College 0 – Geschiedenis rekenen / wiskunde
Geschiedenis van rekenen en wiskunde
Mensen en dieren kunnen snel kleine hoeveelheden overzien (schatten) en zien ook
dat er 1 bij komt of 1 eraf gaat. Dit is belangrijk om te overleven. Hangt aan de ene boom 1
appel en aan de andere 3, dan ga je naar de laatste boom toe want dan heb je meer te eten.
- 35000 voor Chr.: Kerfstokken en inkepingen in botten (tellen)
- 3500 tot 300 voor Chr.: Rekenen door o.a. Babyloniërs en Egyptenaren
- 753 voor Chr. tot 476 na Chr.: Romeins Additieve systeem
- 250 na Chr.: In India gebruik 10tallig positioneel stelsel met gebruik van nul
- 1200 na Chr.: Publicatie boek Liber Abaci door Fibonacci over 10-talligstelsel
- 1489 na Chr.: introductie + en -
- 1557 na Chr.: introductie =
- 1586 na Chr.: Kommagetallen en naam 'Wiskunde' door Simon Stevin
- Eind 1700/begin 1800: Invoering Metriek Stelsel onder Napoleon
- Deze tijd: Binair rekenen (computers)
Van meet af aan is rekenen/wiskunde aanwezig geweest in ieder facet van de menselijke
verrichtingen: Handel, landbouw, architectuur, godsdienst, oorlog, kunst. Desondanks zien
veel mensen rekenen/wiskunde nog steeds als een vak op school, waar je niet veel aan hebt.
Leerkrachten moeten iets weten van de geschiedenis van rekenen/wiskunde en
kinderen bijbrengen hoe belangrijk en interessant het vakgebied kan zijn.
Leren schatten is van levensbelang (Uit: Leer ze rekenen hoofdstuk 3)
Honden kiezen bij voorkeur de best gevulde voederbak. En wolven weten precies hoe groot
hun roedel moet zijn om een eland op te jagen, namelijk zes tot acht. Gevoel voor
hoeveelheden is letterlijk van levensbelang. Het is dan ook een natuurlijke
eigenschap, eentje die alle dieren, mensen incluis, delen.
Maar mensen zijn, voor zover we weten, de enige soort die er naast dit evolutionaire
schattingssysteem nog een preciezer getalsysteem op na houdt: rekenen-wiskunde
Natuurlijk getalsysteem: Alle dieren hebben een natuurlijk gevoel voor hoeveelheden.
Kenmerkend is dat het onnauwkeurig is. Dieren of baby’s hebben wel een gevoel voor
meer en minder of veel en weinig, maar ze kunnen niet tellen. Het verschil tussen drie en
vier zien ze bijvoorbeeld niet.
Approximate number system (ANS): Nauwkeurig schattingssysteem.
1
,Leren schatten is van levensbelang (Uit: Leer ze rekenen hfdstk 3)
Symbolisch of talig getalsysteem: Om nauwkeurig hoeveelheden te kunnen
onderscheiden, is een preciezer systeem nodig. Zo’n systeem hebben mensen ontwikkeld:
rekenen-wiskunde. Dit zogeheten symbolisch of talig getalsysteem is niet van nature
gegeven, maar moet je aanleren.
Rekenonderwijs: Het taal geven aan datgene wat leerlingen uit zichzelf al zo ongeveer
aanvoelen. Die taal – en daaronder vallen niet alleen woorden, maar ook symbolen als
het plus- of wortelteken en formules – verfijnt en verscherpt het natuurlijke systeem. Zo
worden leerlingen door te rekenen beter in schatten en door beter te schatten gaan ze
beter rekenen. Er een duidelijk verband tussen beide getalsystemen. Hierbij gaat het om
tweerichtingsverkeer.
In elke groep kun je aandacht besteden aan schattend rekenen. In groep 1 gebeurt dat
nog speels. Bijvoorbeeld: Welke boom staat dichter bij het klimrek? Zullen we het eens
samen nalopen? Past dit pakje melk in dit glas of heb ik een groter nodig? In hogere groepen
worden de schattingstaken complexer en passend bij waar je in de rekenles mee bezig bent.
Bijvoorbeeld: Hoe vaak past deze lat van één meter in ons klaslokaal? Of in het raam? Of
welk getal, 117 of 89, ligt dichter bij 100?
De eerste archeologische vondsten (kerfstokken)
De oudste aanwijzing (35.000 v. C.) voor het vastleggen van getallen werd opgegraven in
Swaziland en bestaat uit een kuitbeen van een baviaan met 29 duidelijke inkepingen
(Lebombo-been).
Het lijkt op de calendar sticks die in Namibië nu nog steeds worden gebruikt door de
primitieve bosjesmannen om de tijd (dagen) bij te houden.
Ook in Europa zijn dergelijke botten uit de steentijd gevonden. Een spaakbeen van een wolf
dat in Tsjechië werd gevonden heeft 55 inkepingen in groepen van 5.
Rekenen/wiskunde in de oudheid
De oudste bekende teksten waarin wordt gerekend met getallen, zijn kleitabletten uit
Mesopothamie (Irak)
In de periode 3500-300 v. Chr. waren in het Midden-Oosten en Azië wetenschappers bezig
met rekenen en wiskunde. Men gebruikte rekenen en wiskunde vaak om hele praktische
zaken op te lossen.
(zie de 4 video-fragementen over de History of 1)
Voortrekkers: Perzië, India, China, Egypte, Babylon, Mesopotamië
2
,Het sexagesimale positiestelsel uit het oosten
De Babyloniërs uit Mesopotamië, nu Irak, hadden een zestigtallig stelsel. Vergelijkbaar
met ons huidige decimale stelsel, maar veel ingewikkelder. Binnen dit sexagesimale stelsel
werd het cijfer 0 nog niet gebruikt. Tegenwoordig gebruiken we het sexagesimale
stelsel nog voor het berekenen van de tijd (60 minuten, 60 seconden).
Wiskunde was bij de Babyloniërs ver ontwikkeld. Ze konden met breuken en wortels
rekenen, en renteberekeningen uitvoeren. De cijfers werden geschreven in spijkerschrift.
Met riet werd zacht in een kleitablet gekrast.
Egyptische getalsysteem
Optellen: Alles bij elkaar gooien en kleine getallen inwisselen voor grotere
Aftrekken: Kleinste getal aanvullen tot grootste getal bereikt is
Vermenigvuldigen: Door verdubbelen, halveren en optellen
Egyptische stambreuken
De Egyptenaren rekenen voornamelijk met stambreuken (1 in de teller)
Egyptisch delen Rekenen met stambreuken
Het additieve systeem uit Rome
Additieve systeem: De Romeinen gebruikten van 753 voor tot 476
na Christus een additief systeem (ook zonder 0), maar ook na hun rijk
werd er honderden jaren op deze manier gerekend. Ze rekenden met
een Romeinse Abacus.
Welk jaartal is MDCCCLXXVII? → Antwoord: 1877
3
, Rekenregels binnen het Romeinse additieve getalsysteem
Een getal wordt gevormd door een aantal van deze letters naast elkaar te zetten.
Daarbij staat de grootste waarde links en de kleinste rechts.
Let op: Er mogen maar 3x dezelfde tekens achter elkaar staan. Fout: VIIII (9) Goed: IX (9)
Soms staat een kleine waarde links van een grotere waarde. In dat geval moet die
kleinere waarde worden afgetrokken van de grotere waarde die er rechts van staat.
Dit gebeurt alleen bij getallen waarin wij een ‘4′ of een ‘9′ gebruiken.
- CM = 1000 – 100 = 900 CD = 500 – 100 = 400
- XC = 100 – 10 = 90 XL = 50 – 10 = 40
- IX = 10 – 1 = 9 IV = 5 – 1 = 4
Let op: Alleen de ‘C’ (100), de ‘X’ (10) en de ‘I’ (1) mogen 1x worden afgetrokken en
alleen van de 2 waarden die daar direct boven liggen
‘Ons’ decimaal (10tallig) positioneel getalsysteem
Rond 250 na Christus kwamen in India het getal nul en het huidige decimale
positiestelsel in gebruik (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) met deze 10 cijfers kunnen alle getallen
geschreven worden (positie cijfer 5 in 555 = 500+50+5)
Via de Arabische wereld kwam het Indiase decimale positiestelsel naar Europa. De wortels
uit India en de Arabische wereld zijn bijvoorbeeld: cijfer, zero, algebra en algoritme
In 1202 (bijna 1000 jaar later) publiceerde Leonardo di Pisa, bijgenaamd Fibonacci, het
boek Liber Abaci, dat lange tijd het voornaamste boek was over het rekenen met het
decimale positionele getalsysteem (o.a. het voordeel van onder elkaar rekenen) Het
duurde tot ongeveer 1550 (weer 300 jaar later) voordat dit nieuwe systeem het
traditionele systeem met Romeinse getallen en het Romeinse telraam (abacus) verdrong.
Symbolen
In 1489 werd het plusteken, samen met het minteken, voor het eerst in gedrukte
vorm gebruikt in een boek van Johannes Widmann. Hij gebruikte de tekens echter om
overschotten en tekorten aan te duiden in bedrijfseconomische zin. Hij schreef over de
betekenis van de tekens: "Was - ist / das ist minus ... und das + das ist mer".
Robert Recorde introduceerde de tekens in 1557 in Engeland; hij introduceerde
tegelijkertijd ook het =-teken (bicause noe 2 thynges, can be moare equalle). In zijn boek is
te lezen: "There be other 2 signes in often use of which the first is made thus + and
betokeneth more: the other is thus made - and betokeneth lesse". Pas in 1700 toen grote
namen als Newton het gingen gebruiken raakte het pas echt in zwang
4
Geschiedenis van rekenen en wiskunde
Mensen en dieren kunnen snel kleine hoeveelheden overzien (schatten) en zien ook
dat er 1 bij komt of 1 eraf gaat. Dit is belangrijk om te overleven. Hangt aan de ene boom 1
appel en aan de andere 3, dan ga je naar de laatste boom toe want dan heb je meer te eten.
- 35000 voor Chr.: Kerfstokken en inkepingen in botten (tellen)
- 3500 tot 300 voor Chr.: Rekenen door o.a. Babyloniërs en Egyptenaren
- 753 voor Chr. tot 476 na Chr.: Romeins Additieve systeem
- 250 na Chr.: In India gebruik 10tallig positioneel stelsel met gebruik van nul
- 1200 na Chr.: Publicatie boek Liber Abaci door Fibonacci over 10-talligstelsel
- 1489 na Chr.: introductie + en -
- 1557 na Chr.: introductie =
- 1586 na Chr.: Kommagetallen en naam 'Wiskunde' door Simon Stevin
- Eind 1700/begin 1800: Invoering Metriek Stelsel onder Napoleon
- Deze tijd: Binair rekenen (computers)
Van meet af aan is rekenen/wiskunde aanwezig geweest in ieder facet van de menselijke
verrichtingen: Handel, landbouw, architectuur, godsdienst, oorlog, kunst. Desondanks zien
veel mensen rekenen/wiskunde nog steeds als een vak op school, waar je niet veel aan hebt.
Leerkrachten moeten iets weten van de geschiedenis van rekenen/wiskunde en
kinderen bijbrengen hoe belangrijk en interessant het vakgebied kan zijn.
Leren schatten is van levensbelang (Uit: Leer ze rekenen hoofdstuk 3)
Honden kiezen bij voorkeur de best gevulde voederbak. En wolven weten precies hoe groot
hun roedel moet zijn om een eland op te jagen, namelijk zes tot acht. Gevoel voor
hoeveelheden is letterlijk van levensbelang. Het is dan ook een natuurlijke
eigenschap, eentje die alle dieren, mensen incluis, delen.
Maar mensen zijn, voor zover we weten, de enige soort die er naast dit evolutionaire
schattingssysteem nog een preciezer getalsysteem op na houdt: rekenen-wiskunde
Natuurlijk getalsysteem: Alle dieren hebben een natuurlijk gevoel voor hoeveelheden.
Kenmerkend is dat het onnauwkeurig is. Dieren of baby’s hebben wel een gevoel voor
meer en minder of veel en weinig, maar ze kunnen niet tellen. Het verschil tussen drie en
vier zien ze bijvoorbeeld niet.
Approximate number system (ANS): Nauwkeurig schattingssysteem.
1
,Leren schatten is van levensbelang (Uit: Leer ze rekenen hfdstk 3)
Symbolisch of talig getalsysteem: Om nauwkeurig hoeveelheden te kunnen
onderscheiden, is een preciezer systeem nodig. Zo’n systeem hebben mensen ontwikkeld:
rekenen-wiskunde. Dit zogeheten symbolisch of talig getalsysteem is niet van nature
gegeven, maar moet je aanleren.
Rekenonderwijs: Het taal geven aan datgene wat leerlingen uit zichzelf al zo ongeveer
aanvoelen. Die taal – en daaronder vallen niet alleen woorden, maar ook symbolen als
het plus- of wortelteken en formules – verfijnt en verscherpt het natuurlijke systeem. Zo
worden leerlingen door te rekenen beter in schatten en door beter te schatten gaan ze
beter rekenen. Er een duidelijk verband tussen beide getalsystemen. Hierbij gaat het om
tweerichtingsverkeer.
In elke groep kun je aandacht besteden aan schattend rekenen. In groep 1 gebeurt dat
nog speels. Bijvoorbeeld: Welke boom staat dichter bij het klimrek? Zullen we het eens
samen nalopen? Past dit pakje melk in dit glas of heb ik een groter nodig? In hogere groepen
worden de schattingstaken complexer en passend bij waar je in de rekenles mee bezig bent.
Bijvoorbeeld: Hoe vaak past deze lat van één meter in ons klaslokaal? Of in het raam? Of
welk getal, 117 of 89, ligt dichter bij 100?
De eerste archeologische vondsten (kerfstokken)
De oudste aanwijzing (35.000 v. C.) voor het vastleggen van getallen werd opgegraven in
Swaziland en bestaat uit een kuitbeen van een baviaan met 29 duidelijke inkepingen
(Lebombo-been).
Het lijkt op de calendar sticks die in Namibië nu nog steeds worden gebruikt door de
primitieve bosjesmannen om de tijd (dagen) bij te houden.
Ook in Europa zijn dergelijke botten uit de steentijd gevonden. Een spaakbeen van een wolf
dat in Tsjechië werd gevonden heeft 55 inkepingen in groepen van 5.
Rekenen/wiskunde in de oudheid
De oudste bekende teksten waarin wordt gerekend met getallen, zijn kleitabletten uit
Mesopothamie (Irak)
In de periode 3500-300 v. Chr. waren in het Midden-Oosten en Azië wetenschappers bezig
met rekenen en wiskunde. Men gebruikte rekenen en wiskunde vaak om hele praktische
zaken op te lossen.
(zie de 4 video-fragementen over de History of 1)
Voortrekkers: Perzië, India, China, Egypte, Babylon, Mesopotamië
2
,Het sexagesimale positiestelsel uit het oosten
De Babyloniërs uit Mesopotamië, nu Irak, hadden een zestigtallig stelsel. Vergelijkbaar
met ons huidige decimale stelsel, maar veel ingewikkelder. Binnen dit sexagesimale stelsel
werd het cijfer 0 nog niet gebruikt. Tegenwoordig gebruiken we het sexagesimale
stelsel nog voor het berekenen van de tijd (60 minuten, 60 seconden).
Wiskunde was bij de Babyloniërs ver ontwikkeld. Ze konden met breuken en wortels
rekenen, en renteberekeningen uitvoeren. De cijfers werden geschreven in spijkerschrift.
Met riet werd zacht in een kleitablet gekrast.
Egyptische getalsysteem
Optellen: Alles bij elkaar gooien en kleine getallen inwisselen voor grotere
Aftrekken: Kleinste getal aanvullen tot grootste getal bereikt is
Vermenigvuldigen: Door verdubbelen, halveren en optellen
Egyptische stambreuken
De Egyptenaren rekenen voornamelijk met stambreuken (1 in de teller)
Egyptisch delen Rekenen met stambreuken
Het additieve systeem uit Rome
Additieve systeem: De Romeinen gebruikten van 753 voor tot 476
na Christus een additief systeem (ook zonder 0), maar ook na hun rijk
werd er honderden jaren op deze manier gerekend. Ze rekenden met
een Romeinse Abacus.
Welk jaartal is MDCCCLXXVII? → Antwoord: 1877
3
, Rekenregels binnen het Romeinse additieve getalsysteem
Een getal wordt gevormd door een aantal van deze letters naast elkaar te zetten.
Daarbij staat de grootste waarde links en de kleinste rechts.
Let op: Er mogen maar 3x dezelfde tekens achter elkaar staan. Fout: VIIII (9) Goed: IX (9)
Soms staat een kleine waarde links van een grotere waarde. In dat geval moet die
kleinere waarde worden afgetrokken van de grotere waarde die er rechts van staat.
Dit gebeurt alleen bij getallen waarin wij een ‘4′ of een ‘9′ gebruiken.
- CM = 1000 – 100 = 900 CD = 500 – 100 = 400
- XC = 100 – 10 = 90 XL = 50 – 10 = 40
- IX = 10 – 1 = 9 IV = 5 – 1 = 4
Let op: Alleen de ‘C’ (100), de ‘X’ (10) en de ‘I’ (1) mogen 1x worden afgetrokken en
alleen van de 2 waarden die daar direct boven liggen
‘Ons’ decimaal (10tallig) positioneel getalsysteem
Rond 250 na Christus kwamen in India het getal nul en het huidige decimale
positiestelsel in gebruik (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) met deze 10 cijfers kunnen alle getallen
geschreven worden (positie cijfer 5 in 555 = 500+50+5)
Via de Arabische wereld kwam het Indiase decimale positiestelsel naar Europa. De wortels
uit India en de Arabische wereld zijn bijvoorbeeld: cijfer, zero, algebra en algoritme
In 1202 (bijna 1000 jaar later) publiceerde Leonardo di Pisa, bijgenaamd Fibonacci, het
boek Liber Abaci, dat lange tijd het voornaamste boek was over het rekenen met het
decimale positionele getalsysteem (o.a. het voordeel van onder elkaar rekenen) Het
duurde tot ongeveer 1550 (weer 300 jaar later) voordat dit nieuwe systeem het
traditionele systeem met Romeinse getallen en het Romeinse telraam (abacus) verdrong.
Symbolen
In 1489 werd het plusteken, samen met het minteken, voor het eerst in gedrukte
vorm gebruikt in een boek van Johannes Widmann. Hij gebruikte de tekens echter om
overschotten en tekorten aan te duiden in bedrijfseconomische zin. Hij schreef over de
betekenis van de tekens: "Was - ist / das ist minus ... und das + das ist mer".
Robert Recorde introduceerde de tekens in 1557 in Engeland; hij introduceerde
tegelijkertijd ook het =-teken (bicause noe 2 thynges, can be moare equalle). In zijn boek is
te lezen: "There be other 2 signes in often use of which the first is made thus + and
betokeneth more: the other is thus made - and betokeneth lesse". Pas in 1700 toen grote
namen als Newton het gingen gebruiken raakte het pas echt in zwang
4
