GUÍA DE EJERCICIOS
Fórmulas de Suma, Diferencia, Ángulo Doble y Mitad de Ángulo
Todos los problemas anteriores al subtema 10.3 · Ley de los Senos
📋 Cobertura: Esta guía resuelve y explica detalladamente los ejercicios 9–30
(suma/diferencia), 35–40 (ángulo doble) y 41–48 (mitad de ángulo) de la sección 9.4.
📊 TABLA DE REFERENCIA RÁPIDA
Valores exactos de las funciones trigonométricas
Ángulo Grados sen cos tan
π/6 30° 1/2 √3/2 1/√3 = √3/3
π/4 45° √2/2 √2/2 1
π/3 60° √3/2 1/2 √3
π/2 90° 1 0 indefinida
π 180° 0 -1 0
3π/2 270° -1 0 indefinida
Descomposiciones de ángulos no estándar
Para usar las fórmulas de suma/diferencia, el truco es reconocer el ángulo dado como suma o diferencia
de ángulos conocidos (30°, 45°, 60°, 90°, etc.):
Ángulo Descomposición
π/12 = 15° π/4 − π/6 (45° − 30°)
π/12 = 15° π/3 − π/4 (60° − 45°) ← misma
5π/12 = 75° π/3 + π/4 (60° + 45°)
7π/12 = 105° π/3 + π/4 (60° + 45°)
11π/12 = 165° π − π/12 o 5π/6 + π/12
−5π/12 = −75° −(π/3 + π/4)
−π/12 = −15° −(π/4 − π/6)
, 11π/12 π/2 + 5π/12 o π − π/12
13π/12 π + π/12
17π/12 π + 5π/12
165° 120° + 45° o 180° − 15°
195° 150° + 45° o 180° + 15°
345° 360° − 15° o 300° + 45°
📐 Fórmulas de suma y diferencia — referencia
cos(A+B) = cosA·cosB − senA·senB
cos(A−B) = cosA·cosB + senA·senB
sen(A+B) = senA·cosB + cosA·senB
sen(A−B) = senA·cosB − cosA·senB
tan(A+B) = (tanA + tanB)/(1 − tanA·tanB)
tan(A−B) = (tanA − tanB)/(1 + tanA·tanB)
📐 Fórmulas de ángulo doble — referencia
cos(2x) = cos²x − sen²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sen²x
sen(2x) = 2·senx·cosx
tan(2x) = 2·tanx / (1 − tan²x)
📐 Fórmulas de mitad de ángulo — referencia
cos²(x/2) = (1 + cosx) / 2
sen²(x/2) = (1 − cosx) / 2
tan(x/2) = senx/(1+cosx) = (1−cosx)/senx
🔢 PARTE 1 — EJERCICIOS 9 A 30: SUMA Y DIFERENCIA
Método paso a paso para cualquier ejercicio de este grupo
Fórmulas de Suma, Diferencia, Ángulo Doble y Mitad de Ángulo
Todos los problemas anteriores al subtema 10.3 · Ley de los Senos
📋 Cobertura: Esta guía resuelve y explica detalladamente los ejercicios 9–30
(suma/diferencia), 35–40 (ángulo doble) y 41–48 (mitad de ángulo) de la sección 9.4.
📊 TABLA DE REFERENCIA RÁPIDA
Valores exactos de las funciones trigonométricas
Ángulo Grados sen cos tan
π/6 30° 1/2 √3/2 1/√3 = √3/3
π/4 45° √2/2 √2/2 1
π/3 60° √3/2 1/2 √3
π/2 90° 1 0 indefinida
π 180° 0 -1 0
3π/2 270° -1 0 indefinida
Descomposiciones de ángulos no estándar
Para usar las fórmulas de suma/diferencia, el truco es reconocer el ángulo dado como suma o diferencia
de ángulos conocidos (30°, 45°, 60°, 90°, etc.):
Ángulo Descomposición
π/12 = 15° π/4 − π/6 (45° − 30°)
π/12 = 15° π/3 − π/4 (60° − 45°) ← misma
5π/12 = 75° π/3 + π/4 (60° + 45°)
7π/12 = 105° π/3 + π/4 (60° + 45°)
11π/12 = 165° π − π/12 o 5π/6 + π/12
−5π/12 = −75° −(π/3 + π/4)
−π/12 = −15° −(π/4 − π/6)
, 11π/12 π/2 + 5π/12 o π − π/12
13π/12 π + π/12
17π/12 π + 5π/12
165° 120° + 45° o 180° − 15°
195° 150° + 45° o 180° + 15°
345° 360° − 15° o 300° + 45°
📐 Fórmulas de suma y diferencia — referencia
cos(A+B) = cosA·cosB − senA·senB
cos(A−B) = cosA·cosB + senA·senB
sen(A+B) = senA·cosB + cosA·senB
sen(A−B) = senA·cosB − cosA·senB
tan(A+B) = (tanA + tanB)/(1 − tanA·tanB)
tan(A−B) = (tanA − tanB)/(1 + tanA·tanB)
📐 Fórmulas de ángulo doble — referencia
cos(2x) = cos²x − sen²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sen²x
sen(2x) = 2·senx·cosx
tan(2x) = 2·tanx / (1 − tan²x)
📐 Fórmulas de mitad de ángulo — referencia
cos²(x/2) = (1 + cosx) / 2
sen²(x/2) = (1 − cosx) / 2
tan(x/2) = senx/(1+cosx) = (1−cosx)/senx
🔢 PARTE 1 — EJERCICIOS 9 A 30: SUMA Y DIFERENCIA
Método paso a paso para cualquier ejercicio de este grupo
