Topology Notes
Kanhaiya Sahni
,2
, Contents
1 Introduction to Topology 5
1.1 Definition of Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Examples of Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Basis for a Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Subbasis for a Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Neighborhoods and Limit Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Interior and Boundary of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9 Product Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.1 Box Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Countability Properties 41
2.1 First Countable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Second Countable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Separable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Relationships Between Countability Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Continuous Functions and Homeomorphisms 51
3.1 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 The Pasting Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Open and Closed Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Connectedness and Path Connectedness 65
4.1 Connected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Path Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Local Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Compactness and Separation Properties 79
5.1 Basic Definitions and Properties of Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Open Covers and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.2 Characterizations of Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Compactness in Hausdorff and Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.1 Hausdorff Spaces and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.2 Compactness in Euclidean Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.3 Product Spaces and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Separation Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Regular and Normal Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 Compactness Properties and Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
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, 4 CONTENTS
Kanhaiya Sahni
,2
, Contents
1 Introduction to Topology 5
1.1 Definition of Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Examples of Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Basis for a Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Subbasis for a Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Neighborhoods and Limit Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Interior and Boundary of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9 Product Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9.1 Box Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Countability Properties 41
2.1 First Countable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Second Countable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Separable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Relationships Between Countability Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Continuous Functions and Homeomorphisms 51
3.1 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 The Pasting Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Open and Closed Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Connectedness and Path Connectedness 65
4.1 Connected Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Path Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Local Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Compactness and Separation Properties 79
5.1 Basic Definitions and Properties of Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Open Covers and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.2 Characterizations of Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Compactness in Hausdorff and Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.1 Hausdorff Spaces and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.2 Compactness in Euclidean Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.3 Product Spaces and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Separation Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Regular and Normal Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 Compactness Properties and Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
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