Unidad 1. Vectores en el plano
1.1. El plano cartesiano R2 .
De…nición. El plano cartesiano real, o plano euclidiano o plano numérico, sim-
bolizado por R2 (se lee “erre-dos”), es el producto cartesiano de la recta real R
consigo misma; es decir,
R2 = R R = f(x; y) : x 2 R y y 2 Rg :
2
Así pues, todo elemento de R es una pareja ordenada de números reales. A los
elementos de R2 se los llama puntos o vectores planos reales, y se los representa
por medio de letras con ‡echa encima, por ejemplo ~v , o testadas, por ejemplo
v^. Si P~ = (x; y) es un punto de R2 , al número x se le llama abscisa o primera
coordenada de P~ , en tanto que a y se le llama ordenada o segunda coordenada de
P~ . Genéricamente, a los números x y y se les denomina coordenadas de P~ .
El campo de los escalares
De…nición. En relación con los vectores, a los números reales se les llamará es-
calares. Por su parte, a la recta real R se le llamará el campo de los escalares.
Ejes y origen
De…nición. Hay dos subconjuntos distinguidos de R2 . El primero es el que está
formado por todos los puntos con segunda coordenada igual a cero; se lo denomina
el eje de las equis o eje de las abscisas, y se le denota por X; en símbolos, X =
f(x; 0) : x 2 Rg. El segundo subconjunto es el que está constituido de todos los
puntos con primera coordenada igual a cero; se le llama el eje de las yes o eje de las
ordenadas, y se le representa por Y ; simbólicamente, Y = f(0; y) : y 2 Rg. Existe
un punto común a ambos ejes y que es aquel que tiene ambas coordenadas cero;
se le denomina el origen o vector cero, y se le denota por O, ~0 o por ^0; es decir,
~0 = (0; 0).
Suma de vectores
~ = (a1 ; a2 ) y B
De…nición. Sean A ~ = (b1 ; b2 ) dos vectores de R2 . De…nimos la suma
~ y B,
de A ~ denotada por A
~ + B, ~ de la siguiente manera,
A~+B~ = (a1 ; a2 ) + (b1 ; b2 ) = (a1 + b1 ; a2 + b2 ) :
En forma mnemotécnica, la suma se efectúa coordenada a coordenada.
~ = (1; 2) y B
Ejemplo 1. Sean A ~ = (3; 1). Calcular A~ + B.
~
Solución
~+B
A ~ = (1; 2) + (3; 1) = (1 + 3; 2 + 1) = (4; 3) :
~ = (3; 2), B
Ejemplo 2. Sean A ~ = ( 1; 3) y C
~ = ( 2; 2). Calcular A
~+B~ + C.
~
Solución
A~+B ~ +C
~ = (3; 2) + ( 1; 3) + ( 2; 2) = (3 + ( 1) + ( 2) ; 2 + ( 3) + 2)
= (3 1 2; 2 3 + 2) = (0; 1) :
1
1.1. El plano cartesiano R2 .
De…nición. El plano cartesiano real, o plano euclidiano o plano numérico, sim-
bolizado por R2 (se lee “erre-dos”), es el producto cartesiano de la recta real R
consigo misma; es decir,
R2 = R R = f(x; y) : x 2 R y y 2 Rg :
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Así pues, todo elemento de R es una pareja ordenada de números reales. A los
elementos de R2 se los llama puntos o vectores planos reales, y se los representa
por medio de letras con ‡echa encima, por ejemplo ~v , o testadas, por ejemplo
v^. Si P~ = (x; y) es un punto de R2 , al número x se le llama abscisa o primera
coordenada de P~ , en tanto que a y se le llama ordenada o segunda coordenada de
P~ . Genéricamente, a los números x y y se les denomina coordenadas de P~ .
El campo de los escalares
De…nición. En relación con los vectores, a los números reales se les llamará es-
calares. Por su parte, a la recta real R se le llamará el campo de los escalares.
Ejes y origen
De…nición. Hay dos subconjuntos distinguidos de R2 . El primero es el que está
formado por todos los puntos con segunda coordenada igual a cero; se lo denomina
el eje de las equis o eje de las abscisas, y se le denota por X; en símbolos, X =
f(x; 0) : x 2 Rg. El segundo subconjunto es el que está constituido de todos los
puntos con primera coordenada igual a cero; se le llama el eje de las yes o eje de las
ordenadas, y se le representa por Y ; simbólicamente, Y = f(0; y) : y 2 Rg. Existe
un punto común a ambos ejes y que es aquel que tiene ambas coordenadas cero;
se le denomina el origen o vector cero, y se le denota por O, ~0 o por ^0; es decir,
~0 = (0; 0).
Suma de vectores
~ = (a1 ; a2 ) y B
De…nición. Sean A ~ = (b1 ; b2 ) dos vectores de R2 . De…nimos la suma
~ y B,
de A ~ denotada por A
~ + B, ~ de la siguiente manera,
A~+B~ = (a1 ; a2 ) + (b1 ; b2 ) = (a1 + b1 ; a2 + b2 ) :
En forma mnemotécnica, la suma se efectúa coordenada a coordenada.
~ = (1; 2) y B
Ejemplo 1. Sean A ~ = (3; 1). Calcular A~ + B.
~
Solución
~+B
A ~ = (1; 2) + (3; 1) = (1 + 3; 2 + 1) = (4; 3) :
~ = (3; 2), B
Ejemplo 2. Sean A ~ = ( 1; 3) y C
~ = ( 2; 2). Calcular A
~+B~ + C.
~
Solución
A~+B ~ +C
~ = (3; 2) + ( 1; 3) + ( 2; 2) = (3 + ( 1) + ( 2) ; 2 + ( 3) + 2)
= (3 1 2; 2 3 + 2) = (0; 1) :
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