Samenvatting PABO LKT toets rekenen en
wiskunde
Met veel voorbeeldopgaven
,Inhoudsopgave
Hoofdstuk 1: Hele getallen en bewerkingen ..............................................................................4
Paragraaf 1.1: Kennis wiskunde ............................................................................................4
Talstelsels ........................................................................................................................4
Algoritmen en volgorderegels ............................................................................................5
Bewerkingen ....................................................................................................................6
Redeneren met getallen (Negatieve getallen, Machten, Wortels & Rijen) .............................7
Priemgetallen, deelbaarheid, KGV en GGD ........................................................................8
Telproblemen en combinatoriek ........................................................................................8
Notatie en afronding ....................................................................................................... 10
Paragraaf 1.2: Specifiek leraar ............................................................................................ 10
Strategieën en eigenschappen ........................................................................................ 10
Modellen en schema's .................................................................................................... 11
Beoordelen oplossingen leerlingen (Cijferen vs. Kolomsgewijs) ........................................ 11
Paragraaf 1.3: Maatschappelijke relevantie ......................................................................... 12
Schattend rekenen en exact rekenen in praktische situaties ............................................. 12
Hoofdstuk 2: Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen ....................................... 13
Paragraaf 2.1: Kennis wiskunde .......................................................................................... 13
Verhoudingen ................................................................................................................. 13
Procenten ...................................................................................................................... 13
Breuken ......................................................................................................................... 15
Kommagetallen .............................................................................................................. 17
Paragraaf 2.2: Specifiek leraar ............................................................................................ 17
Modellen en schema's voor procenten en verhoudingen .................................................. 17
Strategieën: Verdelen in ratio .......................................................................................... 17
Paragraaf 2.3: Maatschappelijke relevantie ......................................................................... 18
Procenten versus procentpunten .................................................................................... 18
Procenten-asymmetrie ................................................................................................... 18
Samengestelde interest (rente op rente) .......................................................................... 18
Promille en hellingshoek ................................................................................................. 18
Repeterende breuken ..................................................................................................... 19
Kansberekening in realistische contexten ........................................................................ 19
Hoofdstuk 3: Meten ............................................................................................................... 20
Paragraaf 3.1 & 3.2: Kennis wiskunde en basisvaardigheden ................................................ 20
Wat is meten? ................................................................................................................ 20
Het metrieke stelsel ....................................................................................................... 20
, Tijd, Temperatuur en Standaardmaten ............................................................................. 21
Hoeken en ruimtemeetkunde.......................................................................................... 22
Formules: Omtrek, oppervlakte en inhoud....................................................................... 23
Paragraaf 3.3: Maatschappelijke relevantie - De stelling van Pythagoras ............................... 23
Hoofdstuk 4: Meetkunde........................................................................................................ 25
Paragraaf 4.1 & 4.2: Kennis wiskunde en Specifiek leraar ..................................................... 25
Wat is meetkunde? ......................................................................................................... 25
Lijnen en figuren ............................................................................................................. 25
Vlakke figuren (2D) ......................................................................................................... 25
Driedimensionale figuren (3D) ........................................................................................ 25
Meetkundige begrippen en activiteiten ............................................................................ 26
Paragraaf 4.3: Maatschappelijke relevantie ......................................................................... 27
Bijzondere veelvlakken: De vijf platonische lichamen ....................................................... 27
Plaatsbepaling op kaarten en plattegronden .................................................................... 27
Meetkundige begrippen in praktische situaties ................................................................ 28
Hoofdstuk 5: Verbanden ........................................................................................................ 30
Paragraaf 5.1: Kennis wiskunde .......................................................................................... 30
Typen functies en verbanden .......................................................................................... 30
Kentallen (centrummaten en spreidingsmaten) ............................................................... 31
Toetsing, cito en de normale verdeling ............................................................................. 31
Paragraaf 5.2: Specifiek leraar ............................................................................................ 32
Paragraaf 5.3: Maatschappelijke relevantie ......................................................................... 32
Interpreteren van misleidende grafieken in realistische contexten .................................... 32
,Hoofdstuk 1: Hele getallen en bewerkingen
Paragraaf 1.1: Kennis wiskunde
Talstelsels
We rekenen tegenwoordig vrijwel uitsluitend in het decimale (tientallige) stelsel, maar er zijn
door de geschiedenis heen en in de informatica ook andere stelsels bedacht.
Het decimale stelsel (tientallig stelsel)
Dit is een positiestelsel. Dat betekent dat de plek (positie) van het cijfer de waarde bepaalt
(eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, etc.). In dit stelsel gebruiken we de cijfers 0
t/m 9, waarbij het getal 0 absoluut noodzakelijk is om lege posities aan te geven. Elk getal kan
worden uitgedrukt in machten van 10.
• Voorbeeld: Het getal 2.378 betekent eigenlijk: (2 x10^3) + (3 x10^2) + (7 x10^1) + (8
x10^0) oftewel 2000 + 300 + 70 + 8.
Het Romeinse stelsel
De Romeinen gebruikten een additief talstelsel (samenvoegend) bestaande uit letters:
I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1.000.
• Regels:
1. Een kleiner of gelijk symbool ná een groter symbool = optellen. Bv. XX =
10+10=20.
2. Een kleiner symbool vóór een groter symbool = aftrekken. Bv. IX = 10-1=9.
(Aftrekken mag alleen van I, X of C).
3. Maximaal 3 dezelfde tekens achter elkaar.
• Voorbeeld stap-voor-stap: Het getal 999. Je mag niet 'IM' doen (regel 2). Je doet 900 +
90 + 9.
o 900 = C (100) af van M (1000) → CM
o 90 = X (10) af van C (100) → XC
o 9 = I (1) af van X (10) → IX
o Samen is dit CMXCIX.
Het binaire stelsel (tweetallig stelsel)
Dit wordt veel gebruikt in computers en kent uitsluitend de cijfers 0 en 1. Hierbij werk je met
machten van 2 in plaats van 10, zie schema hieronder.
Het is belangrijk om deze middelste rij uit je hoofd te leren.
• Voorbeeld omrekenen van binair naar decimaal: Wat is het binaire getal 1001010?
o Teken het positieschema: 256 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
o Zet de enen eronder: Bij 64, bij 8 en bij 2 staat een 1.
256 64 32 16 8 4 2 1
- 1 0 0 1 0 1 0
o Tel op: 64 + 8 + 2 = 74.
, • Voorbeeld omrekenen van decimaal naar binair: Zet het getal 218 om.
o Kijk welk macht-van-2 getal er in het getal past.
o In 218 past 128 → 1. Je houdt 90 over.
o In 90 past 64 → 1. Je houdt 26 over.
o In 32 past 26 niet → 0.
o In 26 past 16 → 1. Je houdt 10 over.
o In 10 past 8 → 1. Je houdt 2 over.
o In 4 past 2 niet → 0.
o In 2 past 2 → 1. Je houdt 0 over.
o In 1 past 0 niet → 0.
o Zet een 0 bij de machten die je niet hebt gebruikt (32, 4 en 1). Het getal is
11011010.
Het hexadecimale stelsel (zestientallig stelsel)
Dit stelsel maakt gebruik van 16 symbolen: de cijfers 0 t/m 9, plus de letters A t/m F (waarbij
A=10, B=11, ..., F=15).
Als je een hexadecimaal getal krijgt, moet je het volgende toepassen:
Het meest rechtse getal/letter doe je dus x 1. Het middelste getal/letter x 16 en het linkse
getal/letter x 256.
Voorbeeld hexadecimale stelsel
Reken 1AD om naar decimaal.
o D = 13 x 1 = 13.
o A = 10 x 16 = 160.
o 1 = 1 x 256 = 256.
o Optellen: 13 + 160 + 256 = 429.
MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks)
Leermiddel waarbij het tientallig stelsel is weergegeven in losse
blokjes (eenheden), staafjes van 10 (tientallen), plaatjes van 10 x 10
(honderdtallen) en kubussen 10 x 10 x 10 (duizendtallen).
Algoritmen en volgorderegels
Om misverstanden te voorkomen, zijn er vaste rekenafspraken gemaakt over de volgorde waarin
je een som moet uitrekenen:
1. Haakjes: Alles wat tussen ( ) staat, gaat áltijd voor.
2. Machtsverheffen en worteltrekken: Deze zijn gelijkwaardig en reken je uit van links
naar rechts.
3. Vermenigvuldigen en delen: Deze zijn gelijkwaardig en reken je uit van links naar rechts.
, 4. Optellen en aftrekken: Deze zijn ook gelijkwaardig en reken je als laatste uit, van links
naar rechts.
• Voorbeeld: 10 + 2 x(8 - 3)^2
o Eerst haakjes: 8 - 3 = 5
o Dan machtsverheffen: 5^2 = 25
o Dan vermenigvuldigen: 2 x25 = 50
o Tot slot optellen: 10 + 50 = 60
Bewerkingen
Optellen Term + term = som 3+5=8
Aftrekken Aftrekgetal – term = verschil 8–5=3
Vermenigvuldigen Vermenigvuldiger x vermenigvuldigtal = product 3 x 5 = 15
Delen Deeltal / deler = quotiënt 9/3=3
Modellen bij het optellen
• Groepjesmodel
• Honderdveld: model voor rekenen tot 100
• Lijnmodel: ook wel de getallenlijn. Heeft de voorkeur, want het helpt bij de ontwikkeling
van getalwaarden.
Vier manieren om naar aftrekken te kijken
1) Splitsen: als bij hoeveelheid wordt gevraagd hoeveel er overblijft. Bijvoorbeeld: van de 40
kinderen mogen er 16 kinderen meedoen aan een toneelstuk. Hoeveel kinderen mogen
er niet meedoen?
2) Verminderen: gaat om het terugtellen. Bijvoorbeeld: een telefoon kost 195 euro. Hij
wordt 17 euro goedkoper. Wat is de nieuwe prijs?
3) Vergelijken: verschil tussen twee hoeveelheden. Wat is meer/minder? Hoeveel
meer/minder? Model hierbij is een dubbele strook.
4) Inverse: Hoeveel moet er nog bij om een bepaalde hoeveelheid te krijgen. Bijvoorbeeld:
ik ben aan het sparen voor een fiets van 599 euro. Ik heb al 370 euro. Hoeveel moet ik
nog sparen?
Situaties van vermenigvuldigen
• Herhaald optellen: bijvoorbeeld: vier rijtjes van drie flesjes (3 + 3 + 3+ 3). De modellen die
hierbij passen zijn: rechthoekmodel/groepjesmodel.
• Vermenigvuldigen met een factor: bijvoorbeeld een foto een x aantal keer vergroten of
een hond loopt 4 x zo snel als een mus.
Situaties van delen
1) Eerlijk verdelen en uitdelen: gelijk verdelen van een hoeveelheid. Bijvoorbeeld 35
knikkers verdelen over 7 kinderen.
2) Inverse (omgekeerde van vermenigvuldigen): Bijvoorbeeld: maak bakjes van 8 appels uit
een zak met 32 knikkers. Model hierbij = herhaald aftrekken (opdelen).
3) Ratio (verhouding): twee hoeveelheden met elkaar vergelijken. Bijvoorbeeld: een
persoon van 2m is twee keer zo groot als een persoon van 1m of een persoon verdient 3
keer zoveel (3 staat op 1 = 3 : 1)
,Redeneren met getallen (Negatieve getallen, Machten, Wortels & Rijen)
Negatieve getallen Bij het vermenigvuldigen van negatieve getallen gelden vaste regels:
• Plus x Plus = Plus (3 x 4 = 12)
• Min x Plus = Min (-3 x 4 = -12)
• Min x Min = Plus (-3 x -4 = 12)
Machten
Een macht is herhaald vermenigvuldigen. Bij 4^3 is 4 het grondgetal en 3 de exponent (4 x 4 x 4).
Rekenregels voor machten: Bij gelijke grondgetallen mag je exponenten optellen als je
vermenigvuldigt (10^5 x 10^4 = 10^9) en mag je ze aftrekken als je deelt (10^5 : 10^4 = 10^1).
Machten vermenigvuldigen met gelijke grondgetallen → exponenten bij elkaar optellen
10^5 x 10^4 = 10^9 en 10^−5 x 10^4 = 10^−1
Machten delen met gelijke grondgetallen → exponenten van elkaar aftrekken
10^5 :10^4 =10^1 en 10^4 : 10^5 = 10^−1
Wortels
Worteltrekken is het omgekeerde van kwadrateren (√25 = 5, want 5^2 = 25).
Optellen wortels
√16 + √9 mag je niet zomaar bij elkaar optellen. Je moet eerst worteltrekken.
√16 = 4 en √9 = 3
4+ 3 = 7 en 7² = 49 à dus √16 + √9 = √49
Als de wortel hetzelfde is, mag je het gedeelte vóór de wortel wel optellen
2 √9 + 6√9 = 8√9
Vermenigvuldigen en delen met wortels
Regel 1: je mag wortels met elkaar vermenigvuldigen → √4 x √9 = √36
√36 = 6
Regel 2: de uitkomst bij een wortel wordt altijd omgerekend naar de meest eenvoudige vorm.
Getal onder √ moet zo klein mogelijk zijn.
Voorbeeld: √6 x √10 = √60 → maar 60 = 4 x 15 en 4 is een kwadraat → √60 = √4x15 = √4 x √15 =
2 x √15 = 2√15 (het keerteken tussen het hele getal en de wortel wordt niet opgeschreven).
Regel 3: hoe reken je met een getal vóór en een getal na de wortel.
Als je een wortel als uitkomst wil breng je het getal vóór de wortel naar na de wortel en
vermenigvuldig je die 2 getallen met elkaar.
Als je een getal als uitkomt wil bereken je eerst de wortel van het getal na de wortel en doe je dit
maal het eerste getal.
5√3 = √25 x 3 = √75 maar ook 5√3 = 5 x 1,73 = 8.66
,Rijen en reeksen
• Rij: Een opeenvolging van getallen met een logische regelmaat. Bijvoorbeeld: 1, 2, 3, 4
(regelmaat +1).
• Reeks: De som van een rij.
• Fibonacci-rij: Elk getal is de som van de twee voorgaande getallen (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13...).
Priemgetallen, deelbaarheid, KGV en GGD
Priemgetallen
Een priemgetal is een heel getal groter dan 1 dat alléén deelbaar is door 1 en door zichzelf. De
eerste tien priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. (Tip: "priemtweelingen" zijn
priemgetallen die heel dicht bij elkaar liggen, zoals 11 en 13 ).
Kenmerken van deelbaarheid
Om grote getallen makkelijk te ontleden, gebruik je deze trucjes:
• Deelbaar door 2: Als het eindigt op een even getal (0, 2, 4, 6, 8).
• Deelbaar door 3: Als de som van de losse cijfers deelbaar is door 3.
o Bijvoorbeeld 34.569 → 3+4+5+6+9 = 27. Omdat 27 deelbaar is door 3, is 34.569
dat ook.
• Deelbaar door 4: Als de laatste twee cijfers samen deelbaar zijn door 4.
o Bijvoorbeeld 2.356 → 56 is deelbaar door 4.
• Deelbaar door 5: Als het eindigt op een 0 of 5.
• Deelbaar door 6: Als het getal én door 2, én door 3 deelbaar is.
• Deelbaar door 7: Het laatste getal 2x aftrekken van het getal gevormd door het
overblijvende getal.
o Bijvoorbeeld: 364 = 36 – 2 x 4 = 28. 28 is deelbaar door 7, dus 364 ook.
• Deelbaar door 8: het getal gevormd door de laatste 3 cijfers zijn deelbaar door 8
o Bijvoorbeeld: 562.720 → 720 is deelbaar door 8, 562.720 dus ook.
• Deelbaar door 9: Als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
o Bijvoorbeeld: 34.569 → 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27 en dus deelbaar door 9.
Grootste gemene deler (GGD) en kleinste gemene veelvoud (KGV)
Elk getal is te ontbinden in priemfactoren (bijvoorbeeld: 12 = 2 x 2 x 3).
• GGD (handig bij breuken vereenvoudigen): De grootste factor waardoor je twee
getallen tegelijkertijd kunt delen.
o Voorbeeld GGD van 18 en 24: De delers van 18 zijn 1, 2, 3, 6, 9, 18. De delers van
24 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Het grootste getal dat in beide rijtjes staat is 6.
• KGV (handig bij breuken gelijknamig maken): Het kleinste getal dat een veelvoud is van
beide getallen.
o Voorbeeld KGV van 10 en 15: De tafel van 10 (10, 20, 30, 40...) en de tafel van 15
(15, 30, 45...). Het kleinste getal dat ze gemeen hebben is 30.
Telproblemen en combinatoriek
Soms moet je uitrekenen op hoeveel manieren je iets kunt combineren of rangschikken. We
maken onderscheid tussen twee belangrijke vormen:
, 1. Permutatie (volgorde is wél belangrijk): Stel je kiest 3 personen uit een groep van 3,
waarbij ze een specifieke taak krijgen. Omdat de volgorde de taak bepaalt, spreken we
van permutatie.
o Uitrekenen: 3 x 2 x 1 = 6 manieren. (We gebruiken hiervoor ook 'faculteit',
geschreven als '!'. 3! = 3 x 2 x 1 = 6) .
2. Combinatie (volgorde is níét belangrijk): Je kiest 3 mensen uit een groep van 8 zonder
specifieke functies.
o Uitrekenen: Eerst doe je 8 x 7 x 6 = 336. Maar omdat de onderlinge volgorde van
de 3 personen niet uitmaakt, moet je de 'dubbele' eruit delen. Drie mensen
kunnen op 6 (3!) manieren staan. Je doet dus 336 : 6 = 56 manieren.
Om telproblemen inzichtelijk te maken gebruik je modellen zoals een boomdiagram
(vertakkende lijntjes per keuze) of een wegendiagram.
Driehoek van Pascal
Een bijzondere toepassing voor combinatoriek is de Driehoek van Pascal, waarbij elk getal het
aantal mogelijke routes/combinaties weergeeft om vanaf de top van de piramide op die plek te
komen.
wiskunde
Met veel voorbeeldopgaven
,Inhoudsopgave
Hoofdstuk 1: Hele getallen en bewerkingen ..............................................................................4
Paragraaf 1.1: Kennis wiskunde ............................................................................................4
Talstelsels ........................................................................................................................4
Algoritmen en volgorderegels ............................................................................................5
Bewerkingen ....................................................................................................................6
Redeneren met getallen (Negatieve getallen, Machten, Wortels & Rijen) .............................7
Priemgetallen, deelbaarheid, KGV en GGD ........................................................................8
Telproblemen en combinatoriek ........................................................................................8
Notatie en afronding ....................................................................................................... 10
Paragraaf 1.2: Specifiek leraar ............................................................................................ 10
Strategieën en eigenschappen ........................................................................................ 10
Modellen en schema's .................................................................................................... 11
Beoordelen oplossingen leerlingen (Cijferen vs. Kolomsgewijs) ........................................ 11
Paragraaf 1.3: Maatschappelijke relevantie ......................................................................... 12
Schattend rekenen en exact rekenen in praktische situaties ............................................. 12
Hoofdstuk 2: Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen ....................................... 13
Paragraaf 2.1: Kennis wiskunde .......................................................................................... 13
Verhoudingen ................................................................................................................. 13
Procenten ...................................................................................................................... 13
Breuken ......................................................................................................................... 15
Kommagetallen .............................................................................................................. 17
Paragraaf 2.2: Specifiek leraar ............................................................................................ 17
Modellen en schema's voor procenten en verhoudingen .................................................. 17
Strategieën: Verdelen in ratio .......................................................................................... 17
Paragraaf 2.3: Maatschappelijke relevantie ......................................................................... 18
Procenten versus procentpunten .................................................................................... 18
Procenten-asymmetrie ................................................................................................... 18
Samengestelde interest (rente op rente) .......................................................................... 18
Promille en hellingshoek ................................................................................................. 18
Repeterende breuken ..................................................................................................... 19
Kansberekening in realistische contexten ........................................................................ 19
Hoofdstuk 3: Meten ............................................................................................................... 20
Paragraaf 3.1 & 3.2: Kennis wiskunde en basisvaardigheden ................................................ 20
Wat is meten? ................................................................................................................ 20
Het metrieke stelsel ....................................................................................................... 20
, Tijd, Temperatuur en Standaardmaten ............................................................................. 21
Hoeken en ruimtemeetkunde.......................................................................................... 22
Formules: Omtrek, oppervlakte en inhoud....................................................................... 23
Paragraaf 3.3: Maatschappelijke relevantie - De stelling van Pythagoras ............................... 23
Hoofdstuk 4: Meetkunde........................................................................................................ 25
Paragraaf 4.1 & 4.2: Kennis wiskunde en Specifiek leraar ..................................................... 25
Wat is meetkunde? ......................................................................................................... 25
Lijnen en figuren ............................................................................................................. 25
Vlakke figuren (2D) ......................................................................................................... 25
Driedimensionale figuren (3D) ........................................................................................ 25
Meetkundige begrippen en activiteiten ............................................................................ 26
Paragraaf 4.3: Maatschappelijke relevantie ......................................................................... 27
Bijzondere veelvlakken: De vijf platonische lichamen ....................................................... 27
Plaatsbepaling op kaarten en plattegronden .................................................................... 27
Meetkundige begrippen in praktische situaties ................................................................ 28
Hoofdstuk 5: Verbanden ........................................................................................................ 30
Paragraaf 5.1: Kennis wiskunde .......................................................................................... 30
Typen functies en verbanden .......................................................................................... 30
Kentallen (centrummaten en spreidingsmaten) ............................................................... 31
Toetsing, cito en de normale verdeling ............................................................................. 31
Paragraaf 5.2: Specifiek leraar ............................................................................................ 32
Paragraaf 5.3: Maatschappelijke relevantie ......................................................................... 32
Interpreteren van misleidende grafieken in realistische contexten .................................... 32
,Hoofdstuk 1: Hele getallen en bewerkingen
Paragraaf 1.1: Kennis wiskunde
Talstelsels
We rekenen tegenwoordig vrijwel uitsluitend in het decimale (tientallige) stelsel, maar er zijn
door de geschiedenis heen en in de informatica ook andere stelsels bedacht.
Het decimale stelsel (tientallig stelsel)
Dit is een positiestelsel. Dat betekent dat de plek (positie) van het cijfer de waarde bepaalt
(eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, etc.). In dit stelsel gebruiken we de cijfers 0
t/m 9, waarbij het getal 0 absoluut noodzakelijk is om lege posities aan te geven. Elk getal kan
worden uitgedrukt in machten van 10.
• Voorbeeld: Het getal 2.378 betekent eigenlijk: (2 x10^3) + (3 x10^2) + (7 x10^1) + (8
x10^0) oftewel 2000 + 300 + 70 + 8.
Het Romeinse stelsel
De Romeinen gebruikten een additief talstelsel (samenvoegend) bestaande uit letters:
I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1.000.
• Regels:
1. Een kleiner of gelijk symbool ná een groter symbool = optellen. Bv. XX =
10+10=20.
2. Een kleiner symbool vóór een groter symbool = aftrekken. Bv. IX = 10-1=9.
(Aftrekken mag alleen van I, X of C).
3. Maximaal 3 dezelfde tekens achter elkaar.
• Voorbeeld stap-voor-stap: Het getal 999. Je mag niet 'IM' doen (regel 2). Je doet 900 +
90 + 9.
o 900 = C (100) af van M (1000) → CM
o 90 = X (10) af van C (100) → XC
o 9 = I (1) af van X (10) → IX
o Samen is dit CMXCIX.
Het binaire stelsel (tweetallig stelsel)
Dit wordt veel gebruikt in computers en kent uitsluitend de cijfers 0 en 1. Hierbij werk je met
machten van 2 in plaats van 10, zie schema hieronder.
Het is belangrijk om deze middelste rij uit je hoofd te leren.
• Voorbeeld omrekenen van binair naar decimaal: Wat is het binaire getal 1001010?
o Teken het positieschema: 256 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
o Zet de enen eronder: Bij 64, bij 8 en bij 2 staat een 1.
256 64 32 16 8 4 2 1
- 1 0 0 1 0 1 0
o Tel op: 64 + 8 + 2 = 74.
, • Voorbeeld omrekenen van decimaal naar binair: Zet het getal 218 om.
o Kijk welk macht-van-2 getal er in het getal past.
o In 218 past 128 → 1. Je houdt 90 over.
o In 90 past 64 → 1. Je houdt 26 over.
o In 32 past 26 niet → 0.
o In 26 past 16 → 1. Je houdt 10 over.
o In 10 past 8 → 1. Je houdt 2 over.
o In 4 past 2 niet → 0.
o In 2 past 2 → 1. Je houdt 0 over.
o In 1 past 0 niet → 0.
o Zet een 0 bij de machten die je niet hebt gebruikt (32, 4 en 1). Het getal is
11011010.
Het hexadecimale stelsel (zestientallig stelsel)
Dit stelsel maakt gebruik van 16 symbolen: de cijfers 0 t/m 9, plus de letters A t/m F (waarbij
A=10, B=11, ..., F=15).
Als je een hexadecimaal getal krijgt, moet je het volgende toepassen:
Het meest rechtse getal/letter doe je dus x 1. Het middelste getal/letter x 16 en het linkse
getal/letter x 256.
Voorbeeld hexadecimale stelsel
Reken 1AD om naar decimaal.
o D = 13 x 1 = 13.
o A = 10 x 16 = 160.
o 1 = 1 x 256 = 256.
o Optellen: 13 + 160 + 256 = 429.
MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks)
Leermiddel waarbij het tientallig stelsel is weergegeven in losse
blokjes (eenheden), staafjes van 10 (tientallen), plaatjes van 10 x 10
(honderdtallen) en kubussen 10 x 10 x 10 (duizendtallen).
Algoritmen en volgorderegels
Om misverstanden te voorkomen, zijn er vaste rekenafspraken gemaakt over de volgorde waarin
je een som moet uitrekenen:
1. Haakjes: Alles wat tussen ( ) staat, gaat áltijd voor.
2. Machtsverheffen en worteltrekken: Deze zijn gelijkwaardig en reken je uit van links
naar rechts.
3. Vermenigvuldigen en delen: Deze zijn gelijkwaardig en reken je uit van links naar rechts.
, 4. Optellen en aftrekken: Deze zijn ook gelijkwaardig en reken je als laatste uit, van links
naar rechts.
• Voorbeeld: 10 + 2 x(8 - 3)^2
o Eerst haakjes: 8 - 3 = 5
o Dan machtsverheffen: 5^2 = 25
o Dan vermenigvuldigen: 2 x25 = 50
o Tot slot optellen: 10 + 50 = 60
Bewerkingen
Optellen Term + term = som 3+5=8
Aftrekken Aftrekgetal – term = verschil 8–5=3
Vermenigvuldigen Vermenigvuldiger x vermenigvuldigtal = product 3 x 5 = 15
Delen Deeltal / deler = quotiënt 9/3=3
Modellen bij het optellen
• Groepjesmodel
• Honderdveld: model voor rekenen tot 100
• Lijnmodel: ook wel de getallenlijn. Heeft de voorkeur, want het helpt bij de ontwikkeling
van getalwaarden.
Vier manieren om naar aftrekken te kijken
1) Splitsen: als bij hoeveelheid wordt gevraagd hoeveel er overblijft. Bijvoorbeeld: van de 40
kinderen mogen er 16 kinderen meedoen aan een toneelstuk. Hoeveel kinderen mogen
er niet meedoen?
2) Verminderen: gaat om het terugtellen. Bijvoorbeeld: een telefoon kost 195 euro. Hij
wordt 17 euro goedkoper. Wat is de nieuwe prijs?
3) Vergelijken: verschil tussen twee hoeveelheden. Wat is meer/minder? Hoeveel
meer/minder? Model hierbij is een dubbele strook.
4) Inverse: Hoeveel moet er nog bij om een bepaalde hoeveelheid te krijgen. Bijvoorbeeld:
ik ben aan het sparen voor een fiets van 599 euro. Ik heb al 370 euro. Hoeveel moet ik
nog sparen?
Situaties van vermenigvuldigen
• Herhaald optellen: bijvoorbeeld: vier rijtjes van drie flesjes (3 + 3 + 3+ 3). De modellen die
hierbij passen zijn: rechthoekmodel/groepjesmodel.
• Vermenigvuldigen met een factor: bijvoorbeeld een foto een x aantal keer vergroten of
een hond loopt 4 x zo snel als een mus.
Situaties van delen
1) Eerlijk verdelen en uitdelen: gelijk verdelen van een hoeveelheid. Bijvoorbeeld 35
knikkers verdelen over 7 kinderen.
2) Inverse (omgekeerde van vermenigvuldigen): Bijvoorbeeld: maak bakjes van 8 appels uit
een zak met 32 knikkers. Model hierbij = herhaald aftrekken (opdelen).
3) Ratio (verhouding): twee hoeveelheden met elkaar vergelijken. Bijvoorbeeld: een
persoon van 2m is twee keer zo groot als een persoon van 1m of een persoon verdient 3
keer zoveel (3 staat op 1 = 3 : 1)
,Redeneren met getallen (Negatieve getallen, Machten, Wortels & Rijen)
Negatieve getallen Bij het vermenigvuldigen van negatieve getallen gelden vaste regels:
• Plus x Plus = Plus (3 x 4 = 12)
• Min x Plus = Min (-3 x 4 = -12)
• Min x Min = Plus (-3 x -4 = 12)
Machten
Een macht is herhaald vermenigvuldigen. Bij 4^3 is 4 het grondgetal en 3 de exponent (4 x 4 x 4).
Rekenregels voor machten: Bij gelijke grondgetallen mag je exponenten optellen als je
vermenigvuldigt (10^5 x 10^4 = 10^9) en mag je ze aftrekken als je deelt (10^5 : 10^4 = 10^1).
Machten vermenigvuldigen met gelijke grondgetallen → exponenten bij elkaar optellen
10^5 x 10^4 = 10^9 en 10^−5 x 10^4 = 10^−1
Machten delen met gelijke grondgetallen → exponenten van elkaar aftrekken
10^5 :10^4 =10^1 en 10^4 : 10^5 = 10^−1
Wortels
Worteltrekken is het omgekeerde van kwadrateren (√25 = 5, want 5^2 = 25).
Optellen wortels
√16 + √9 mag je niet zomaar bij elkaar optellen. Je moet eerst worteltrekken.
√16 = 4 en √9 = 3
4+ 3 = 7 en 7² = 49 à dus √16 + √9 = √49
Als de wortel hetzelfde is, mag je het gedeelte vóór de wortel wel optellen
2 √9 + 6√9 = 8√9
Vermenigvuldigen en delen met wortels
Regel 1: je mag wortels met elkaar vermenigvuldigen → √4 x √9 = √36
√36 = 6
Regel 2: de uitkomst bij een wortel wordt altijd omgerekend naar de meest eenvoudige vorm.
Getal onder √ moet zo klein mogelijk zijn.
Voorbeeld: √6 x √10 = √60 → maar 60 = 4 x 15 en 4 is een kwadraat → √60 = √4x15 = √4 x √15 =
2 x √15 = 2√15 (het keerteken tussen het hele getal en de wortel wordt niet opgeschreven).
Regel 3: hoe reken je met een getal vóór en een getal na de wortel.
Als je een wortel als uitkomst wil breng je het getal vóór de wortel naar na de wortel en
vermenigvuldig je die 2 getallen met elkaar.
Als je een getal als uitkomt wil bereken je eerst de wortel van het getal na de wortel en doe je dit
maal het eerste getal.
5√3 = √25 x 3 = √75 maar ook 5√3 = 5 x 1,73 = 8.66
,Rijen en reeksen
• Rij: Een opeenvolging van getallen met een logische regelmaat. Bijvoorbeeld: 1, 2, 3, 4
(regelmaat +1).
• Reeks: De som van een rij.
• Fibonacci-rij: Elk getal is de som van de twee voorgaande getallen (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13...).
Priemgetallen, deelbaarheid, KGV en GGD
Priemgetallen
Een priemgetal is een heel getal groter dan 1 dat alléén deelbaar is door 1 en door zichzelf. De
eerste tien priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. (Tip: "priemtweelingen" zijn
priemgetallen die heel dicht bij elkaar liggen, zoals 11 en 13 ).
Kenmerken van deelbaarheid
Om grote getallen makkelijk te ontleden, gebruik je deze trucjes:
• Deelbaar door 2: Als het eindigt op een even getal (0, 2, 4, 6, 8).
• Deelbaar door 3: Als de som van de losse cijfers deelbaar is door 3.
o Bijvoorbeeld 34.569 → 3+4+5+6+9 = 27. Omdat 27 deelbaar is door 3, is 34.569
dat ook.
• Deelbaar door 4: Als de laatste twee cijfers samen deelbaar zijn door 4.
o Bijvoorbeeld 2.356 → 56 is deelbaar door 4.
• Deelbaar door 5: Als het eindigt op een 0 of 5.
• Deelbaar door 6: Als het getal én door 2, én door 3 deelbaar is.
• Deelbaar door 7: Het laatste getal 2x aftrekken van het getal gevormd door het
overblijvende getal.
o Bijvoorbeeld: 364 = 36 – 2 x 4 = 28. 28 is deelbaar door 7, dus 364 ook.
• Deelbaar door 8: het getal gevormd door de laatste 3 cijfers zijn deelbaar door 8
o Bijvoorbeeld: 562.720 → 720 is deelbaar door 8, 562.720 dus ook.
• Deelbaar door 9: Als de som van de cijfers deelbaar is door 9.
o Bijvoorbeeld: 34.569 → 3 + 4 + 5 + 6 + 9 = 27 en dus deelbaar door 9.
Grootste gemene deler (GGD) en kleinste gemene veelvoud (KGV)
Elk getal is te ontbinden in priemfactoren (bijvoorbeeld: 12 = 2 x 2 x 3).
• GGD (handig bij breuken vereenvoudigen): De grootste factor waardoor je twee
getallen tegelijkertijd kunt delen.
o Voorbeeld GGD van 18 en 24: De delers van 18 zijn 1, 2, 3, 6, 9, 18. De delers van
24 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Het grootste getal dat in beide rijtjes staat is 6.
• KGV (handig bij breuken gelijknamig maken): Het kleinste getal dat een veelvoud is van
beide getallen.
o Voorbeeld KGV van 10 en 15: De tafel van 10 (10, 20, 30, 40...) en de tafel van 15
(15, 30, 45...). Het kleinste getal dat ze gemeen hebben is 30.
Telproblemen en combinatoriek
Soms moet je uitrekenen op hoeveel manieren je iets kunt combineren of rangschikken. We
maken onderscheid tussen twee belangrijke vormen:
, 1. Permutatie (volgorde is wél belangrijk): Stel je kiest 3 personen uit een groep van 3,
waarbij ze een specifieke taak krijgen. Omdat de volgorde de taak bepaalt, spreken we
van permutatie.
o Uitrekenen: 3 x 2 x 1 = 6 manieren. (We gebruiken hiervoor ook 'faculteit',
geschreven als '!'. 3! = 3 x 2 x 1 = 6) .
2. Combinatie (volgorde is níét belangrijk): Je kiest 3 mensen uit een groep van 8 zonder
specifieke functies.
o Uitrekenen: Eerst doe je 8 x 7 x 6 = 336. Maar omdat de onderlinge volgorde van
de 3 personen niet uitmaakt, moet je de 'dubbele' eruit delen. Drie mensen
kunnen op 6 (3!) manieren staan. Je doet dus 336 : 6 = 56 manieren.
Om telproblemen inzichtelijk te maken gebruik je modellen zoals een boomdiagram
(vertakkende lijntjes per keuze) of een wegendiagram.
Driehoek van Pascal
Een bijzondere toepassing voor combinatoriek is de Driehoek van Pascal, waarbij elk getal het
aantal mogelijke routes/combinaties weergeeft om vanaf de top van de piramide op die plek te
komen.
