiddelde neemt af naarmate je meer metingen doet.
Wanneer je de beste schatting van een grootheid en de onzekerheid in deze schatting hebt bepaald,
noteer je deze als volgt:
of afgekort
Hoeveel decimalen / significante cijfers gebruik je voor de notatie van de beste schatting en de
onzekerheid :
Onzekerheid : 1 of 2 significante cijfers, vaak 2
Beste schatting : aantal decimalen van dit getal is gelijk het aantal decimalen van de
onzekerheid (dus 1 of 2 decimalen, vaak 2).
Toetsmatrijs van het tentamen
Hoofdstuk 1. Meten en fouten
1.1 Grootheden en eenheden (college 1)
Een fysieke grootheid is een natuurkundige eigenschap waarvan je met een getal de waarde kunt
aangeven. Die getalswaarde is daarbij uitgedrukt in een bij de grootheid passende eenheid.
Om te kunnen meten heb je een meetinstrument nodig, zoals een rolmaat of een krachtopnemer. Voor
veel metingen, zoals van een EMG-signaal, is een enkel apparaat niet voldoende, maar gebruik je er
meerdere tegelijk die je via elektrische kabels met elkaar verbindt. Het geheel van alle
meetinstrumenten en hun onderlinge verbindingen dat dan ontstaat wordt de meetopstelling genoemd.
1.2 Kalibreren en ijken (college 2)
Elk meetinstrument heeft zijn eigen schaalverdeling. Het aanbrengen van een schaalverdeling wordt
ijken of kalibreren genoemd. (tijdens dit vak worden beide termen door elkaar gebruikt)
Kalibreren kan lastig zijn. Je moet er immers een standaardeenheid voor bij de hand hebben.
In het geval van het meetlint is dat een standaard meter.
Tegenwoordig produceren de meeste meetinstrumenten een elektrische spanning of een numerieke
waarde op de computer als uitvoer. Kalibreren komt er dan op neer dat je bepaalt hoe je een
elektrische spanning of numerieke computerwaarde moet omrekenen naar de waarde van de
betreffende grootheid. Het verband tussen invoer (bijvoorbeeld de kracht bij een krachtenplatform) en
uitvoer (bijvoorbeeld de numerieke waarde op de computer) kan je grafisch weergeven door middel
van een zogenaamde kalibratielijn. Vaak is het verband tussen invoer en uitvoer lineair; in dat geval is
de kalibratielijn een rechte lijn.
Om de kalibratielijn te bepalen kan je de uitvoer meten voor een aantal exact bekende waarden van de
invoer.
onafhankelijke variabele = de exact bekende waarden van de invoer (x)
afhankelijke variabele = de gemeten waarden (deze hangen immers af van de gekozen
waarden van en onafhankelijke variabele) (y)
Als het verband tussen invoer en uitvoer lineair is, dan heb je in principe aan twee referentiegewichten
genoeg. Immers, om de rechte lijn door een aantal punten te bepalen heb je niet meer dan twee punten
nodig. Het wordt echter sterk aangeraden meer dan twee punten te gebruiken. Elke meting kan
namelijk meetfouten bevatten. Als je maar twee metingen doet, dan is de kalibratielijn erg gevoelig
voor meetfouten.
,Heb je de kalibratiemetingen verricht, dan bepaal je de kalibratielijn door de juiste waarden voor a en
b te vinden in de formule y = ax + b.
We gaan uit van een lineair verband tussen invoer (onafhankelijke
variabele x, in dit voorbeeld kracht) en uitvoer (afhankelijke
variabele y, in dit voorbeeld de computerwaarde).
Hierin wordt a de richtingscoëfficiënt a de gevoeligheid
(sensitivity) van het meetinstrument genoemd.
En b (de afnsede met de y-as) de offset genoemd = de waarde die
je krijgt wanneer je 0 zou verwachten.
Voor a en b moet je de waarden gebruiken die ervoor zorgen dat de
rechte kalibratielijn het best met de meetpunten overeenkomt. Het
bepalen van deze waarden kun je doen met de kleinste
kwadratenmethode = deze methode bepaalt de lijn waarvoor de som van de gekwadrateerde
verschillen tussen de gemeten y-waarden en de y-waarden van de lijn zo klein mogelijk is. Essentieel
hierbij is dat afwijkingen van de lijn volledig worden toegeschreven aan verschillen in de afhankelijke
variabele (y), en dus niet aan verschillen in de onafhankelijke variabele (x). Het is daarom belangrijk
dat je de onafhankelijke variabele altijd op de horizontale as zet, en de afhankelijke variabele op de
verticale as. Wissel je dit om, dan bepaal je een andere lijn dan de kalibratielijn.
Kalibratielijn in MATLAB:
Coef = polyfit (x, y, 1)
x = onafhankelijke variabele
y = afhankelijke variabele
1 = orde van de polynoom (lineair = 1, kwadratisch verband = 2)
In de variabele coef komen de coëfficiënten van de polynoom terecht.
De eerste die MATLAB geeft = a = gevoeligheid
De tweede die MATLAB geeft = b = offset
Nadat je de kalibratielijn hebt bepaald, kan je deze gebruiken om de uitvoer van het meetinstrument
om te rekenen naar de waarde van de grootheid met de juiste eenheid. Hiervoor moet je de
vergelijking van de kalibratielijn (y=ax+b) omschrijven. Die vergelijking geeft immers de
computerwaarde (y) als functie van de werkelijke waarde (x). Nu hebben we het omgekeerde nodig:
de werkelijke waarde (x) als functie van de computerwaarde (y).
De volgende formule hiervoor is: x = (1/a) * (y-b)
1.3 Validiteit en betrouwbaarheid (college 3 en college 6)
Validiteit = de mate waarin we meten wat we willen meten (heeft betrekking op systematische
fouten/bias).
Kalibreren van een meetinstrument verhoogt de validiteit. Je zorgt er dan immers voor dat het
instrument nauwkeuriger meet wat het moet meten.
Het is een gradueel (itt zwart-wit) begrip. Het is namelijk zo dat het ene meetinstrument meer valide
kan zijn dan het andere.
Betrouwbaarheid = de mate waarin we correct/zorgvuldig meten. Iedere keer hetzelfde meten. (heeft
betrekking op toevalsfouten/error).
Hierbij is het belangrijk om te weten dat een meetinstrument zelden exact zullen reproduceren. Bij het
meten van een fysische grootheid maakt een meetinstrument namelijk altijd een zekere meetfout.
,De meetfout (= het verschil tussen de gemeten waarde en de werkelijke waarde) is het gevolg van de
eindige nauwkeurigheid van meetinstrumenten en van ruis (= onvoorspelbare fluctuaties) in interne
signalen binnen meetinstrumenten.
Validiteit en betrouwbaarheid zijn onafhankelijk van elkaar.
1.4 Fouten, onzekerheid en betrouwbaarheid (college 6)
Inhoud van deze paragraaf:
- Fouten, onzekerheid en betrouwbaarheid
- Gemiddelde
- Standaarddeviatie
- Standaardfout van het gemiddelde
- Betrouwbaarheidsinterval
Er zijn drie soorten fouten die allemaal kunnen bijdragen aan de meetfout:
Onjuistheden: toe te schrijven aan de experimentator. Je kunt dan denken aan verkeerd
overnemen van een meetwaarden, meting te vroeg gestart.
Om onjuistheden te voorkomen goed bijhouden van een logboek.
Systematische fouten (validiteit) zorgen voor waarden die systematische te hoog of te laag
zijn.
Dit kan komen door een het niet goed kalibreren van het meetinstrument.
Kunnen worden opgemerkt door na afloop van het experiment nogmaals te kalibreren, door
een meting te doen waarvan je exact weet wat eruit moet komen. Of door metingen te doen
vergelijken met resultaten die zijn verkregen met andere meetmethoden.
Toevallige fouten (betrouwbaarheid) = variaties in gemeten waarden wanneer eenzelfde
grootheid een aantal maal op exact dezelfde manier wordt gemeten. Wordt veroorzaakt door
ruis en door eindige nauwkeurigheid.
Toevallige fouten kunnen niet voorkomen worden. Wat kun je wel doen?
Dezelfde grootheid een aantal keer op precies dezelfde manier meten om een zo goed
mogelijke schatting van de werkelijke waarde te kunnen maken en om tegelijk een schatting
van de onzekerheid in deze schatting te kunnen maken. Deze schatting van de onzekerheid
kun je dan bij je resultaat vermelden.
Begrippen die hierbij horen:
o Gemiddelde = beste schatting van de werkelijke waarde zie A)
o Standaarddeviatie = maat voor de spreiding van de meetwaarden zie B)
o Standaardfout van het gemiddelde = een maat voor de onzekerheid van het gemiddelde
zie C)
A) Gemiddelde
Wanneer een meting van een grootheid x een aantal keer (N keer) is uitgevoerd dan is een
goede schatting van de werkelijke waarde van deze grootheid het gemiddelde (
x ¿ van de gemeten waarden x.
, B) Standaarddeviatie
= maat voor de spreiding van de meetwaarden
Hoe bereken je deze?
Vergelijk alle meetwaarden met het gemiddelde. Kwadrateer deze gevonden verschillen. Tel
die gekwadrateerde waarden bij elkaar op. Vervolgens deel je deze som door (N-1). Dit om op
een soort gemiddelde afwijking uit te komen. Ten slotte trek je van het geheel de wortel, zodat
de standaarddeviatie dezelfde eenheid als de meetwaarden heeft.
In MATLAB: std(...)
De rol van het toeval wordt kleiner als het aantal metingen toeneemt. De standaarddeviatie
wordt echter niet systematisch kleiner als het aantal meetwaarden toeneemt.
C) Standaardfout van het gemiddelde (= onzekerheid)
Hoe meer meetwaarden hoe kleiner de onzekerheid in het gemiddelde
De standaarddeviatie, wordt echter niet systematisch kleiner als het aantal meetwaarden
toeneemt. Hierom is de standaarddeviatie geen geschikte maat voor de onzekerheid in het
gemiddelde.
Standaardfout van het gemiddelde is hiervoor wel een geschikte maat.
Standaardfout van het gemiddelde neemt af naarmate je meer metingen doet.
Wanneer je de beste schatting van een grootheid en de onzekerheid in deze schatting hebt bepaald,
noteer je deze als volgt:
of afgekort
Hoeveel decimalen / significante cijfers gebruik je voor de notatie van de beste schatting en de
onzekerheid :
Onzekerheid : 1 of 2 significante cijfers, vaak 2
Beste schatting : aantal decimalen van dit getal is gelijk het aantal decimalen van de
onzekerheid (dus 1 of 2 decimalen, vaak 2).
