Core Pure Mathematics
1&2
A-Level Further Mathematics
Pearson Edexcel · Papers 9FM0/01 & 9FM0/02
Complete Combined Revision Notes
Full worked examples · TikZ diagrams · Syllabus-matched · Exam technique
9 Topics Covered
1. Proof by Mathematical Induction
2. Complex Numbers
3. Matrices
4. Further Algebra & Functions
5. Further Calculus
6. Further Vectors
7. Polar Coordinates
8. Hyperbolic Functions
9. Differential Equations
,Core Pure Mathematics 1 & 2 Edexcel Further Maths · 9FM0/01 & 02
0 1 Contents
1 Proof by Mathematical Induction 3
1.1 Structure of an Induction Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Type 1 — Summation of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Type 2 — Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Type 3 — Matrix Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Complex Numbers 5
2.1 Core Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Multiplication and Division in Modulus-Argument Form . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 De Moivre’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Using z + z −1 and z − z −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 nth Roots of a Complex Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Loci in the Argand Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Matrices 8
3.1 Key Operations and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 2D Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Invariant Points and Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Determinant as Scale Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Solving Simultaneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Further Algebra & Functions 10
4.1 Roots and Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Forming New Equations from Root Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Summation Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Method of Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Maclaurin Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Further Calculus 13
5.1 Volumes of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3 Mean Value of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 Integration by Partial Fractions (Quadratic Denominators) . . . . . . . . . . . . . . 13
5.5 Inverse Trigonometric Derivatives and Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Further Vectors 15
6.1 Lines in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.3 Scalar Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.4 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.5 Intersection of Line and Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7 Polar Coordinates 17
7.1 Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2 Common Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3 Area Enclosed by a Polar Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.4 Tangents Parallel/Perpendicular to Initial Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 Hyperbolic Functions 19
8.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.2 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.3 Derivatives and Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1
, Core Pure Mathematics 1 & 2 Edexcel Further Maths · 9FM0/01 & 02
8.4 Inverse Hyperbolic Functions (Logarithmic Forms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.5 Integrals Involving Inverse Hyperbolics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9 Differential Equations 21
9.1 First Order: Integrating Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.2 Second Order: Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.3 Simple Harmonic Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.4 Damped Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.5 Coupled First-Order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Exam Technique Cheatsheet 23
2
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A-Level Further Mathematics
Pearson Edexcel · Papers 9FM0/01 & 9FM0/02
Complete Combined Revision Notes
Full worked examples · TikZ diagrams · Syllabus-matched · Exam technique
9 Topics Covered
1. Proof by Mathematical Induction
2. Complex Numbers
3. Matrices
4. Further Algebra & Functions
5. Further Calculus
6. Further Vectors
7. Polar Coordinates
8. Hyperbolic Functions
9. Differential Equations
,Core Pure Mathematics 1 & 2 Edexcel Further Maths · 9FM0/01 & 02
0 1 Contents
1 Proof by Mathematical Induction 3
1.1 Structure of an Induction Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Type 1 — Summation of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Type 2 — Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Type 3 — Matrix Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Complex Numbers 5
2.1 Core Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Multiplication and Division in Modulus-Argument Form . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 De Moivre’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Using z + z −1 and z − z −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 nth Roots of a Complex Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Loci in the Argand Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Matrices 8
3.1 Key Operations and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 2D Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Invariant Points and Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Determinant as Scale Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Solving Simultaneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Further Algebra & Functions 10
4.1 Roots and Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Forming New Equations from Root Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Summation Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Method of Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Maclaurin Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Further Calculus 13
5.1 Volumes of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3 Mean Value of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.4 Integration by Partial Fractions (Quadratic Denominators) . . . . . . . . . . . . . . 13
5.5 Inverse Trigonometric Derivatives and Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Further Vectors 15
6.1 Lines in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.3 Scalar Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.4 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.5 Intersection of Line and Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7 Polar Coordinates 17
7.1 Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2 Common Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3 Area Enclosed by a Polar Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.4 Tangents Parallel/Perpendicular to Initial Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8 Hyperbolic Functions 19
8.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.2 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.3 Derivatives and Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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, Core Pure Mathematics 1 & 2 Edexcel Further Maths · 9FM0/01 & 02
8.4 Inverse Hyperbolic Functions (Logarithmic Forms) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.5 Integrals Involving Inverse Hyperbolics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9 Differential Equations 21
9.1 First Order: Integrating Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.2 Second Order: Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.3 Simple Harmonic Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.4 Damped Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.5 Coupled First-Order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Exam Technique Cheatsheet 23
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