POLYCOPIE COMPLET
D’INTÉGRATION
De A à Z - Toutes les techniques et astuces
Zayd Aj , gg
y
b
f (x)dx
2 a
1
x
1 2 3
ENJOY
Méthodes, astuces et exercices corrigés
9 février 2026
.
,Table des matières
Avant-propos 4
1 Introduction historique et notion intuitive 5
1.1 Histoire brève du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Problèmes menant à la notion d’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Problème de l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Problème de la distance parcourue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Problème des quantités accumulées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Approximation par les sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Définition formelle de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Exercices fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Primitives et théorème fondamental 8
2.1 Définition et propriétés des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Table des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Opérations sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Fonction définie par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Exercices sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Techniques de calcul d’intégrales 11
3.1 Intégration par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Éléments simples de première espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Éléments simples de seconde espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Intégration des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
,Intégration - Terminale TABLE DES MATIÈRES
3.5 Changements de variables trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6 Exercices techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Propriétés des intégrales définies 16
4.1 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Propriétés de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Théorèmes de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Intégrales de fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.5 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.6 Exercices sur les propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Applications géométriques et physiques 19
5.1 Calcul d’aires planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Volume des solides de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3 Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.4 Aire latérale d’un solide de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.5 Applications physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.1 Centre de gravité d’une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.2 Moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.3 Calcul de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.4 Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.5 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.6 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Intégrales impropres 23
6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2.2 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2.3 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2.4 Critère d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.3 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.4 Exercices sur les intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Équations différentielles 26
2
,Intégration - Terminale TABLE DES MATIÈRES
7.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1.2 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1.3 Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1.4 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.2 Équations à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3 Équations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.4 Exercices sur les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Exercices de synthèse et problèmes type bac 29
8.1 Exercices de difficulté progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.2 Problèmes complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.3 50 astuces pratiques pour l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.4 20 erreurs courantes à éviter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Annexes et formulaires 33
8.5 Formulaire complet des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.6 Formulaire d’intégrales définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.7 Tableau des changements de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.8 Formules de trigonométrie utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.9 Références bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
,Avant-propos
Ce polycopié de 50 pages constitue un guide complet sur le chapitre de l’intégration
pour les élèves de Terminale. Il a été conçu pour vous accompagner depuis les concepts
fondamentaux jusqu’aux techniques les plus avancées.
Objectifs pédagogiques :
— Maîtriser toutes les définitions et propriétés des intégrales
— Apprendre à calculer des primitives de fonctions usuelles et complexes
— Découvrir et pratiquer toutes les techniques d’intégration
— Savoir appliquer l’intégration à des problèmes concrets (aires, volumes, etc.)
— Préparer efficacement le baccalauréat avec des exercices types
Structure du document :
— 8 chapitres thématiques progressifs
— 120+ exemples détaillés pas à pas
— 80+ exercices avec solutions complètes
— 50+ astuces pratiques pour gagner du temps
— 20+ mises en garde contre les erreurs courantes
— Formulaires complets en annexe
Comment utiliser ce polycopié :
1. Lire attentivement chaque chapitre dans l’ordre
2. Étudier les exemples en refaisant les calculs
3. Tenter les exercices avant de regarder les solutions
4. Noter les astuces dans un cahier de méthodes
5. Refaire régulièrement les exercices de synthèse
4
,Chapitre 1
Introduction historique et notion in-
tuitive
1.1 Histoire brève du calcul intégral
Le calcul intégral a été développé indépendamment par Newton et Leibniz au XVIIe siècle.
Newton l’a conçu
dans le cadre de sa théorie des fluxions, tandis que Leibniz a introduit
la notation que nous utilisons toujours aujourd’hui.
Remarque 1.1. Le symbole est un S allongé qui signifie "somme", rappelant que
l’intégrale est une somme infinie de quantités infinitésimales.
1.2 Problèmes menant à la notion d’intégrale
1.2.1 Problème de l’aire
Comment calculer l’aire d’une région délimitée par une courbe quelconque ? Pour une
fonction positive f , nous cherchons l’aire sous la courbe entre x = a et x = b.
4 y
3
2
1
Aire cherchée
x
0.5 a
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4b 4.5 5
5
,Intégration - Terminale
CHAPITRE 1. INTRODUCTION HISTORIQUE ET NOTION INTUITIVE
1.2.2 Problème de la distance parcourue
Si un mobile se déplace à vitesse variable v(t), quelle distance parcourt-il entre les instants
t = a et t = b ? La distance est l’aire sous la courbe de la vitesse.
1.2.3 Problème des quantités accumulées
De nombreux problèmes physiques, économiques ou biologiques impliquent le calcul de
quantités accumulées : travail d’une force variable, capital accumulé avec intérêts variables,
population totale, etc.
1.3 Approximation par les sommes de Riemann
Méthode 1.1 (Approximation rectangulaire). Pour approximer l’aire sous f sur [a, b],
on divise l’intervalle en n sous-intervalles de largeur ∆x = b−a
n
.
Somme à gauche
n−1
X
Sg = f (a + k∆x) · ∆x
k=0
Somme à droite
n
X
Sd = f (a + k∆x) · ∆x
k=1
Somme des milieux
n−1
1
X
Sm = f a+ k+ ∆x · ∆x
k=0 2
1
Exemple 1.1. Approximation de 0
x2 dx avec n = 4 :
1−0
∆x = = 0.25
4
Sg = 02 × 0.25 + 0.252 × 0.25 + 0.52 × 0.25 + 0.752 × 0.25 = 0.21875
Sd = 0.252 × 0.25 + 0.52 × 0.25 + 0.752 × 0.25 + 12 × 0.25 = 0.46875
Sm = 0.1252 × 0.25 + 0.3752 × 0.25 + 0.6252 × 0.25 + 0.8752 × 0.25 = 0.328125
1
Valeur exacte : 3
≈ 0.3333
6
, Intégration - Terminale
CHAPITRE 1. INTRODUCTION HISTORIQUE ET NOTION INTUITIVE
1.4 Définition formelle de l’intégrale de Riemann
Définition 1.1 (Intégrale définie). Soit f une fonction bornée sur [a, b]. On définit l’in-
tégrale de Riemann de f sur [a, b] comme la limite commune (si elle existe) des sommes
de Riemann quand le pas de la subdivision tend vers 0 :
b n
X
f (x)dx = n→∞
lim f (ξk )(xk − xk−1 )
a k=1
où a = x0 < x1 < · · · < xn = b est une subdivision de [a, b] et ξk ∈ [xk−1 , xk ].
Théorème 1.1 (Existence pour les fonctions continues). Toute fonction continue sur un
intervalle [a, b] est intégrable sur cet intervalle.
Théorème 1.2 (Existence pour les fonctions monotones). Toute fonction monotone sur
[a, b] est intégrable sur cet intervalle.
1.5 Exercices fondamentaux
2
Calculer les approximations de 0
(x2 + 1)dx avec n = 4 en utilisant :
(a) La méthode des rectangles à gauche
(b) La méthode des rectangles à droite
(c) La méthode des milieux
Comparer avec la valeur exacte.
Solution. (a) Subdivision : [0, 0.5, 1, 1.5, 2], ∆x = 0.5
Sg = (02 + 1) × 0.5 + (0.52 + 1) × 0.5 + (12 + 1) × 0.5 + (1.52 + 1) × 0.5 = 4.25
(b) Sd = (0.52 + 1) × 0.5 + (12 + 1) × 0.5 + (1.52 + 1) × 0.5 + (22 + 1) × 0.5 = 6.25
(c) Sm = (0.252 + 1) × 0.5 + (0.752 + 1) × 0.5 + (1.252 + 1) × 0.5 + (1.752 + 1) × 0.5 = 5.125
h i2
x3 8 14
Valeur exacte : 3
+x = 3
+2= 3
≈ 4.6667
0
Montrer que pour toute fonction f intégrable sur [a, b] et pour tout
c ∈ [a, b], on a :
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
a a c
(Relation de Chasles)
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D’INTÉGRATION
De A à Z - Toutes les techniques et astuces
Zayd Aj , gg
y
b
f (x)dx
2 a
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x
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ENJOY
Méthodes, astuces et exercices corrigés
9 février 2026
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,Table des matières
Avant-propos 4
1 Introduction historique et notion intuitive 5
1.1 Histoire brève du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Problèmes menant à la notion d’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Problème de l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Problème de la distance parcourue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Problème des quantités accumulées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Approximation par les sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Définition formelle de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Exercices fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Primitives et théorème fondamental 8
2.1 Définition et propriétés des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Table des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Opérations sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Théorème fondamental du calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Fonction définie par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Exercices sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Techniques de calcul d’intégrales 11
3.1 Intégration par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Éléments simples de première espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.2 Éléments simples de seconde espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Intégration des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
,Intégration - Terminale TABLE DES MATIÈRES
3.5 Changements de variables trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6 Exercices techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Propriétés des intégrales définies 16
4.1 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Propriétés de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 Théorèmes de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Intégrales de fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.5 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.6 Exercices sur les propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Applications géométriques et physiques 19
5.1 Calcul d’aires planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Volume des solides de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3 Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.4 Aire latérale d’un solide de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.5 Applications physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.1 Centre de gravité d’une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.2 Moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.3 Calcul de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.4 Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5.5 Valeur efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.6 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Intégrales impropres 23
6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2.2 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2.3 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2.4 Critère d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.3 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.4 Exercices sur les intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Équations différentielles 26
2
,Intégration - Terminale TABLE DES MATIÈRES
7.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1.2 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1.3 Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1.4 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.2 Équations à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3 Équations de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.3.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.4 Exercices sur les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8 Exercices de synthèse et problèmes type bac 29
8.1 Exercices de difficulté progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.2 Problèmes complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.3 50 astuces pratiques pour l’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.4 20 erreurs courantes à éviter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Annexes et formulaires 33
8.5 Formulaire complet des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.6 Formulaire d’intégrales définies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.7 Tableau des changements de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.8 Formules de trigonométrie utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.9 Références bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
,Avant-propos
Ce polycopié de 50 pages constitue un guide complet sur le chapitre de l’intégration
pour les élèves de Terminale. Il a été conçu pour vous accompagner depuis les concepts
fondamentaux jusqu’aux techniques les plus avancées.
Objectifs pédagogiques :
— Maîtriser toutes les définitions et propriétés des intégrales
— Apprendre à calculer des primitives de fonctions usuelles et complexes
— Découvrir et pratiquer toutes les techniques d’intégration
— Savoir appliquer l’intégration à des problèmes concrets (aires, volumes, etc.)
— Préparer efficacement le baccalauréat avec des exercices types
Structure du document :
— 8 chapitres thématiques progressifs
— 120+ exemples détaillés pas à pas
— 80+ exercices avec solutions complètes
— 50+ astuces pratiques pour gagner du temps
— 20+ mises en garde contre les erreurs courantes
— Formulaires complets en annexe
Comment utiliser ce polycopié :
1. Lire attentivement chaque chapitre dans l’ordre
2. Étudier les exemples en refaisant les calculs
3. Tenter les exercices avant de regarder les solutions
4. Noter les astuces dans un cahier de méthodes
5. Refaire régulièrement les exercices de synthèse
4
,Chapitre 1
Introduction historique et notion in-
tuitive
1.1 Histoire brève du calcul intégral
Le calcul intégral a été développé indépendamment par Newton et Leibniz au XVIIe siècle.
Newton l’a conçu
dans le cadre de sa théorie des fluxions, tandis que Leibniz a introduit
la notation que nous utilisons toujours aujourd’hui.
Remarque 1.1. Le symbole est un S allongé qui signifie "somme", rappelant que
l’intégrale est une somme infinie de quantités infinitésimales.
1.2 Problèmes menant à la notion d’intégrale
1.2.1 Problème de l’aire
Comment calculer l’aire d’une région délimitée par une courbe quelconque ? Pour une
fonction positive f , nous cherchons l’aire sous la courbe entre x = a et x = b.
4 y
3
2
1
Aire cherchée
x
0.5 a
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4b 4.5 5
5
,Intégration - Terminale
CHAPITRE 1. INTRODUCTION HISTORIQUE ET NOTION INTUITIVE
1.2.2 Problème de la distance parcourue
Si un mobile se déplace à vitesse variable v(t), quelle distance parcourt-il entre les instants
t = a et t = b ? La distance est l’aire sous la courbe de la vitesse.
1.2.3 Problème des quantités accumulées
De nombreux problèmes physiques, économiques ou biologiques impliquent le calcul de
quantités accumulées : travail d’une force variable, capital accumulé avec intérêts variables,
population totale, etc.
1.3 Approximation par les sommes de Riemann
Méthode 1.1 (Approximation rectangulaire). Pour approximer l’aire sous f sur [a, b],
on divise l’intervalle en n sous-intervalles de largeur ∆x = b−a
n
.
Somme à gauche
n−1
X
Sg = f (a + k∆x) · ∆x
k=0
Somme à droite
n
X
Sd = f (a + k∆x) · ∆x
k=1
Somme des milieux
n−1
1
X
Sm = f a+ k+ ∆x · ∆x
k=0 2
1
Exemple 1.1. Approximation de 0
x2 dx avec n = 4 :
1−0
∆x = = 0.25
4
Sg = 02 × 0.25 + 0.252 × 0.25 + 0.52 × 0.25 + 0.752 × 0.25 = 0.21875
Sd = 0.252 × 0.25 + 0.52 × 0.25 + 0.752 × 0.25 + 12 × 0.25 = 0.46875
Sm = 0.1252 × 0.25 + 0.3752 × 0.25 + 0.6252 × 0.25 + 0.8752 × 0.25 = 0.328125
1
Valeur exacte : 3
≈ 0.3333
6
, Intégration - Terminale
CHAPITRE 1. INTRODUCTION HISTORIQUE ET NOTION INTUITIVE
1.4 Définition formelle de l’intégrale de Riemann
Définition 1.1 (Intégrale définie). Soit f une fonction bornée sur [a, b]. On définit l’in-
tégrale de Riemann de f sur [a, b] comme la limite commune (si elle existe) des sommes
de Riemann quand le pas de la subdivision tend vers 0 :
b n
X
f (x)dx = n→∞
lim f (ξk )(xk − xk−1 )
a k=1
où a = x0 < x1 < · · · < xn = b est une subdivision de [a, b] et ξk ∈ [xk−1 , xk ].
Théorème 1.1 (Existence pour les fonctions continues). Toute fonction continue sur un
intervalle [a, b] est intégrable sur cet intervalle.
Théorème 1.2 (Existence pour les fonctions monotones). Toute fonction monotone sur
[a, b] est intégrable sur cet intervalle.
1.5 Exercices fondamentaux
2
Calculer les approximations de 0
(x2 + 1)dx avec n = 4 en utilisant :
(a) La méthode des rectangles à gauche
(b) La méthode des rectangles à droite
(c) La méthode des milieux
Comparer avec la valeur exacte.
Solution. (a) Subdivision : [0, 0.5, 1, 1.5, 2], ∆x = 0.5
Sg = (02 + 1) × 0.5 + (0.52 + 1) × 0.5 + (12 + 1) × 0.5 + (1.52 + 1) × 0.5 = 4.25
(b) Sd = (0.52 + 1) × 0.5 + (12 + 1) × 0.5 + (1.52 + 1) × 0.5 + (22 + 1) × 0.5 = 6.25
(c) Sm = (0.252 + 1) × 0.5 + (0.752 + 1) × 0.5 + (1.252 + 1) × 0.5 + (1.752 + 1) × 0.5 = 5.125
h i2
x3 8 14
Valeur exacte : 3
+x = 3
+2= 3
≈ 4.6667
0
Montrer que pour toute fonction f intégrable sur [a, b] et pour tout
c ∈ [a, b], on a :
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
a a c
(Relation de Chasles)
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