Samenvatting H4 tm 6 Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 4: Breuken
Breuken kunnen zowel een getal als een verhouding aangeven.
Verschijningsvormen: deel van een geheel (1/5 van een taart); deel van een hoeveelheid (1/3
van de 120 mensen). De breuk geeft een verdeling aan, eerlijk delen, een breuk is dan ook
een deling. Breuk = getal en bewerking in 1.; meetgetal (1/2 meter); maat (halfje brood);
verhouding (twee derde van de speeltuinen in Nederland); rekengetal > punt op de
getallenlijn. Een breuk kan ook meerdere vormen tegelijk zijn.
! Verschil deel van een hoeveelheid en verhouding: bij een verhouding is er geen sprake van
een specifieke bepaalde hoeveelheid (wel zo bij deel van een hoeveelheid), maar dat de
verhouding kan worden toegepast op verschillende hoeveelheden. !
Breuken zijn rationale getallen = het quotiënt (uitkomst van een deling) van twee hele
getallen, waarvan de tweede geen 0 is. Een breuk is dus een verhoudingsgetal: verhouding
tussen twee hele getallen: de teller en de noemer.
Gelijkwaardige/gelijknamige breuken. Vereenvoudigen van de breuk. Ongelijknamige
breuken kunnen gelijknamig worden gemaakt.
GGD: grootste gemene deler. KCV: kleinste gemeenschappelijke veelvoud. Blz 105
Wiskundetaal bij breuken: dagelijks leven (helft, halfje, kwart); formeel (teller, noemer,
breukstreep, gelijkwaardig, gelijknamig, vereenvoudigen)
Verschillende breuktypen kennen verschillende benamingen >
Echte breuken: breuken kleiner dan 1. Stambreuken: echte breuken met als teller 1 (vb 1/4).
Gemengde getallen: breuken groter dan 1. Onechte breuk: niet-vereenvoudigde getallen (vb
30/4). Samengestelde breuk: breuk waarvan de teller en noemer zelf ook een breuk zijn.
Benoemde breuken: achter de breuk wordt met een woord of afkorting aangegeven waar de
breuk een deel van is (liter, pizza, kg). Het concrete ondersteunt het denken en
vergemakkelijkt het rekenen > brug tussen concrete situatie en formeel rekenen.
Leerlijn breuken:
Informele noties en betekenis van breuken
- Informele ervaringen met breuken (vanaf groep 1)
Bijvoorbeeld: helft, half uur, kwart, kwartier…
- Verschijningsvormen van breuken
Contextgebonden en modelondersteunend redeneren en rekenen
- Breuken maken (vanaf groep 6)
- Vergelijken, ordenen en positioneren
Modelondersteunend en formeel redeneren en rekenen
- Rekenen met betekenisverlenende contexten (vanaf groep 7)
- Rekenen met modellen en op formeel niveau
Introductie van breuken > aansluiten bij de informele voorkennis + aandacht voor de
wiskundetaal: verschillende manieren van noteren en uitspreken (een kwart, een vierde en
¼). Belangrijk voor de begripsvorming! Context: eerlijk verdelen > deel van een geheel/deel
van een hoeveelheid. Modellen ontstaan: pannenkoek (cirkelmodel), reep (rechthoekmodel),
dropveter (strook/getallenlijn)
Modellen bij breuken:
, - Cirkelmodel > deel van een geheel; gelijkwaardigheid. Schematiseren. Bij een vraag van
‘hoeveel meer’ is het cirkelmodel onhandig, tenzij de cirkels in de methode staan
afgedrukt.
- Rechthoekmodel/plakmodel: deel van een geheel; deel van hoeveelheid. Een plak
onderverdeeld in stukjes (bijvoorbeeld chocolade of cake). Een rechthoek is makkelijker
te tekenen dan een cirkel, omdat hij makkelijk kan worden uitgebreid/gecorrigeerd.
Eigen oplossingswijzen > aantal stukjes waarin de reep wordt verdeeld (6, 12, 24). Groter
gemeen veelvoud. Voorbereiding op optellen/aftrekken met breuken. De stukjes/blokjes:
bemiddelende grootheid.
- Strookmodel: deel van een geheel visualiseren + meetgetal. Het visualiseert het relatieve
karakter van breuken. Varianten strook: horizontaal, verticaal, leeg, met en zonder
schaalverdeling, met en zonder hele getallen erbij…
- Breekstok: rood/wit, knikken, even grote stukken. Visualiseert gelijkwaardigheid.
- Getallenlijn: breuken kunnen worden gepositioneerd en geordend, net als hele getallen.
Voor het correct positioneren, moeten kinderen keren om teller en noemer in
samenhang te zien. Wordt gebruikt bij het bepalen en oefenen van gelijkwaardige
breuken en relaties met kommagetallen. Soms gebeurt dat ook voor relaties met
procenten, maar daarvoor is de strook geschikter.
! Verschil dubbele getallenlijn en strook: strook als geheel (breuken kleiner dan 1);
gewone/dubbele getallenlijn kan in elk getallengebied worden toegepast. Visualiseren
van de basisbewerkingen ( + - : x) met breuken.
- Verhoudingstabel: breuken vereenvoudigen + bepalen van gelijkwaardige breuken.
Rekenen en redeneren met breuken > breukbegrip:
- Verschillende betekenissen van breuken kunnen onderscheiden (verschijningsvormen)
- Het relatieve karakter van breuken begrijpen (deel van iets)
- Inzicht hebben in de relaties tussen breuken, kommagetallen, verhoudingen en
procenten, en op getalsniveau allerlei getalsrelaties kunnen beredeneren
- Inzicht hebben in de gelijkwaardigheid en gelijknamigheid > een breuk kan op
verschillende manieren worden genoteerd + bij delingen met dezelfde uitkomst gaat het
om dezelfde verhouding. Voorwaardelijk voor het kunnen vereenvoudigen + gelijknamig
maken > goede beheersing van de tafels nodig. Gelijkwaardige breuken: ‘huisgenoten’.
- Breuken kunnen vergelijken en (globaal) kunnen plaatsen op de getallenlijn
Verschil in moeilijkheid bij optellen/aftrekken van breuken: gelijknamig of niet?
Gelijknamig maken, 3 manieren:
- Bemiddelende grootheid (reep, blokjes). Modelondersteunend: strook + aantal koekjes.
- Regelgeleid > vermenigvuldigen van de noemers met elkaar.
- KGV
Vermenigvuldigen en delen bij breuken: de volgorde maakt uit. De betekenis blijft hetzelfde
als de breuk het vermenigvuldigtal of de deler is. Didactiek: delen door een breuk is
vermenigvuldigen met het omgekeerde.
Modelondersteunend en formeel vermenigvuldigen. Modellen: getallenlijn, maatbeker,
rechthoekmodel.
Modelondersteunend en formeel delen. Hoe vaak zit het erin? Glazen, schepjes, stukken,
flessen…, A4-papier (vouwen), getallenlijn, verhoudingsgewijs redeneren.
Samenhang met andere domeinen: basisbewerkingen (vermenigvuldigen en delen + tafels
moeten goed worden beheerst); breuk als meetgetal, meten.
Hoofdstuk 4: Breuken
Breuken kunnen zowel een getal als een verhouding aangeven.
Verschijningsvormen: deel van een geheel (1/5 van een taart); deel van een hoeveelheid (1/3
van de 120 mensen). De breuk geeft een verdeling aan, eerlijk delen, een breuk is dan ook
een deling. Breuk = getal en bewerking in 1.; meetgetal (1/2 meter); maat (halfje brood);
verhouding (twee derde van de speeltuinen in Nederland); rekengetal > punt op de
getallenlijn. Een breuk kan ook meerdere vormen tegelijk zijn.
! Verschil deel van een hoeveelheid en verhouding: bij een verhouding is er geen sprake van
een specifieke bepaalde hoeveelheid (wel zo bij deel van een hoeveelheid), maar dat de
verhouding kan worden toegepast op verschillende hoeveelheden. !
Breuken zijn rationale getallen = het quotiënt (uitkomst van een deling) van twee hele
getallen, waarvan de tweede geen 0 is. Een breuk is dus een verhoudingsgetal: verhouding
tussen twee hele getallen: de teller en de noemer.
Gelijkwaardige/gelijknamige breuken. Vereenvoudigen van de breuk. Ongelijknamige
breuken kunnen gelijknamig worden gemaakt.
GGD: grootste gemene deler. KCV: kleinste gemeenschappelijke veelvoud. Blz 105
Wiskundetaal bij breuken: dagelijks leven (helft, halfje, kwart); formeel (teller, noemer,
breukstreep, gelijkwaardig, gelijknamig, vereenvoudigen)
Verschillende breuktypen kennen verschillende benamingen >
Echte breuken: breuken kleiner dan 1. Stambreuken: echte breuken met als teller 1 (vb 1/4).
Gemengde getallen: breuken groter dan 1. Onechte breuk: niet-vereenvoudigde getallen (vb
30/4). Samengestelde breuk: breuk waarvan de teller en noemer zelf ook een breuk zijn.
Benoemde breuken: achter de breuk wordt met een woord of afkorting aangegeven waar de
breuk een deel van is (liter, pizza, kg). Het concrete ondersteunt het denken en
vergemakkelijkt het rekenen > brug tussen concrete situatie en formeel rekenen.
Leerlijn breuken:
Informele noties en betekenis van breuken
- Informele ervaringen met breuken (vanaf groep 1)
Bijvoorbeeld: helft, half uur, kwart, kwartier…
- Verschijningsvormen van breuken
Contextgebonden en modelondersteunend redeneren en rekenen
- Breuken maken (vanaf groep 6)
- Vergelijken, ordenen en positioneren
Modelondersteunend en formeel redeneren en rekenen
- Rekenen met betekenisverlenende contexten (vanaf groep 7)
- Rekenen met modellen en op formeel niveau
Introductie van breuken > aansluiten bij de informele voorkennis + aandacht voor de
wiskundetaal: verschillende manieren van noteren en uitspreken (een kwart, een vierde en
¼). Belangrijk voor de begripsvorming! Context: eerlijk verdelen > deel van een geheel/deel
van een hoeveelheid. Modellen ontstaan: pannenkoek (cirkelmodel), reep (rechthoekmodel),
dropveter (strook/getallenlijn)
Modellen bij breuken:
, - Cirkelmodel > deel van een geheel; gelijkwaardigheid. Schematiseren. Bij een vraag van
‘hoeveel meer’ is het cirkelmodel onhandig, tenzij de cirkels in de methode staan
afgedrukt.
- Rechthoekmodel/plakmodel: deel van een geheel; deel van hoeveelheid. Een plak
onderverdeeld in stukjes (bijvoorbeeld chocolade of cake). Een rechthoek is makkelijker
te tekenen dan een cirkel, omdat hij makkelijk kan worden uitgebreid/gecorrigeerd.
Eigen oplossingswijzen > aantal stukjes waarin de reep wordt verdeeld (6, 12, 24). Groter
gemeen veelvoud. Voorbereiding op optellen/aftrekken met breuken. De stukjes/blokjes:
bemiddelende grootheid.
- Strookmodel: deel van een geheel visualiseren + meetgetal. Het visualiseert het relatieve
karakter van breuken. Varianten strook: horizontaal, verticaal, leeg, met en zonder
schaalverdeling, met en zonder hele getallen erbij…
- Breekstok: rood/wit, knikken, even grote stukken. Visualiseert gelijkwaardigheid.
- Getallenlijn: breuken kunnen worden gepositioneerd en geordend, net als hele getallen.
Voor het correct positioneren, moeten kinderen keren om teller en noemer in
samenhang te zien. Wordt gebruikt bij het bepalen en oefenen van gelijkwaardige
breuken en relaties met kommagetallen. Soms gebeurt dat ook voor relaties met
procenten, maar daarvoor is de strook geschikter.
! Verschil dubbele getallenlijn en strook: strook als geheel (breuken kleiner dan 1);
gewone/dubbele getallenlijn kan in elk getallengebied worden toegepast. Visualiseren
van de basisbewerkingen ( + - : x) met breuken.
- Verhoudingstabel: breuken vereenvoudigen + bepalen van gelijkwaardige breuken.
Rekenen en redeneren met breuken > breukbegrip:
- Verschillende betekenissen van breuken kunnen onderscheiden (verschijningsvormen)
- Het relatieve karakter van breuken begrijpen (deel van iets)
- Inzicht hebben in de relaties tussen breuken, kommagetallen, verhoudingen en
procenten, en op getalsniveau allerlei getalsrelaties kunnen beredeneren
- Inzicht hebben in de gelijkwaardigheid en gelijknamigheid > een breuk kan op
verschillende manieren worden genoteerd + bij delingen met dezelfde uitkomst gaat het
om dezelfde verhouding. Voorwaardelijk voor het kunnen vereenvoudigen + gelijknamig
maken > goede beheersing van de tafels nodig. Gelijkwaardige breuken: ‘huisgenoten’.
- Breuken kunnen vergelijken en (globaal) kunnen plaatsen op de getallenlijn
Verschil in moeilijkheid bij optellen/aftrekken van breuken: gelijknamig of niet?
Gelijknamig maken, 3 manieren:
- Bemiddelende grootheid (reep, blokjes). Modelondersteunend: strook + aantal koekjes.
- Regelgeleid > vermenigvuldigen van de noemers met elkaar.
- KGV
Vermenigvuldigen en delen bij breuken: de volgorde maakt uit. De betekenis blijft hetzelfde
als de breuk het vermenigvuldigtal of de deler is. Didactiek: delen door een breuk is
vermenigvuldigen met het omgekeerde.
Modelondersteunend en formeel vermenigvuldigen. Modellen: getallenlijn, maatbeker,
rechthoekmodel.
Modelondersteunend en formeel delen. Hoe vaak zit het erin? Glazen, schepjes, stukken,
flessen…, A4-papier (vouwen), getallenlijn, verhoudingsgewijs redeneren.
Samenhang met andere domeinen: basisbewerkingen (vermenigvuldigen en delen + tafels
moeten goed worden beheerst); breuk als meetgetal, meten.
