CÁC DẠNG BÀI TẬP CỦA LẦN KT THỨ 2
B1: 𝒕í𝒏𝒉 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙
𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙
B2: 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏. ∫ 𝒚𝟏𝟐
𝒅𝒙
Nghiệm yc = c1y1 + c2y2
Vd: 𝒙𝟐𝒚′′ − 𝟑𝒙𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟎 𝒗ớ𝒊 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐
Đầu tiên chia 2 vế cho x2 để hệ số của y’’ là 1
3 4
=> 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑥2 𝑦 = 0
𝑥
3 3
B1: P(x) = − => -∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 = − ∫ − 𝑑𝑥 = 𝟑𝒍𝒏𝒙
𝑥 𝑥
3
𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒3𝑙𝑛𝑥 = 𝑒(𝑙𝑛𝑥) = 𝑥3
− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
B2: 𝑦2 = 𝑦1. ∫ 𝑑𝑥
𝑥3 1
𝑦2 = 𝑥2 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑥2 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑉ậ𝑦 𝑦1 = 𝑥2 ; 𝑦2 = 𝑥2𝑙𝑛𝑥
𝑦𝑐 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 = 𝑐1𝑥2 + 𝑐2𝑥2𝑙𝑛𝑥
Chú ý dạng 2 khác dạng 1: ở dạng 1 đi kèm với y’ là 1 hàm theo x còn dạng 2 là hệ
số.
Đưa về phương trình đặc trưng : 𝑦′′ = 𝑚2 ; 𝑦′ = 𝑚 ; 𝑦 𝑙à 1
𝑛ế𝑢 𝑐ó 𝑦′′′𝑡ℎì 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑚3
𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙
, 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: yc = c1y1 + c2y2
Các trường hợp khi tìm ra nghiệm của m
Th1: 2 nghiệm phân biệt m1 ≠ 𝒎𝟐
=> y1 = em1x và y2 = em 2x
=> yc = c1y1 + c2y2
Vd: nếu giải ra 2 giá trị của m là m=2 và m=4
=> y1 = 𝑒2𝑥 y2= 𝑒4𝑥
=> yc = c1e2x +c2e4x
Th2: giải ra m là nghiệm kép ( nghiệm bội 2 ) m1 = m2
y1 = em1x y2 = xy1
Nếu có 3 giá trị m bằng nhau m1 = m2 = m3
y1 = em1 x y2 = xy1 y3 = xy2 = x2y1
Tương tự cho nghiệm bội 4, bội 5 …. (không có đâu yên tâm)
Vd: giải ra m1 = m2 = 5
=> y1= 𝑒5𝑥 y2= 𝑥𝑒5𝑥
Nếu m1 = m2 = m3 = 5
=> y1= 𝑒5𝑥 y2= 𝑥𝑒5𝑥 y3= 𝑥2𝑒5𝑥
Th3: Nghiệm phức m1= 𝜶 + 𝒊𝜷
m2= 𝜶 − 𝒊𝜷
y1 = 𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) và y2 = 𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)
B1: 𝒕í𝒏𝒉 𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙
𝒆− ∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙
B2: 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏. ∫ 𝒚𝟏𝟐
𝒅𝒙
Nghiệm yc = c1y1 + c2y2
Vd: 𝒙𝟐𝒚′′ − 𝟑𝒙𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟎 𝒗ớ𝒊 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐
Đầu tiên chia 2 vế cho x2 để hệ số của y’’ là 1
3 4
=> 𝑦′′ − 𝑦′ + 𝑥2 𝑦 = 0
𝑥
3 3
B1: P(x) = − => -∫ 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 = − ∫ − 𝑑𝑥 = 𝟑𝒍𝒏𝒙
𝑥 𝑥
3
𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒3𝑙𝑛𝑥 = 𝑒(𝑙𝑛𝑥) = 𝑥3
− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
B2: 𝑦2 = 𝑦1. ∫ 𝑑𝑥
𝑥3 1
𝑦2 = 𝑥2 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 = 𝑥2 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑉ậ𝑦 𝑦1 = 𝑥2 ; 𝑦2 = 𝑥2𝑙𝑛𝑥
𝑦𝑐 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 = 𝑐1𝑥2 + 𝑐2𝑥2𝑙𝑛𝑥
Chú ý dạng 2 khác dạng 1: ở dạng 1 đi kèm với y’ là 1 hàm theo x còn dạng 2 là hệ
số.
Đưa về phương trình đặc trưng : 𝑦′′ = 𝑚2 ; 𝑦′ = 𝑚 ; 𝑦 𝑙à 1
𝑛ế𝑢 𝑐ó 𝑦′′′𝑡ℎì 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑚3
𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙
, 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑞𝑢á𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: yc = c1y1 + c2y2
Các trường hợp khi tìm ra nghiệm của m
Th1: 2 nghiệm phân biệt m1 ≠ 𝒎𝟐
=> y1 = em1x và y2 = em 2x
=> yc = c1y1 + c2y2
Vd: nếu giải ra 2 giá trị của m là m=2 và m=4
=> y1 = 𝑒2𝑥 y2= 𝑒4𝑥
=> yc = c1e2x +c2e4x
Th2: giải ra m là nghiệm kép ( nghiệm bội 2 ) m1 = m2
y1 = em1x y2 = xy1
Nếu có 3 giá trị m bằng nhau m1 = m2 = m3
y1 = em1 x y2 = xy1 y3 = xy2 = x2y1
Tương tự cho nghiệm bội 4, bội 5 …. (không có đâu yên tâm)
Vd: giải ra m1 = m2 = 5
=> y1= 𝑒5𝑥 y2= 𝑥𝑒5𝑥
Nếu m1 = m2 = m3 = 5
=> y1= 𝑒5𝑥 y2= 𝑥𝑒5𝑥 y3= 𝑥2𝑒5𝑥
Th3: Nghiệm phức m1= 𝜶 + 𝒊𝜷
m2= 𝜶 − 𝒊𝜷
y1 = 𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) và y2 = 𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)
