Onderzoekspracticum experimenteel onderzoek
We beginnen eerst met het opfrissen van bepaalde statistiek dingen, daarna start de
tentamenstof
Type 1-fouten: ontstaat wanneer de nulhypothese ten onrechte wordt verworpen.
Dit betekent dat we concluderen dat er een verband bestaat in de populatie, terwijl dat in
werkelijkheid niet zo is. De kans op een type 1-fout wordt bepaald door de gekozen alfa
(α). Bijvoorbeeld, bij α = 0,25 zal in 25% van de steekproeven uit een populatie zonder
echt verband een fout worden gemaakt. In de praktijk wordt in de psychologie meestal α
= 0,05 gebruikt. Dit betekent dat in 5% van de gevallen de nulhypothese onterecht wordt
verworpen.
Stel dat we in een steekproef van 50 deelnemers een correlatie van r = 0,30 vinden. Om
te beoordelen of dit resultaat significant is, vergelijken we deze steekproefcorrelatie met
de steekproevenverdeling onder de nulhypothese (r = 0). De p-waarde geeft aan hoe
waarschijnlijk het is dat zo’n correlatie voorkomt, gegeven dat de nulhypothese klopt. Bij
α = 0,05 wordt de nulhypothese verworpen als de correlatie in de laagste of hoogste
2,5% van de verdeling valt. Onze steekproefcorrelatie van 0,30 valt in dit kritieke gebied,
waardoor we de nulhypothese verwerpen en concluderen dat er waarschijnlijk een
verband in de populatie bestaat. Als we de alfa verlagen, bijvoorbeeld naar 0,01, wordt
de kans op een type 1-fout kleiner, maar wordt de steekproefcorrelatie van 0,30 niet
meer significant. In dat geval wordt de nulhypothese niet verworpen en kan er geen type
1-fout gemaakt worden.
Type 2-fouten: ontstaat wanneer de nulhypothese onterecht wordt aangehouden.
Dit gebeurt bijvoorbeeld als we een strenge alfa hanteren (zoals 0,01) waardoor een
werkelijk bestaand verband niet significant wordt verklaard. De kans op een type 2-fout
kan worden verkleind door de steekproefomvang te vergroten. Bijvoorbeeld, bij n =
500 wordt de steekproevenverdeling smaller, waardoor zelfs bij een lagere alfa de kans
om een werkelijk bestaand verband te detecteren groter wordt. De power van een toets
is de kans om een bestaand verband te vinden. Bij een populatiecorrelatie van r = 0,40
en een steekproef van 50 deelnemers is de power 83,54%, en de kans op een type 2-fout
16,46%. Bij een kleinere werkelijke correlatie, bijvoorbeeld r = 0,20, en n = 50, is de kans
op een type 2-fout veel groter: 71,2%. Door de steekproef te vergroten naar 500
deelnemers daalt deze kans naar 18,79%, en stijgt de power naar 81,21%.
Kortom, een lager α verkleint de kans op een type 1-fout, maar vergroot de kans op een
type 2-fout. Een grotere steekproefomvang kan beide risico’s beperken en de
betrouwbaarheid van conclusies verhogen.
Samenvatting Nulhypothese-significantietoetsing
Nulhypothese-significantietoetsing (NHST) is een procedure die bestaat uit de volgende
stappen:
1. Stel alpha vast (bijvoorbeeld op .05).
2. Neem een steekproef van een gegeven omvang (n), meet de betreffende variabelen
en bereken een maat van samenhang, zoals bijvoorbeeld de correlatie.
3. Construeer op basis van de nulhypothese (“in de populatie geldt: r=0”) en de
steekproefomvang (n) de steekproevenverdeling van Pearson’s r volgens die
nulhypothese.
4. Bereken de p-waarde, oftewel de proportie van de steekproevenverdeling die
correlaties betreft die even extreem of extremer zijn dan de correlatie die in de
steekproef in stap 1 is gevonden.
5. Vergelijk deze p-waarde met de gekozen waarde van alpha, oftewel het
significantieniveau.
o Als de gevonden p-waarde lager is dan alpha, verwerp dan de nulhypothese. Dit
betekent dat er wordt geconcludeerd dat de twee variabelen samenhangen.
o Als de gevonden p-waarde hoger is dan alpha, behoud dan de nulhypothese. Dit
betekent dat er wordt geconcludeerd dat de twee variabelen niet samenhangen.
p > of = .05 p < .05
Geen verband in terecht concluderen geen verband in type 1-fout: ten onrechte
, populatie populatie concluderen verband in
populatie
Wel verband in type 2-fout: ten onrechte concluderen terecht concluderen verband in
populatie geen verband in populatie populatie
Hoofdstuk 12
De modus is de meest voorkomende waarde in de datareeks. Voorbeeld: van de
vriendengroep Monica (35), Rachel (35), Phoebe (37), Ross (37), Joey (35) en Chandler
(36) is de modus 35. Deze komt drie keer voor. Deze waarde ligt dichtbij het gemiddelde
van de vriendengroep zonder outliers, 35,8.
De modus is echter minder gevoelig voor outliers dan het gemiddelde. Als Rachel haar
dochtertje Emma (1) meeneemt, blijft de modus nog steeds 35. Dit beschrijft de groep
over het algemeen beter dan het nieuwe gemiddelde, 30,9. De modus is vooral
informatief bij een beperkt aantal mogelijke waarden of bij een grote hoeveelheid
datapunten.
De mediaan is het middelste datapunt in de datareeks. Om die te vinden worden eerst
alle datapunten van laag naar hoog op een rijtje gezet. 35 35 35 36 37 37. Vervolgens
wordt het middelste datapunt bepaald, dat wil zeggen het datapunt waar dezelfde
hoeveelheid datapunten rechts (hoger) en links (lager) van liggen. In dit voorbeeld is er
een even aantal datapunten. In dat geval wordt het gemiddelde van de middelste twee
datapunten genomen.
(35+36)/2=35,5
De mediaan ligt in dit geval, net als de modus, dichtbij de gemiddelde leeftijd van de
vriendengroep zonder outliers, 35,8. Ook de mediaan is minder gevoelig voor outliers dan
het gemiddelde. Als Rachel haar dochtertje Emma meeneemt, ziet de geordende
datareeks er als volgt uit: 1 35 35 35 36 37 37
Het middelste datapunt, de mediaan, is in dit geval 35. Dit beschrijft de groep beter dan
het nieuwe gemiddelde, 30,9.
12.3 Spreidingsmaten
De drie centrummaten (het gemiddelde, de modus, en de mediaan) kunnen worden
gebruikt om data samen te vatten, maar ze geven nog niet voldoende informatie over de
data. Laten we dit illustreren met een voorbeeld.
Stel je hebt twee groepen, een familie en een vriendengroep. De familie bestaat uit de
kinderen Lily (1), Luke (7), Manny (7), Alex (9) en Hailey (13), de ouders Claire (37) en Phil
(37), en Mitchell (35) en Cameron (38), de opa Jay (63) en zijn vrouw Gloria (39). De
gemiddelde leeftijd van deze familie is 26.
De vriendengroep bestaat uit Robin (25), Lily (26), Ted (27), Barney (27), Marshal (28),
Sheldon (28), Leonard (27), Howard (26), Rajesh (27), Penny (24), Bernadette (25) en
Amy (26). De gemiddelde leeftijd van deze groep is 26,3.
De gemiddelden van deze twee groepen liggen heel dicht bij elkaar, maar als je de
samenstelling bekijkt wordt duidelijk dat er een cruciaal verschil zit tussen de groepen.
De leeftijden van de familie liggen ver uit elkaar (de jongste is 1 en de oudste 63) terwijl
de leeftijden van de vriendengroep heel dicht bij elkaar liggen (de jongste is 24 en de
oudste 28). In andere woorden, de spreiding van de datapunten verschilt substantieel.
Om een goed beeld van een datareeks te geven is het daarom noodzakelijk om naast een
centrummaat ook de spreiding van de datapunten te rapporteren.
Range (bereik): dit is eenvoudigste spreidingsmaat is van een variabele: het verschil
tussen het maximum en het minimum. In bovenstaand voorbeeld van de familie is het
bereik van de leeftijd 63−1=62
In de vriendengroep is het bereik 28−24=4. Maar de range is zeer gevoelig is voor
outliers en volstaat daarom vaak niet om een goed beeld van de spreiding van de
datapunten te geven.
Interkwartielafstand (IQR): dit is voor spreidingsmaten wat de mediaan is voor
centrummaten. Om de IQR te berekenen, worden de data weer geordend van laag naar
hoog en vervolgens opgesplitst in vier kwartielen. Eerste kwartiel (25 e percentiel): bij
,welke waarde 25% van de datapunten links liggen en 75% van de datapunten rechts.
Tweede kwartiel (50ste percentiel): bij welke waarde links en rechts 50 van de datapunten
liggen. Derde kwartiel (75ste percentiel ): bij welke waarde 75% van de datapunten links
en 25% van de datapunten rechts liggen. Om de IQR uit het voorbeeld te berekenen
worden de datapunten eerst weer gesorteerd van laag naar hoog.
De datareeks wordt vervolgens opgedeeld in vier even grote delen met in totaal drie
‘breekpunten’, zoals weergeven in onderstaande figuur. Deze drie ‘breekpunten’ heten,
van links naar rechts, het eerste kwartiel (ook wel Q1 genoemd), het tweede kwartiel (Q2,
dit is gelijk aan de mediaan), en het derde kwartiel (Q3). De afstand tussen het eerste en
het derde kwartiel heet de interkwartielafstand (IQR).
De interkwartielafstanden voor ons voorbeeld zijn als volgt.
Variatie, sum of squares (SS): Variatie meet hoe ver de data verspreid zijn rondom het
gemiddelde. Een manier om dit te kwantificeren is door de sum of squares (SS) te
berekenen, oftewel de som van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde.
- Afwijking van het gemiddelde: Voor elk datapunt bepaal je eerst hoeveel het
afwijkt van het gemiddelde. Bijvoorbeeld bij de leeftijden van een familie: het
gemiddelde is 26 jaar, en een leeftijd van 1 jaar wijkt dus −25 jaar af van dit
gemiddelde.
- Kwadrateren van de afwijkingen: Negatieve en positieve afwijkingen zouden
elkaar optellen tot nul als je ze zomaar optelt. Daarom kwadrateer je de afwijkingen.
Hierdoor worden alle waarden positief en tellen ze allemaal mee bij het meten van
variatie.
- Som van de kwadraten: Tel alle gekwadrateerde afwijkingen bij elkaar op. Dit geeft
de sum of squares (SS). In het voorbeeld van de leeftijden:
625+361+361+289+169+121+121+81+144+ 1369+169=3810 Deze 3810 is de totale
variatie van de leeftijden rondom het gemiddelde.
- Formule: De sum of squares kan in formulevorm geschreven worden als:
n
SS=∑ ¿ ¿
i=1
Hier is x ielk datapunt en x́ het gemiddelde van alle datapunten.
Het nadeel van de variatie is dat deze steeds groter wordt naarmate er datapunten
bijkomen. Het betreft namelijk een som, waarbij steeds meer waarden bij elkaar opgeteld
worden. Dat is onhandig, want de spreiding wordt niet noodzakelijk ook meer. Er kunnen
namelijk datapunten bijkomen die heel dicht bij het gemiddelde liggen en toch wordt de
variatie dan groter.
SS is dus afhankelijk van het aantal datapunten. Hoe meer datapunten, hoe groter
SS, zelfs als de spreiding per datapunt hetzelfde blijft. Om dit probleem te verhelpen,
gebruiken we mean squares (MS), oftewel de variantie, die rekening houdt met het
aantal datapunten.
Variantie, mean squares (MS): houdt rekening met het aantal datapunten en is
daarom informatiever dan de Sum of Squares. Voor de mean squares bereken je het
gemiddelde van de kwadraten, dat wil zeggen de som gedeeld door het aantal
observaties.
, Hier is n het aantal observaties. Het delen door n−1 in plaats van n wordt gedaan om een
onpartijdige schatting van de populatievariantie te krijgen. Dit heet de Bessel-correctie.
Deze variantie is een handige maat voor spreiding, alhoewel deze niet op dezelfde schaal
is als de datapunten in onze datareeks; alle waarden zijn namelijk eerst gekwadrateerd.
Vrijheidsgraden, degrees of freedom (df): De noemer van deze formule, n−1,
noemen we het aantal vrijheidsgraden van deze datareeks. Vrijheidsgraden drukken uit
hoeveel datapunten in een datareeks vrij kunnen variëren zonder dat de berekende
statistiek verandert. Voor het gemiddelde van een datareeks zijn het aantal
vrijheidsgraden n-1. Dat wil zeggen dat je in een datareeks alle datapunten behalve één
willekeurige kunt veranderen. Dit ene datapunt moet een bepaalde waarde hebben om
hetzelfde gemiddelde te behouden. Statistici zijn meestal niet geïnteresseerd in de
individuele datapunten in een datareeks. Deze variëren sowieso door steekproeffout en
meetfout. Het aantal vrijheidsgraden geeft aan hoeveel van deze datapunten er vrij
kunnen veranderen zonder de essentie van de datareeks aan te tasten. Het aantal
vrijheidsgraden verandert afhankelijk van hoeveel parameters de datareeks beschrijven.
Hoe meer parameters je berekent, hoe minder waarden je willekeurig kunt aanpassen.
Ingewikkelde statistische berekeningen vereisen daarom meer observaties.
Standaarddeviatie (SD), standaardawijking: dit is meest gebruikte spreidingsmaat,
de standaardafwijking is de wortel van de variantie (mean squares) en geeft de
gemiddelde afwijking van het gemiddelde weer. Door de wortel te trekken van de mean
squares is de standaarddeviatie op dezelfde schaal als het gemiddelde en daardoor
makkelijker te interpreteren. De formule is gelijk aan de formule voor de variantie,
behalve dat er de wortel wordt getrokken.
12.4 Beschrijvingsmaten voor categorische variabelen
Bij categorische variabelen kunnen centrum- en spreidingsmaten niet op dezelfde manier
worden gebruikt als bij continue variabelen. De modus kan worden bepaald voor zowel
nominale als ordinale variabelen. De mediaan is alleen zinvol bij ordinale variabelen.
Modus en mediaan geven echter beperkt inzicht in de verdeling van de data, waardoor
frequentietabellen vaak nuttiger zijn.
Frequentieverdelingen
Een frequentietabel geeft voor elke categorie aan hoe vaak deze voorkomt. Dit kan
worden weergegeven als absolute frequenties, het daadwerkelijke aantal datapunten
per categorie. Daarnaast kunnen de gegevens worden uitgedrukt in relatieve
frequenties, ofwel percentages van het totaal aantal datapunten. Relatieve frequenties
laten zien welk aandeel van de steekproef in een bepaalde categorie valt, maar geven
geen informatie over het absolute aantal datapunten.
Een frequentietabel kan ook een cumulatief percentage bevatten. Dit percentage
wordt berekend door de percentages van een categorie en alle lagere of hogere
categorieën bij elkaar op te tellen. Cumulatieve percentages zijn handig om snel te zien
welk totaal aandeel van de observaties onder of boven een bepaalde categorie valt.
Voor een continue variabele is het overigens doorgaans niet praktisch om een
frequentietabel op te vragen. Meestal hebben continue variabelen dermate veel
verschillende meetwaarden dat het een hele lange lijst frequenties zou worden en dat
elke meetwaarde bovendien bijna niet voorkomt.
Hoofdstuk 13 Verdelingsvormen en -maten
We beginnen eerst met het opfrissen van bepaalde statistiek dingen, daarna start de
tentamenstof
Type 1-fouten: ontstaat wanneer de nulhypothese ten onrechte wordt verworpen.
Dit betekent dat we concluderen dat er een verband bestaat in de populatie, terwijl dat in
werkelijkheid niet zo is. De kans op een type 1-fout wordt bepaald door de gekozen alfa
(α). Bijvoorbeeld, bij α = 0,25 zal in 25% van de steekproeven uit een populatie zonder
echt verband een fout worden gemaakt. In de praktijk wordt in de psychologie meestal α
= 0,05 gebruikt. Dit betekent dat in 5% van de gevallen de nulhypothese onterecht wordt
verworpen.
Stel dat we in een steekproef van 50 deelnemers een correlatie van r = 0,30 vinden. Om
te beoordelen of dit resultaat significant is, vergelijken we deze steekproefcorrelatie met
de steekproevenverdeling onder de nulhypothese (r = 0). De p-waarde geeft aan hoe
waarschijnlijk het is dat zo’n correlatie voorkomt, gegeven dat de nulhypothese klopt. Bij
α = 0,05 wordt de nulhypothese verworpen als de correlatie in de laagste of hoogste
2,5% van de verdeling valt. Onze steekproefcorrelatie van 0,30 valt in dit kritieke gebied,
waardoor we de nulhypothese verwerpen en concluderen dat er waarschijnlijk een
verband in de populatie bestaat. Als we de alfa verlagen, bijvoorbeeld naar 0,01, wordt
de kans op een type 1-fout kleiner, maar wordt de steekproefcorrelatie van 0,30 niet
meer significant. In dat geval wordt de nulhypothese niet verworpen en kan er geen type
1-fout gemaakt worden.
Type 2-fouten: ontstaat wanneer de nulhypothese onterecht wordt aangehouden.
Dit gebeurt bijvoorbeeld als we een strenge alfa hanteren (zoals 0,01) waardoor een
werkelijk bestaand verband niet significant wordt verklaard. De kans op een type 2-fout
kan worden verkleind door de steekproefomvang te vergroten. Bijvoorbeeld, bij n =
500 wordt de steekproevenverdeling smaller, waardoor zelfs bij een lagere alfa de kans
om een werkelijk bestaand verband te detecteren groter wordt. De power van een toets
is de kans om een bestaand verband te vinden. Bij een populatiecorrelatie van r = 0,40
en een steekproef van 50 deelnemers is de power 83,54%, en de kans op een type 2-fout
16,46%. Bij een kleinere werkelijke correlatie, bijvoorbeeld r = 0,20, en n = 50, is de kans
op een type 2-fout veel groter: 71,2%. Door de steekproef te vergroten naar 500
deelnemers daalt deze kans naar 18,79%, en stijgt de power naar 81,21%.
Kortom, een lager α verkleint de kans op een type 1-fout, maar vergroot de kans op een
type 2-fout. Een grotere steekproefomvang kan beide risico’s beperken en de
betrouwbaarheid van conclusies verhogen.
Samenvatting Nulhypothese-significantietoetsing
Nulhypothese-significantietoetsing (NHST) is een procedure die bestaat uit de volgende
stappen:
1. Stel alpha vast (bijvoorbeeld op .05).
2. Neem een steekproef van een gegeven omvang (n), meet de betreffende variabelen
en bereken een maat van samenhang, zoals bijvoorbeeld de correlatie.
3. Construeer op basis van de nulhypothese (“in de populatie geldt: r=0”) en de
steekproefomvang (n) de steekproevenverdeling van Pearson’s r volgens die
nulhypothese.
4. Bereken de p-waarde, oftewel de proportie van de steekproevenverdeling die
correlaties betreft die even extreem of extremer zijn dan de correlatie die in de
steekproef in stap 1 is gevonden.
5. Vergelijk deze p-waarde met de gekozen waarde van alpha, oftewel het
significantieniveau.
o Als de gevonden p-waarde lager is dan alpha, verwerp dan de nulhypothese. Dit
betekent dat er wordt geconcludeerd dat de twee variabelen samenhangen.
o Als de gevonden p-waarde hoger is dan alpha, behoud dan de nulhypothese. Dit
betekent dat er wordt geconcludeerd dat de twee variabelen niet samenhangen.
p > of = .05 p < .05
Geen verband in terecht concluderen geen verband in type 1-fout: ten onrechte
, populatie populatie concluderen verband in
populatie
Wel verband in type 2-fout: ten onrechte concluderen terecht concluderen verband in
populatie geen verband in populatie populatie
Hoofdstuk 12
De modus is de meest voorkomende waarde in de datareeks. Voorbeeld: van de
vriendengroep Monica (35), Rachel (35), Phoebe (37), Ross (37), Joey (35) en Chandler
(36) is de modus 35. Deze komt drie keer voor. Deze waarde ligt dichtbij het gemiddelde
van de vriendengroep zonder outliers, 35,8.
De modus is echter minder gevoelig voor outliers dan het gemiddelde. Als Rachel haar
dochtertje Emma (1) meeneemt, blijft de modus nog steeds 35. Dit beschrijft de groep
over het algemeen beter dan het nieuwe gemiddelde, 30,9. De modus is vooral
informatief bij een beperkt aantal mogelijke waarden of bij een grote hoeveelheid
datapunten.
De mediaan is het middelste datapunt in de datareeks. Om die te vinden worden eerst
alle datapunten van laag naar hoog op een rijtje gezet. 35 35 35 36 37 37. Vervolgens
wordt het middelste datapunt bepaald, dat wil zeggen het datapunt waar dezelfde
hoeveelheid datapunten rechts (hoger) en links (lager) van liggen. In dit voorbeeld is er
een even aantal datapunten. In dat geval wordt het gemiddelde van de middelste twee
datapunten genomen.
(35+36)/2=35,5
De mediaan ligt in dit geval, net als de modus, dichtbij de gemiddelde leeftijd van de
vriendengroep zonder outliers, 35,8. Ook de mediaan is minder gevoelig voor outliers dan
het gemiddelde. Als Rachel haar dochtertje Emma meeneemt, ziet de geordende
datareeks er als volgt uit: 1 35 35 35 36 37 37
Het middelste datapunt, de mediaan, is in dit geval 35. Dit beschrijft de groep beter dan
het nieuwe gemiddelde, 30,9.
12.3 Spreidingsmaten
De drie centrummaten (het gemiddelde, de modus, en de mediaan) kunnen worden
gebruikt om data samen te vatten, maar ze geven nog niet voldoende informatie over de
data. Laten we dit illustreren met een voorbeeld.
Stel je hebt twee groepen, een familie en een vriendengroep. De familie bestaat uit de
kinderen Lily (1), Luke (7), Manny (7), Alex (9) en Hailey (13), de ouders Claire (37) en Phil
(37), en Mitchell (35) en Cameron (38), de opa Jay (63) en zijn vrouw Gloria (39). De
gemiddelde leeftijd van deze familie is 26.
De vriendengroep bestaat uit Robin (25), Lily (26), Ted (27), Barney (27), Marshal (28),
Sheldon (28), Leonard (27), Howard (26), Rajesh (27), Penny (24), Bernadette (25) en
Amy (26). De gemiddelde leeftijd van deze groep is 26,3.
De gemiddelden van deze twee groepen liggen heel dicht bij elkaar, maar als je de
samenstelling bekijkt wordt duidelijk dat er een cruciaal verschil zit tussen de groepen.
De leeftijden van de familie liggen ver uit elkaar (de jongste is 1 en de oudste 63) terwijl
de leeftijden van de vriendengroep heel dicht bij elkaar liggen (de jongste is 24 en de
oudste 28). In andere woorden, de spreiding van de datapunten verschilt substantieel.
Om een goed beeld van een datareeks te geven is het daarom noodzakelijk om naast een
centrummaat ook de spreiding van de datapunten te rapporteren.
Range (bereik): dit is eenvoudigste spreidingsmaat is van een variabele: het verschil
tussen het maximum en het minimum. In bovenstaand voorbeeld van de familie is het
bereik van de leeftijd 63−1=62
In de vriendengroep is het bereik 28−24=4. Maar de range is zeer gevoelig is voor
outliers en volstaat daarom vaak niet om een goed beeld van de spreiding van de
datapunten te geven.
Interkwartielafstand (IQR): dit is voor spreidingsmaten wat de mediaan is voor
centrummaten. Om de IQR te berekenen, worden de data weer geordend van laag naar
hoog en vervolgens opgesplitst in vier kwartielen. Eerste kwartiel (25 e percentiel): bij
,welke waarde 25% van de datapunten links liggen en 75% van de datapunten rechts.
Tweede kwartiel (50ste percentiel): bij welke waarde links en rechts 50 van de datapunten
liggen. Derde kwartiel (75ste percentiel ): bij welke waarde 75% van de datapunten links
en 25% van de datapunten rechts liggen. Om de IQR uit het voorbeeld te berekenen
worden de datapunten eerst weer gesorteerd van laag naar hoog.
De datareeks wordt vervolgens opgedeeld in vier even grote delen met in totaal drie
‘breekpunten’, zoals weergeven in onderstaande figuur. Deze drie ‘breekpunten’ heten,
van links naar rechts, het eerste kwartiel (ook wel Q1 genoemd), het tweede kwartiel (Q2,
dit is gelijk aan de mediaan), en het derde kwartiel (Q3). De afstand tussen het eerste en
het derde kwartiel heet de interkwartielafstand (IQR).
De interkwartielafstanden voor ons voorbeeld zijn als volgt.
Variatie, sum of squares (SS): Variatie meet hoe ver de data verspreid zijn rondom het
gemiddelde. Een manier om dit te kwantificeren is door de sum of squares (SS) te
berekenen, oftewel de som van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde.
- Afwijking van het gemiddelde: Voor elk datapunt bepaal je eerst hoeveel het
afwijkt van het gemiddelde. Bijvoorbeeld bij de leeftijden van een familie: het
gemiddelde is 26 jaar, en een leeftijd van 1 jaar wijkt dus −25 jaar af van dit
gemiddelde.
- Kwadrateren van de afwijkingen: Negatieve en positieve afwijkingen zouden
elkaar optellen tot nul als je ze zomaar optelt. Daarom kwadrateer je de afwijkingen.
Hierdoor worden alle waarden positief en tellen ze allemaal mee bij het meten van
variatie.
- Som van de kwadraten: Tel alle gekwadrateerde afwijkingen bij elkaar op. Dit geeft
de sum of squares (SS). In het voorbeeld van de leeftijden:
625+361+361+289+169+121+121+81+144+ 1369+169=3810 Deze 3810 is de totale
variatie van de leeftijden rondom het gemiddelde.
- Formule: De sum of squares kan in formulevorm geschreven worden als:
n
SS=∑ ¿ ¿
i=1
Hier is x ielk datapunt en x́ het gemiddelde van alle datapunten.
Het nadeel van de variatie is dat deze steeds groter wordt naarmate er datapunten
bijkomen. Het betreft namelijk een som, waarbij steeds meer waarden bij elkaar opgeteld
worden. Dat is onhandig, want de spreiding wordt niet noodzakelijk ook meer. Er kunnen
namelijk datapunten bijkomen die heel dicht bij het gemiddelde liggen en toch wordt de
variatie dan groter.
SS is dus afhankelijk van het aantal datapunten. Hoe meer datapunten, hoe groter
SS, zelfs als de spreiding per datapunt hetzelfde blijft. Om dit probleem te verhelpen,
gebruiken we mean squares (MS), oftewel de variantie, die rekening houdt met het
aantal datapunten.
Variantie, mean squares (MS): houdt rekening met het aantal datapunten en is
daarom informatiever dan de Sum of Squares. Voor de mean squares bereken je het
gemiddelde van de kwadraten, dat wil zeggen de som gedeeld door het aantal
observaties.
, Hier is n het aantal observaties. Het delen door n−1 in plaats van n wordt gedaan om een
onpartijdige schatting van de populatievariantie te krijgen. Dit heet de Bessel-correctie.
Deze variantie is een handige maat voor spreiding, alhoewel deze niet op dezelfde schaal
is als de datapunten in onze datareeks; alle waarden zijn namelijk eerst gekwadrateerd.
Vrijheidsgraden, degrees of freedom (df): De noemer van deze formule, n−1,
noemen we het aantal vrijheidsgraden van deze datareeks. Vrijheidsgraden drukken uit
hoeveel datapunten in een datareeks vrij kunnen variëren zonder dat de berekende
statistiek verandert. Voor het gemiddelde van een datareeks zijn het aantal
vrijheidsgraden n-1. Dat wil zeggen dat je in een datareeks alle datapunten behalve één
willekeurige kunt veranderen. Dit ene datapunt moet een bepaalde waarde hebben om
hetzelfde gemiddelde te behouden. Statistici zijn meestal niet geïnteresseerd in de
individuele datapunten in een datareeks. Deze variëren sowieso door steekproeffout en
meetfout. Het aantal vrijheidsgraden geeft aan hoeveel van deze datapunten er vrij
kunnen veranderen zonder de essentie van de datareeks aan te tasten. Het aantal
vrijheidsgraden verandert afhankelijk van hoeveel parameters de datareeks beschrijven.
Hoe meer parameters je berekent, hoe minder waarden je willekeurig kunt aanpassen.
Ingewikkelde statistische berekeningen vereisen daarom meer observaties.
Standaarddeviatie (SD), standaardawijking: dit is meest gebruikte spreidingsmaat,
de standaardafwijking is de wortel van de variantie (mean squares) en geeft de
gemiddelde afwijking van het gemiddelde weer. Door de wortel te trekken van de mean
squares is de standaarddeviatie op dezelfde schaal als het gemiddelde en daardoor
makkelijker te interpreteren. De formule is gelijk aan de formule voor de variantie,
behalve dat er de wortel wordt getrokken.
12.4 Beschrijvingsmaten voor categorische variabelen
Bij categorische variabelen kunnen centrum- en spreidingsmaten niet op dezelfde manier
worden gebruikt als bij continue variabelen. De modus kan worden bepaald voor zowel
nominale als ordinale variabelen. De mediaan is alleen zinvol bij ordinale variabelen.
Modus en mediaan geven echter beperkt inzicht in de verdeling van de data, waardoor
frequentietabellen vaak nuttiger zijn.
Frequentieverdelingen
Een frequentietabel geeft voor elke categorie aan hoe vaak deze voorkomt. Dit kan
worden weergegeven als absolute frequenties, het daadwerkelijke aantal datapunten
per categorie. Daarnaast kunnen de gegevens worden uitgedrukt in relatieve
frequenties, ofwel percentages van het totaal aantal datapunten. Relatieve frequenties
laten zien welk aandeel van de steekproef in een bepaalde categorie valt, maar geven
geen informatie over het absolute aantal datapunten.
Een frequentietabel kan ook een cumulatief percentage bevatten. Dit percentage
wordt berekend door de percentages van een categorie en alle lagere of hogere
categorieën bij elkaar op te tellen. Cumulatieve percentages zijn handig om snel te zien
welk totaal aandeel van de observaties onder of boven een bepaalde categorie valt.
Voor een continue variabele is het overigens doorgaans niet praktisch om een
frequentietabel op te vragen. Meestal hebben continue variabelen dermate veel
verschillende meetwaarden dat het een hele lange lijst frequenties zou worden en dat
elke meetwaarde bovendien bijna niet voorkomt.
Hoofdstuk 13 Verdelingsvormen en -maten
