Rekenen-wiskunde kennistoets
Hoofdstuk 1 Samenhang breuken, decimale getallen, verhoudingen en procenten
- Vraag aan kinderen uit de bovenbouw waaraan zij denken bij breuken,
decimale getallen, verhoudingen en/of procenten
- Laat kinderen op zoek gaan naar breuken, decimale getallen,
verhoudingen en/of procenten die ze tegenkomen in hun dagelijks leven en
laat ze deze voorbeelden meenemen naar school.
1.1 Verhoudingen en getallen
- Breuken, verhoudingen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze
zien er verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee tot uitdrukking
brengen.
Overeenkomsten en verschillen
- Breuken en decimale getallen komen in betekenis overeen: het zijn allebei
gebroken getallen. Echter de notatiewijze van decimale breuken lijkt meer
op die van gehele getallen dan op die van breuken.
- Hele getallen, breuken en decimale getallen zijn allemaal rationale getallen
met verschillende notatiewijzen. Een rationaal getal is het quotiënt van
twee hele getallen en is dus te noteren als een breuk.
- Breuken en procenten worden allebei gebruikt om een verhouding aan te
geven.
- Een overeenkomt tussen breuken, verhoudingen en procenten is dat er bij
deze concepten een relatief aspect is te onderscheiden. Ze geven namelijk
de verhouding aan ten opzichte van een bepaald totaal.
- Aan de andere kant kennen ze elk hun eigen gebruik en
verschijningsvormen in de realiteit.
1.2 Verschijningsvormen, relaties en begrip
- Om goed te leren redeneren en rekenen met breuken, decimale getallen,
verhoudingen en procenten moeten kinderen grip krijgen op de
verschijningsvormen ervan en de onderlinge relaties ertussen.
- Ook is het nodig dat de kinderen leren dat de concepten in de realiteit door
elkaar voorkomen.
- Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen
en breuken te doorzien.
- Op die manier kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren,
waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk hoeven te leren alsof het
losstaande rekenfeiten zouden zijn.
- Zo worden makkelijk optredende misvattingen voorkomen.
- Het blijft helpen om onderlinge relaties te visualiseren. (Strookmodel)
- Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis
beschikbaar zijn (parate feitenkennis)
- Deze rekenfeiten moeten uit het hoofd worden geleerd en gememoriseerd,
zodat ze snel beschikbaar zijn.
, - Dit is nodig voor het steeds beter kunnen redeneren en rekenen.
Kwartetspel
- Een actieve vorm van oefenen is kinderen zelf de opgaven te laten
bedenken, zo gebruiken ze kennis die ze al hebben, denken ze na over de
leerinhoud en oefenen ze tegelijkertijd.
- Dit is een vorm van productief oefenen, omdat kinderen zelf opgaven
produceren.
Breuken en decimale getallen
- Een verschijningsvorm in zowel de realiteit van breuken als decimale
getallen is die van een meetgetal.
- De overeenkomende verschijningsvorm meetgetal kan worden gebruikt om
relaties tussen breuken en decimale getallen te doorzien en om breuken
om te zetten in decimale getallen en omgekeerd dubbele getallenlijn
Van breuk naar decimaal getal
- Een andere manier om breuken te schrijven als decimaal getal is door
gebruik te maken van het gegeven dat een breuk ook een deling is.
- De breuk 1/7e heet een repeterende breuk en de groep cijfers erachter
heet het repetendum.
Van decimaal getal naar breuk
- Omgekeerd kan ook, je schrijft het dan als een tiendelige breuk die je
verder vereenvoudigt.
Breuken en verhoudingen
- Verhoudingen geven altijd een relatief gegeven aan, procenten zijn een
verschijningsvorm van verhoudingen en geven dus ook altijd een relatief
gegeven aan.
- Breuken kunnen ook een relatief gegeven beschrijven, er staat dan
meestal deel bij.
- Voorkom dat kinderen het idee krijgen dat bijvoorbeeld 20% hetzelfde is
als 20/100 en 1/5. Dat is niet altijd zo, want het kunnen ook absolute
gegevens zijn.
- Om deze reden moet je ook voorzichtig zijn met het plaatsen van
percentages op de getallenlijn tussen 0 en 1 alsof het gebroken getallen
zouden zijn.
- De strook is wel geschikt, omdat je daarop ook de absolute gegevens kunt
plaatsen, en omdat je die kunt begrenzen tot 100%.
,1.3 Absoluut en relatief
- Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden en
aantallen verwijzen.
- Bij relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen bekijk je het in
verhouding tot iets anders. Het zijn verhoudingsmatige gegevens waaraan
je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen.
- Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid
tussen absoluut en relatief van groot belang. Zonder begrip van dit
onderscheid kun je namelijk veel informatie uit informatiebronnen niet
goed begrijpen.
- Om kinderen grip te laten krijgen op dit cruciale onderscheidt is het nodig
om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te
onderscheiden en met elkaar in verband te brengen strookmodel.
- Bij de stroken staan zowel de absolute gegevens als de relatieve
gegevens. Deze maakt zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens
met elkaar kunt vergelijken.
- Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen,
is het verstandig de getallen benoemd te noteren, vooral in het begin van
het leerproces.
Hoofdstuk 3 Breuken op de Basisschool
3.1 Schets van de leerlijn
Het formele breukenonderwijs start over het algemeen in groep 6.
Begripsvorming:
- Informele ervaringen met breuken vanaf groep 1
- Verschijningsvormen van breuken vanaf groep 6
Ontwikkelen van procedures:
- Vergelijken en ordenen vanaf groep 6
- Gelijknamig maken vanaf groep 6
- Bewerkingen uitvoeren ondersteund met modellen vanaf groep 6
Vlot leren rekenen:
Flexibel toepassen:
- In situaties vanaf groep 6
- In verdere rekenen-wiskunde Voortgezet onderwijs
, 3.2 Introductie van breuken
- Bij de formele introductie van breuken wordt aangesloten bij de informele
voorkennis van leerlingen en bij voorstelbare situaties.
- Verschillende manieren van noteren en uitspreken worden expliciet met
elkaar verbonden.
- De introductie en het begin zijn erg belangrijk voor de begripsvorming. Om
dit te ondersteunen maken methodes veel gebruik van de context eerlijk
verdelen, wat voor kinderen een logische en betekenisvolle activiteit is.
- Een andere veelgebruikte situatie is die van meten met stroken, waarbij
het dus gaat om de verschijningsvorm breuk als meetgetal.
- In sommige methodes komen al vrij snel de verschijningsvorm deel van
een hoeveelheid voor. eerst gekoppeld aan deel van een geheel.
3.3 bevorderen van begrip
- Breuken hebben een ambigu concept meerdere betekenissen
- Omdat breuken de betekenis van zowel een getal als een verhouding
kunnen hebben, kunnen ze absolute en relatieve gegevens representeren
en dat is voor kinderen een lastig onderscheid.
- Een tweede moeilijkheid is dat kennis die leerlingen over hele getallen
hebben opgedaan, bij breuken opeens niet meer lijkt te kloppen.
- Het onterecht gebruiken van kennis over hele getallen bij breuken staat
bekend als de ‘whole number bias’. Dit veroorzaakt misconcepties.
Breukbegrip
- Het gaat er bij breuken niet alleen om dat leerlingen de basisbewerkingen
uitvoeren, maar ook dat zij inzicht krijgen. Onder breukbegrip vallen
verschillende aspecten van het redeneren en rekenen met breuken, zoals:
Verschillende betekenissen en verschijningsvormen van breuken
kunnen onderscheiden
Weten dat een breuk een getal is kleiner dan 1, tussen 0-1
Het relatieve karakter van breuken begrijpen: breuken verwijzen
vaak naar een deel van iets
Inzicht hebben in de relaties tussen breuken, decimale getallen,
verhoudingen en procenten, en getalsrelaties kunnen beredeneren
Inzicht hebben in gelijkwaardigheid en gelijknamigheid
Breuken kunnen vergelijken en kunnen plaatsen op de getallenlijn
Benoemde breuken
Hoofdstuk 1 Samenhang breuken, decimale getallen, verhoudingen en procenten
- Vraag aan kinderen uit de bovenbouw waaraan zij denken bij breuken,
decimale getallen, verhoudingen en/of procenten
- Laat kinderen op zoek gaan naar breuken, decimale getallen,
verhoudingen en/of procenten die ze tegenkomen in hun dagelijks leven en
laat ze deze voorbeelden meenemen naar school.
1.1 Verhoudingen en getallen
- Breuken, verhoudingen en procenten hebben veel met elkaar te maken. Ze
zien er verschillend uit, maar je kunt er vaak hetzelfde mee tot uitdrukking
brengen.
Overeenkomsten en verschillen
- Breuken en decimale getallen komen in betekenis overeen: het zijn allebei
gebroken getallen. Echter de notatiewijze van decimale breuken lijkt meer
op die van gehele getallen dan op die van breuken.
- Hele getallen, breuken en decimale getallen zijn allemaal rationale getallen
met verschillende notatiewijzen. Een rationaal getal is het quotiënt van
twee hele getallen en is dus te noteren als een breuk.
- Breuken en procenten worden allebei gebruikt om een verhouding aan te
geven.
- Een overeenkomt tussen breuken, verhoudingen en procenten is dat er bij
deze concepten een relatief aspect is te onderscheiden. Ze geven namelijk
de verhouding aan ten opzichte van een bepaald totaal.
- Aan de andere kant kennen ze elk hun eigen gebruik en
verschijningsvormen in de realiteit.
1.2 Verschijningsvormen, relaties en begrip
- Om goed te leren redeneren en rekenen met breuken, decimale getallen,
verhoudingen en procenten moeten kinderen grip krijgen op de
verschijningsvormen ervan en de onderlinge relaties ertussen.
- Ook is het nodig dat de kinderen leren dat de concepten in de realiteit door
elkaar voorkomen.
- Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen
en breuken te doorzien.
- Op die manier kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren,
waardoor ze deze niet allemaal afzonderlijk hoeven te leren alsof het
losstaande rekenfeiten zouden zijn.
- Zo worden makkelijk optredende misvattingen voorkomen.
- Het blijft helpen om onderlinge relaties te visualiseren. (Strookmodel)
- Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis
beschikbaar zijn (parate feitenkennis)
- Deze rekenfeiten moeten uit het hoofd worden geleerd en gememoriseerd,
zodat ze snel beschikbaar zijn.
, - Dit is nodig voor het steeds beter kunnen redeneren en rekenen.
Kwartetspel
- Een actieve vorm van oefenen is kinderen zelf de opgaven te laten
bedenken, zo gebruiken ze kennis die ze al hebben, denken ze na over de
leerinhoud en oefenen ze tegelijkertijd.
- Dit is een vorm van productief oefenen, omdat kinderen zelf opgaven
produceren.
Breuken en decimale getallen
- Een verschijningsvorm in zowel de realiteit van breuken als decimale
getallen is die van een meetgetal.
- De overeenkomende verschijningsvorm meetgetal kan worden gebruikt om
relaties tussen breuken en decimale getallen te doorzien en om breuken
om te zetten in decimale getallen en omgekeerd dubbele getallenlijn
Van breuk naar decimaal getal
- Een andere manier om breuken te schrijven als decimaal getal is door
gebruik te maken van het gegeven dat een breuk ook een deling is.
- De breuk 1/7e heet een repeterende breuk en de groep cijfers erachter
heet het repetendum.
Van decimaal getal naar breuk
- Omgekeerd kan ook, je schrijft het dan als een tiendelige breuk die je
verder vereenvoudigt.
Breuken en verhoudingen
- Verhoudingen geven altijd een relatief gegeven aan, procenten zijn een
verschijningsvorm van verhoudingen en geven dus ook altijd een relatief
gegeven aan.
- Breuken kunnen ook een relatief gegeven beschrijven, er staat dan
meestal deel bij.
- Voorkom dat kinderen het idee krijgen dat bijvoorbeeld 20% hetzelfde is
als 20/100 en 1/5. Dat is niet altijd zo, want het kunnen ook absolute
gegevens zijn.
- Om deze reden moet je ook voorzichtig zijn met het plaatsen van
percentages op de getallenlijn tussen 0 en 1 alsof het gebroken getallen
zouden zijn.
- De strook is wel geschikt, omdat je daarop ook de absolute gegevens kunt
plaatsen, en omdat je die kunt begrenzen tot 100%.
,1.3 Absoluut en relatief
- Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden en
aantallen verwijzen.
- Bij relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen bekijk je het in
verhouding tot iets anders. Het zijn verhoudingsmatige gegevens waaraan
je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal kunt aflezen.
- Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid
tussen absoluut en relatief van groot belang. Zonder begrip van dit
onderscheid kun je namelijk veel informatie uit informatiebronnen niet
goed begrijpen.
- Om kinderen grip te laten krijgen op dit cruciale onderscheidt is het nodig
om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te
onderscheiden en met elkaar in verband te brengen strookmodel.
- Bij de stroken staan zowel de absolute gegevens als de relatieve
gegevens. Deze maakt zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens
met elkaar kunt vergelijken.
- Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen,
is het verstandig de getallen benoemd te noteren, vooral in het begin van
het leerproces.
Hoofdstuk 3 Breuken op de Basisschool
3.1 Schets van de leerlijn
Het formele breukenonderwijs start over het algemeen in groep 6.
Begripsvorming:
- Informele ervaringen met breuken vanaf groep 1
- Verschijningsvormen van breuken vanaf groep 6
Ontwikkelen van procedures:
- Vergelijken en ordenen vanaf groep 6
- Gelijknamig maken vanaf groep 6
- Bewerkingen uitvoeren ondersteund met modellen vanaf groep 6
Vlot leren rekenen:
Flexibel toepassen:
- In situaties vanaf groep 6
- In verdere rekenen-wiskunde Voortgezet onderwijs
, 3.2 Introductie van breuken
- Bij de formele introductie van breuken wordt aangesloten bij de informele
voorkennis van leerlingen en bij voorstelbare situaties.
- Verschillende manieren van noteren en uitspreken worden expliciet met
elkaar verbonden.
- De introductie en het begin zijn erg belangrijk voor de begripsvorming. Om
dit te ondersteunen maken methodes veel gebruik van de context eerlijk
verdelen, wat voor kinderen een logische en betekenisvolle activiteit is.
- Een andere veelgebruikte situatie is die van meten met stroken, waarbij
het dus gaat om de verschijningsvorm breuk als meetgetal.
- In sommige methodes komen al vrij snel de verschijningsvorm deel van
een hoeveelheid voor. eerst gekoppeld aan deel van een geheel.
3.3 bevorderen van begrip
- Breuken hebben een ambigu concept meerdere betekenissen
- Omdat breuken de betekenis van zowel een getal als een verhouding
kunnen hebben, kunnen ze absolute en relatieve gegevens representeren
en dat is voor kinderen een lastig onderscheid.
- Een tweede moeilijkheid is dat kennis die leerlingen over hele getallen
hebben opgedaan, bij breuken opeens niet meer lijkt te kloppen.
- Het onterecht gebruiken van kennis over hele getallen bij breuken staat
bekend als de ‘whole number bias’. Dit veroorzaakt misconcepties.
Breukbegrip
- Het gaat er bij breuken niet alleen om dat leerlingen de basisbewerkingen
uitvoeren, maar ook dat zij inzicht krijgen. Onder breukbegrip vallen
verschillende aspecten van het redeneren en rekenen met breuken, zoals:
Verschillende betekenissen en verschijningsvormen van breuken
kunnen onderscheiden
Weten dat een breuk een getal is kleiner dan 1, tussen 0-1
Het relatieve karakter van breuken begrijpen: breuken verwijzen
vaak naar een deel van iets
Inzicht hebben in de relaties tussen breuken, decimale getallen,
verhoudingen en procenten, en getalsrelaties kunnen beredeneren
Inzicht hebben in gelijkwaardigheid en gelijknamigheid
Breuken kunnen vergelijken en kunnen plaatsen op de getallenlijn
Benoemde breuken
