Analyse 1
Hoofdstuk 1
Een sequence is een functie op de set natuurlijke getallen (ℕ). De notatie tn geeft aan dat de
functie op de natuurlijke getallen (ℕ) is. Wij gaan er vanuit dat de sequences in de
opdrachten van ℕ → ℝ gaan. Oftewel van de natuurlijke getallen (domein) naar de reële
getallen (bereik).
Een sequence is of:
- Monotone, de termen groeien ondefinieerbaar (geen limit)
- Gebonden, er zijn maxima en minima (wel limit)
Verschillende operaties: Neem (𝑡( )+ +
()* en (𝑢( )()* in ℝ.
Sum:
(𝑡( + 𝑢( )+
()* = (𝑡* + 𝑢* , 𝑡0 + 𝑢0 , 𝑡1 + 𝑢1 , … . )
Product:
(𝑡( ∗ 𝑢( )+
()* = (𝑡* ∗ 𝑢* , 𝑡0 ∗ 𝑢0 , 𝑡1 ∗ 𝑢1 , … . )
Quotient:
(𝑡( /𝑢( )+
()* = (𝑡* /𝑢* , 𝑡0 /𝑢0 , 𝑡1 /𝑢1 , … . )
Scalar product of c:
(𝑐 ∗ 𝑡( )+
()* = (𝑐 ∗ 𝑡* , 𝑐 ∗ 𝑡0 , 𝑐 ∗ 𝑡1 , … . )
Definitie limiet van een sequence
Neem de sequence: (𝑡( )+ ()* De notatie voor het limiet l (uit ℝ ) is:
lim 𝑡( = 𝑙
(→+
Def: l is het limiet van tn als voor iedere 𝜀 > 0 een 𝑁 ∈ ℝ bestaat zodat 𝑡( − 𝑙 < 𝜀 voor
iedere 𝑛 > 𝑁.
• Als een sequence limiet l heeft, zeggen we dat de sequence converges naar l. Een
sequence die niet convergent noemen we een divergent sequence
• N hangt in principe af van 𝜀.
• Een convergent sequence heeft slechts één limiet.
,Thrm. Voor een sequence (𝑡( )+ ()* waarbij iedere 𝑡( ≥ 0 voor iedere 𝑛 ∈ ℕ, die
convergeert naar l, geldt dat 𝑙 ≥ 0. (theorem 1.1)
Definitie bounded:
We nemen de sequence (𝑡( )+ ()* in ℝ en neem 𝑙, 𝑢 ∈ ℝ. Er geldt dan:
- Als getal u bestaat, zódat 𝑡( ≤ 𝑢 voor iedere 𝑛 ∈ ℕ, dan is de sequence bounded
above.
- Als getal l bestaat, zódat 𝑡( ≥ l voor iedere 𝑛 ∈ ℕ, dan is de sequence bounded
below.
- De sequence noemen we bounded als deze zowel een bounded below als bounden
above is. Dus als er een u en een l bestaat.
Thrm. Elke convergent sequence is bounded (theorem 1.2).
Ook geldt dat een sequence die not bounded is, niet convergent is.
LET OP: er geldt NIET dat elke bounded sequence convergent is.
Definitie diverges to infinity
Neem een sequence (𝑡( )+ ()* in ℝ. De sequence diverges to infinity, als voor iedere 𝑢 ∈ ℝ
een nummer N bestaat zódat 𝑡( > 𝑢 voor iedere 𝑛 ∈ ℕ.
In simpele woorden, als 𝑛 → ∞ dan 𝑡( → ∞.
Thrm: Arithmetic rules voor limieten van sequences (Theorem 1.3)
Neem (𝑡( )+ +
()* die convergeert naar l en (𝑢( )()* die convergeert m. Er geldt:
- 𝑡( + 𝑢( +()* convergeert naar 𝑙 + 𝑚
+
- 𝑡( ∗ 𝑢( ()* convergeert naar 𝑙 ∗ 𝑚
- 𝑡( /𝑢( +
()* convergeert naar 𝑙/𝑚 als 𝑢( ≠ 0 en 𝑚 ≠ 0 voor iedere 𝑛 ∈ ℕ
We mogen nu aannemen (op basis van examples en exercises uit de reader) dat:
*
- (1 + )+
()* convergeert naar 1
(
*
- ( 1 + )+
()* convergeert naar 1 = 1
(
*
- (1 + 1 + )+
()* convergeert naar 1 + 1 = 2
(
*
- ( )+
K ()*
convergeert naar 0,5
*J *J
L
Dit is allemaal logisch, zie de arithmetic rules hierboven.
,Definitie monotone sequences:
Neem (𝑡( )+()* in ℝ. Er geldt:
- De sequence is increasing als voor iedere 𝑛 ∈ ℕ: 𝑡( ≤ 𝑡(J*
- De sequence is decreasing als voor iedere 𝑛 ∈ ℕ: 𝑡( ≥ 𝑡(J*
De sequence is monotone als deze increasing óf decreasing is.
LET OP: dit is anders dan bij monotone functies. Daar gaat het om strictly
increasing/decreasing.
Thrm: convergente monotone sequences(Theorem 1.4)
Voor een increasing sequence (𝑡( )+
()* die bounded above is, en convergent is geldt:
lim 𝑡( = sup {𝑡( : 𝑛 ∈ ℕ}
(→+
In simpele woorden: 𝑙 = 𝑢 (l is limit, u is maximum)
Voor een decreasing sequence (𝑢( )+
()* die bounded below is, en convergent is geldt:
lim 𝑡( = inf {𝑢( : 𝑛 ∈ ℕ}
(→+
In simpele woorden: 𝑙 = 𝑝 (l is limit, p is minimum)
Denk hierbij aan de grafiek, dan is het logisch.
Hoofdstuk 2
Een subsequence is een sequence die een deel is van een andere sequence. Bijvoorbeeld
(𝑡0V )+ +
V)* is de even-getallen subsequence van (𝑡( )()* .
(𝑡0VJ1 )+ +
()* is de oneven-getallen subsequence van (𝑡( )()* die begint bij t5.
Definitie subsequence
+
Laat (𝑡( )+
()* een sequence van reële getallen zijn. (𝑡(W )V)* is een subsequence van tn met
indexen n1, n2, n3, n4, ……
Theorie van Bolzano-Weierstrass (Theorem 2.1)
Elke bounded sequence in ℝ heeft tenminste één convergent subsequence.
Thrm. Convergent (sub)sequence (Theorem 2.2)
Elke subsequence van een convergent sequence, converges naar het limiet van de sequence.
,Gevolgen zijn:
- als een sequence convergent is, en de subsequence heeft limit l, dan heeft de
sequence dus ook limit l.
- Als je twee convergente subsequences hebt met verschillende limieten, dan is de
sequence dus niet convergent.
- Als een subsequence divergent is, dan is de sequence ook divergent.
Definitie Cauchy sequence
Neem een sequence (𝑡( )+()* in ℝ. Dit is een Cauchy sequence als voor iedere 𝜀 > 0 een N
bestaat zodat voor natuurlijke nummer 𝑛, 𝑚 > 𝑁 geldt:
𝑡( − 𝑡X < 𝜀
Thrm. Elke Cauchy sequence is bounded (theorem 2.3).
Thrm. Een sequence is een Cauchy sequence als en alleen als de sequence convergent is.
(theorem 2.4)
Definitie Contraction
Laat f een functie zijn op een gesloten interval I. f is een contraction of I als:
a) Voor iedere 𝑥 ∈ 𝐼 geldt 𝑓 𝑥 ∈ 𝐼
b) Als nummer c, met 0 ≤ 𝑐 < 1, bestaat en 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 bestaan zodat:
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝑐 𝑥 − 𝑦
Nummer “c” noemen we de contraction constant van f.
Begrijp: zo’n contractie “beeld” een interval af op zichzelf. En de afstand tussen de
functiewaarden is kleiner dan de afstand tussen de bijbehorende x-waarden.
Definitie Fixed Point
Laat f een functie op interval 𝐼 ⊂ ℝ. Er geldt 𝑥 ∈ 𝐼 is een fixed point van f als 𝑓 𝑥 = 𝑥.
Thrm. Contraction Theorem (theorem 2.5)
Neem f een contraction van een gesloten interval I. Er geldt:
a) f heeft precies één fixed point op I
b) Voor iedere 𝑘 ∈ 𝐼, geldt dat de sequence (𝑡( )+()* gedefinieerd door: 𝑡* = 𝑘 en
𝑡(J* = 𝑓(𝑡( ) voor iedere 𝑛 ∈ ℕ, convergeert naar het fixed point van f.
Lees (b) zo: als k is uit I, en tn+1 = f(tn), dan convergeert tn naar het fixed point van f.
, Definitie Contractive sequence
Als f een contractie is van interval I, en ook 𝑘 ∈ 𝐼. De sequence (𝑡( )+
()* gedefinieerd door:
𝑡* = 𝑘
𝑡(J* = 𝑓(𝑡( ) 𝑛∈ℕ
Is dan een contractive sequence.
Oftewel: alle termen tn liggen in I, en f(x) is een contractie van I.
Hoofdstuk 3
Een function is in deze context een functie met domein en bereik op de set van reële
getallen ℝ.
Definitie Limit function
Laat f een functie en 𝑐 ∈ ℝ. Nummer l is het limiet van de functie f in c als voor iedere 𝜀 > 0
een 𝛿 > 0 bestaat;
zódat voor iedere 𝑥 ∈ 𝐷a waarvoor geldt dat
0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 of equivalent: 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿
dát we hebben:
𝑓 𝑥 −𝑙 <𝜀
Dit kan je schrijven als:
lim 𝑓(𝑥) = 𝑙 of equivalent: 𝑓 𝑥 → 𝑐 als 𝑥 → 𝑐.
b→c
• De waarde van 𝛿 hangt af van 𝜀.
• Het Linking Limit Lemma (LLL) geeft een praktische vereenvoudiging
Thrm. Linking Limit Lemma (Theorem 3.1)
Neem functie f en neem 𝑙 ∈ ℝ.
Dan is lim 𝑓(𝑥) = 𝑙 als en alleen als voor iedere sequence (𝑥( )+
()* in 𝐷a met 𝑥( ≠ 𝑐 voor
b→c
iedere 𝑛 ∈ ℕ en lim 𝑥( = 𝑐 dan geldt dat lim 𝑓(𝑥( ) = 𝑙
b→+ b→+
Hoofdstuk 1
Een sequence is een functie op de set natuurlijke getallen (ℕ). De notatie tn geeft aan dat de
functie op de natuurlijke getallen (ℕ) is. Wij gaan er vanuit dat de sequences in de
opdrachten van ℕ → ℝ gaan. Oftewel van de natuurlijke getallen (domein) naar de reële
getallen (bereik).
Een sequence is of:
- Monotone, de termen groeien ondefinieerbaar (geen limit)
- Gebonden, er zijn maxima en minima (wel limit)
Verschillende operaties: Neem (𝑡( )+ +
()* en (𝑢( )()* in ℝ.
Sum:
(𝑡( + 𝑢( )+
()* = (𝑡* + 𝑢* , 𝑡0 + 𝑢0 , 𝑡1 + 𝑢1 , … . )
Product:
(𝑡( ∗ 𝑢( )+
()* = (𝑡* ∗ 𝑢* , 𝑡0 ∗ 𝑢0 , 𝑡1 ∗ 𝑢1 , … . )
Quotient:
(𝑡( /𝑢( )+
()* = (𝑡* /𝑢* , 𝑡0 /𝑢0 , 𝑡1 /𝑢1 , … . )
Scalar product of c:
(𝑐 ∗ 𝑡( )+
()* = (𝑐 ∗ 𝑡* , 𝑐 ∗ 𝑡0 , 𝑐 ∗ 𝑡1 , … . )
Definitie limiet van een sequence
Neem de sequence: (𝑡( )+ ()* De notatie voor het limiet l (uit ℝ ) is:
lim 𝑡( = 𝑙
(→+
Def: l is het limiet van tn als voor iedere 𝜀 > 0 een 𝑁 ∈ ℝ bestaat zodat 𝑡( − 𝑙 < 𝜀 voor
iedere 𝑛 > 𝑁.
• Als een sequence limiet l heeft, zeggen we dat de sequence converges naar l. Een
sequence die niet convergent noemen we een divergent sequence
• N hangt in principe af van 𝜀.
• Een convergent sequence heeft slechts één limiet.
,Thrm. Voor een sequence (𝑡( )+ ()* waarbij iedere 𝑡( ≥ 0 voor iedere 𝑛 ∈ ℕ, die
convergeert naar l, geldt dat 𝑙 ≥ 0. (theorem 1.1)
Definitie bounded:
We nemen de sequence (𝑡( )+ ()* in ℝ en neem 𝑙, 𝑢 ∈ ℝ. Er geldt dan:
- Als getal u bestaat, zódat 𝑡( ≤ 𝑢 voor iedere 𝑛 ∈ ℕ, dan is de sequence bounded
above.
- Als getal l bestaat, zódat 𝑡( ≥ l voor iedere 𝑛 ∈ ℕ, dan is de sequence bounded
below.
- De sequence noemen we bounded als deze zowel een bounded below als bounden
above is. Dus als er een u en een l bestaat.
Thrm. Elke convergent sequence is bounded (theorem 1.2).
Ook geldt dat een sequence die not bounded is, niet convergent is.
LET OP: er geldt NIET dat elke bounded sequence convergent is.
Definitie diverges to infinity
Neem een sequence (𝑡( )+ ()* in ℝ. De sequence diverges to infinity, als voor iedere 𝑢 ∈ ℝ
een nummer N bestaat zódat 𝑡( > 𝑢 voor iedere 𝑛 ∈ ℕ.
In simpele woorden, als 𝑛 → ∞ dan 𝑡( → ∞.
Thrm: Arithmetic rules voor limieten van sequences (Theorem 1.3)
Neem (𝑡( )+ +
()* die convergeert naar l en (𝑢( )()* die convergeert m. Er geldt:
- 𝑡( + 𝑢( +()* convergeert naar 𝑙 + 𝑚
+
- 𝑡( ∗ 𝑢( ()* convergeert naar 𝑙 ∗ 𝑚
- 𝑡( /𝑢( +
()* convergeert naar 𝑙/𝑚 als 𝑢( ≠ 0 en 𝑚 ≠ 0 voor iedere 𝑛 ∈ ℕ
We mogen nu aannemen (op basis van examples en exercises uit de reader) dat:
*
- (1 + )+
()* convergeert naar 1
(
*
- ( 1 + )+
()* convergeert naar 1 = 1
(
*
- (1 + 1 + )+
()* convergeert naar 1 + 1 = 2
(
*
- ( )+
K ()*
convergeert naar 0,5
*J *J
L
Dit is allemaal logisch, zie de arithmetic rules hierboven.
,Definitie monotone sequences:
Neem (𝑡( )+()* in ℝ. Er geldt:
- De sequence is increasing als voor iedere 𝑛 ∈ ℕ: 𝑡( ≤ 𝑡(J*
- De sequence is decreasing als voor iedere 𝑛 ∈ ℕ: 𝑡( ≥ 𝑡(J*
De sequence is monotone als deze increasing óf decreasing is.
LET OP: dit is anders dan bij monotone functies. Daar gaat het om strictly
increasing/decreasing.
Thrm: convergente monotone sequences(Theorem 1.4)
Voor een increasing sequence (𝑡( )+
()* die bounded above is, en convergent is geldt:
lim 𝑡( = sup {𝑡( : 𝑛 ∈ ℕ}
(→+
In simpele woorden: 𝑙 = 𝑢 (l is limit, u is maximum)
Voor een decreasing sequence (𝑢( )+
()* die bounded below is, en convergent is geldt:
lim 𝑡( = inf {𝑢( : 𝑛 ∈ ℕ}
(→+
In simpele woorden: 𝑙 = 𝑝 (l is limit, p is minimum)
Denk hierbij aan de grafiek, dan is het logisch.
Hoofdstuk 2
Een subsequence is een sequence die een deel is van een andere sequence. Bijvoorbeeld
(𝑡0V )+ +
V)* is de even-getallen subsequence van (𝑡( )()* .
(𝑡0VJ1 )+ +
()* is de oneven-getallen subsequence van (𝑡( )()* die begint bij t5.
Definitie subsequence
+
Laat (𝑡( )+
()* een sequence van reële getallen zijn. (𝑡(W )V)* is een subsequence van tn met
indexen n1, n2, n3, n4, ……
Theorie van Bolzano-Weierstrass (Theorem 2.1)
Elke bounded sequence in ℝ heeft tenminste één convergent subsequence.
Thrm. Convergent (sub)sequence (Theorem 2.2)
Elke subsequence van een convergent sequence, converges naar het limiet van de sequence.
,Gevolgen zijn:
- als een sequence convergent is, en de subsequence heeft limit l, dan heeft de
sequence dus ook limit l.
- Als je twee convergente subsequences hebt met verschillende limieten, dan is de
sequence dus niet convergent.
- Als een subsequence divergent is, dan is de sequence ook divergent.
Definitie Cauchy sequence
Neem een sequence (𝑡( )+()* in ℝ. Dit is een Cauchy sequence als voor iedere 𝜀 > 0 een N
bestaat zodat voor natuurlijke nummer 𝑛, 𝑚 > 𝑁 geldt:
𝑡( − 𝑡X < 𝜀
Thrm. Elke Cauchy sequence is bounded (theorem 2.3).
Thrm. Een sequence is een Cauchy sequence als en alleen als de sequence convergent is.
(theorem 2.4)
Definitie Contraction
Laat f een functie zijn op een gesloten interval I. f is een contraction of I als:
a) Voor iedere 𝑥 ∈ 𝐼 geldt 𝑓 𝑥 ∈ 𝐼
b) Als nummer c, met 0 ≤ 𝑐 < 1, bestaat en 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 bestaan zodat:
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝑐 𝑥 − 𝑦
Nummer “c” noemen we de contraction constant van f.
Begrijp: zo’n contractie “beeld” een interval af op zichzelf. En de afstand tussen de
functiewaarden is kleiner dan de afstand tussen de bijbehorende x-waarden.
Definitie Fixed Point
Laat f een functie op interval 𝐼 ⊂ ℝ. Er geldt 𝑥 ∈ 𝐼 is een fixed point van f als 𝑓 𝑥 = 𝑥.
Thrm. Contraction Theorem (theorem 2.5)
Neem f een contraction van een gesloten interval I. Er geldt:
a) f heeft precies één fixed point op I
b) Voor iedere 𝑘 ∈ 𝐼, geldt dat de sequence (𝑡( )+()* gedefinieerd door: 𝑡* = 𝑘 en
𝑡(J* = 𝑓(𝑡( ) voor iedere 𝑛 ∈ ℕ, convergeert naar het fixed point van f.
Lees (b) zo: als k is uit I, en tn+1 = f(tn), dan convergeert tn naar het fixed point van f.
, Definitie Contractive sequence
Als f een contractie is van interval I, en ook 𝑘 ∈ 𝐼. De sequence (𝑡( )+
()* gedefinieerd door:
𝑡* = 𝑘
𝑡(J* = 𝑓(𝑡( ) 𝑛∈ℕ
Is dan een contractive sequence.
Oftewel: alle termen tn liggen in I, en f(x) is een contractie van I.
Hoofdstuk 3
Een function is in deze context een functie met domein en bereik op de set van reële
getallen ℝ.
Definitie Limit function
Laat f een functie en 𝑐 ∈ ℝ. Nummer l is het limiet van de functie f in c als voor iedere 𝜀 > 0
een 𝛿 > 0 bestaat;
zódat voor iedere 𝑥 ∈ 𝐷a waarvoor geldt dat
0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 of equivalent: 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿
dát we hebben:
𝑓 𝑥 −𝑙 <𝜀
Dit kan je schrijven als:
lim 𝑓(𝑥) = 𝑙 of equivalent: 𝑓 𝑥 → 𝑐 als 𝑥 → 𝑐.
b→c
• De waarde van 𝛿 hangt af van 𝜀.
• Het Linking Limit Lemma (LLL) geeft een praktische vereenvoudiging
Thrm. Linking Limit Lemma (Theorem 3.1)
Neem functie f en neem 𝑙 ∈ ℝ.
Dan is lim 𝑓(𝑥) = 𝑙 als en alleen als voor iedere sequence (𝑥( )+
()* in 𝐷a met 𝑥( ≠ 𝑐 voor
b→c
iedere 𝑛 ∈ ℕ en lim 𝑥( = 𝑐 dan geldt dat lim 𝑓(𝑥( ) = 𝑙
b→+ b→+
