Lineaire algebra
Samenvatting Deelntentamen 1
2020-2021
Week 1 (vectoren, lijnen, vlakken)
Dot-product (inproduct):
u1 v1
• u2 · v2 = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
u3 v3
• Vectoren u en v staan loodrecht op elkaar (are orthogonal ) als u· v = 0
• Acute angle (scherpe hoek) tussen u en v als u· v > 0
• Obtuse angle (stompe hoek) tussen u en v als u· v < 0
p
De lengte of norm van een vector v is kvk = v12 + v22 + ... + vn2 .
Cauchy-Schwarz inequality: |u· v| ≤ kukkvk
Triangle inequality: ku + vk ≤ kuk + kvk
Afstand d tussen vectoren u en v: d(u, v) = ku + vk.
u·v
Hoek tussen (niet nul) vectoren u en v: cos φ = kukkvk
u·v
Als u en v vectoren zijn en u 6= 0, dan is de projectie van v op u: proju (v) = ( u·u )u
Lijnen in R2 :
• n is de normaalvector, p een steunvector/plaatsvector (specifiek punt op de lijn) en d is richt-
ingsvector.
• Normal form:
n· x= n· p of
n·x = d
1 x 3
Voorbeeld: · =
−2 y 4
• General form: ax + by = c
x p1 d
• Vector form: = +t 1
y p2 d2
(
x = p1 + td1
• Parametric form:
y = p2 + td2
1
, Lijnen in R3 :
(
n1 · x = n1 · p1
• Normal form:
n2 · x = n2 · p2
(
a1 x + b1 y + c1 z = d1
• General form:
a2 x + b2 y + c2 z = d2
x p1 d1
• Vector form: y = p2 + td2
z p3 d3
x = p1 + td1
• Parametric form: y = p2 + td2
z = p3 + td3
Vlakken in R3 :
• Normal form: n· x = n· p of n· x = d
• General form: ax + by + cz = d
x p1 u1 v1
• Vector form: y = p2
+ r 2 + s v2
u
z p3 u3 v3
x = p1 + ru1 + tv1
• Parametric form: y = p2 + ru2 + tv2
z = p3 + su3 + tv3
Twee vectoren lopen parallel aan elkaar als de hoek tussen deze vectoren gelijk is aan nul (dus
cos φ = 1).
Vectoren die parallel aan elkaar lopen hebben ook dezelfde normaalvector.
Afstanden bepalen:
Afstand van punt B naar lijn l is: d(B, l) = kv − projd (v)k:
· v is lijn AB waarbij A een willekeurig punt op de lijn l is (dus v = b − a).
· d is de richtingsvector van lijn l
Afstand van punt B naar lijn l waarbij de normaalvergelijking van l eruit ziet als: ax + by - c = 0 kan
ook worden berekend met: d(B, l) = |ax+by+c|
√
a2 +b2
3
−2 −3
k − 32 k kan worden vereenvoudigd als: 21 −3
1 2
Afstand d van punt B naar vlak P: d(B, P ) = kprojn (v)k
· v is lijn AB en A is een willekeurig punt op vlak P.
· n is de normaalvector van vlak P.
2
Samenvatting Deelntentamen 1
2020-2021
Week 1 (vectoren, lijnen, vlakken)
Dot-product (inproduct):
u1 v1
• u2 · v2 = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
u3 v3
• Vectoren u en v staan loodrecht op elkaar (are orthogonal ) als u· v = 0
• Acute angle (scherpe hoek) tussen u en v als u· v > 0
• Obtuse angle (stompe hoek) tussen u en v als u· v < 0
p
De lengte of norm van een vector v is kvk = v12 + v22 + ... + vn2 .
Cauchy-Schwarz inequality: |u· v| ≤ kukkvk
Triangle inequality: ku + vk ≤ kuk + kvk
Afstand d tussen vectoren u en v: d(u, v) = ku + vk.
u·v
Hoek tussen (niet nul) vectoren u en v: cos φ = kukkvk
u·v
Als u en v vectoren zijn en u 6= 0, dan is de projectie van v op u: proju (v) = ( u·u )u
Lijnen in R2 :
• n is de normaalvector, p een steunvector/plaatsvector (specifiek punt op de lijn) en d is richt-
ingsvector.
• Normal form:
n· x= n· p of
n·x = d
1 x 3
Voorbeeld: · =
−2 y 4
• General form: ax + by = c
x p1 d
• Vector form: = +t 1
y p2 d2
(
x = p1 + td1
• Parametric form:
y = p2 + td2
1
, Lijnen in R3 :
(
n1 · x = n1 · p1
• Normal form:
n2 · x = n2 · p2
(
a1 x + b1 y + c1 z = d1
• General form:
a2 x + b2 y + c2 z = d2
x p1 d1
• Vector form: y = p2 + td2
z p3 d3
x = p1 + td1
• Parametric form: y = p2 + td2
z = p3 + td3
Vlakken in R3 :
• Normal form: n· x = n· p of n· x = d
• General form: ax + by + cz = d
x p1 u1 v1
• Vector form: y = p2
+ r 2 + s v2
u
z p3 u3 v3
x = p1 + ru1 + tv1
• Parametric form: y = p2 + ru2 + tv2
z = p3 + su3 + tv3
Twee vectoren lopen parallel aan elkaar als de hoek tussen deze vectoren gelijk is aan nul (dus
cos φ = 1).
Vectoren die parallel aan elkaar lopen hebben ook dezelfde normaalvector.
Afstanden bepalen:
Afstand van punt B naar lijn l is: d(B, l) = kv − projd (v)k:
· v is lijn AB waarbij A een willekeurig punt op de lijn l is (dus v = b − a).
· d is de richtingsvector van lijn l
Afstand van punt B naar lijn l waarbij de normaalvergelijking van l eruit ziet als: ax + by - c = 0 kan
ook worden berekend met: d(B, l) = |ax+by+c|
√
a2 +b2
3
−2 −3
k − 32 k kan worden vereenvoudigd als: 21 −3
1 2
Afstand d van punt B naar vlak P: d(B, P ) = kprojn (v)k
· v is lijn AB en A is een willekeurig punt op vlak P.
· n is de normaalvector van vlak P.
2
