Chapter 1 u .
1.1
(a) One u. dimensional, u. multichannel, u. discrete u. time, u. and u. digital.
(b) Multi u.dimensional, u.single u.channel, u.continuous-time, u.analog.
(c) One u.dimensional, u.single u.channel, u.continuous-time, u.analog.
(d) One u.dimensional, u.single u.channel, u.continuous-time, u.analog.
(e) One u.dimensional, u.multichannel, u.discrete-time, u.digital.
1.2
u . = u . u. u . u . ⇒ u. periodic u. with u. Np u . = u. 200.
0.01π 1
(a) f u . = u .2π 200
u.u.) u.= u . u . ⇒ u. periodic u. with u. Np u . = u. 7.
30π 1 1
(b) f u . = u105
. u.(u.
2π
u.
7
(c) f u. = u.2π3π u . =2 u. 3 u.⇒ u.periodic u.with u.Np u. = u.2.
u. u . ⇒ u . non-periodic.
3
(d) f u . = 2πu.
u.
u . ⇒ u . periodic u . with u . Np u . = u . 10.
62π 1 31
(e) f u . = u10. 2π u.(u.
u. u. u.) u.= u .
10
1.3
(a) Periodic u.with u.period u.Tp u.= u.2πu..
5
u. u . ⇒ u . non-periodic.
5
(b) f u . = 2πu. u.
u . u . ⇒ u . non-periodic.
1
(c) f u . = n12π
u. u.
πn
(d) cos(u.8u). u.is u. non-periodic; u. cos( u. u.) u. is u. periodic; u. Their u. product u. is u. non-periodic.
8
(e) cos(u.πn2 u). u.is u. periodic u. with u. period u. Np=4
sin(u.πnπn
u.) u . is u . periodic u . with u . period u . Np=16
cos(u. 8 u.+ u.πu.) u.is u.periodic u.with u.period u.Np=8
4 3
Therefore, u . x(n) u . is u . periodic u . with u . period u . Np=16. u . (16 u . is u . the u . least u . common u . multiple u . of u . 4,8,16).
1.4
(a) w u.= u. 2πk u . implies u.that u.f u . = u. k u.. u . Let u.
N N
α u.= u . GCD u . of u . (k,u.Nu). , u . i.e.,
k u . = u.k′α, u.N u. = u. Nu′. α.
Then,
′
f u. = k , u . which u.implies u.that
Nu.′
N u.
Nu.′ u. = u . .
α
3
© u.2007 u.Pearson u.Education, u.Inc., u.Upper u.Saddle u.River, u.NJ. u . All u.rights u.reserved. u.This u.material u.is u.protected u.under u.all
u.copyright u.laws u.as u.they u.currently u.exist. u.No u.portion u.of u.this u.material u.may u.be u.reproduced, u.in u.any u.form u.or u.by u.any
u.means, u.without u.permission u.in u.writing u.from u.the u.publisher. u . For u.the u.exclusive u.use u.of u.adopters u.of u.the u.book u.Digital
u.Signal u.Processing, u.Fourth u.Edition, u.by u.John u.G. u.Proakis u.and u.Dimitris u.G. u.Manolakis. u.ISBN u.0-13-187374-1.
, (b)
N = u. u.7
k = u . u . 0 u.1 u.2 u.3 u.4 u.5 u.6 u.7
GCD(k, u.Nu). u . u . = u . u . 7 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 7
Np = u . u . 1 u.7 u.7 u.7 u.7 u.7 u.7 u.1
(c)
N = u . u . 16
k = u . u . 0 u.1 u.2 u.3 u.4 u.5 u.6 u.7 u. 8 u.9 u.10 u.11 u.12 u . . u.. u.. u . 16
GCD(k,u.Nu). u . u . = u . u . 16 u. 1 u.2 u.1 u.4 u.1 u.2 u.1 u.8 u.1 u.2 u.1 u.4 u . . u.. u.. u . 16
Np = u . u . 1 u.6 u.8 u.16 u.4 u.16 u.8 u.16 u.2 u.16 u.8 u.16 u.4 u . . u.. u.. u . 1
1.5
(a) Refer u.to u.fig
u.1.5-1 u.(b)
3
2
1
−−−>
u . xa(t)
0
−1
−2
−3
0 5 10 15 20 25 30
−−−> u . t u . (ms)
Figure u . 1.5-1:
x(n) u. = u . u . xa(nTu.)
u.
= u . u . xa(n/Fs)
= u . u . 3sin(πn/3) u.⇒
1 u. u.π
f = (u. u.)
2π u . 3
1
= , u.Np u. = u.6
6u.
4
© u.2007 u.Pearson u.Education, u.Inc., u.Upper u.Saddle u.River, u.NJ. u . All u.rights u.reserved. u.This u.material u.is u.protected u.under u.all
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, t u.(ms)
-3
Figure u . 1.5-2:
(c) Refer n
u. to u . fig u . 1.5-2
x(n) u.= u.u,. 0, u.2√u3u. u2. . , u.√3 u.
,u.0,u.−u2.√3
2
u.
,u.−u.√3 ,
u.Np u . = u. 6.
(d) Yes.
100π
x(1) u.= u.3 u.= u.3sin( ) u.⇒ u.Fs u . = u.200 u . samples/sec.
Fs
1.6
(a)
x(n) u . u. = u. u. Acos(2πF0n/Fs u.+ u.θ)
= u. u . Acos(2π(T/Tp)n u.+ u.θ)
But u . T/Tp u. = u.f u . ⇒ u. x(n) u . is u . periodic u . if u . f u . is u . rational.
(b) If u. x(n) u. is u. periodic, u. then u. f=k/N u. where u. N u. is u. the u. period. u . Then,
k Tp
Td u. = u.(u. Tu.) u.= u.k( u. )T u . = u.kTp.
f u. T u.
Thus, u.it u.takes u.k u.periods u.(kTp) u.of u.the u.analog u.signal u.to u.make u.1 u.period u.(Td) u.of u.the u.discrete
u.signal.
(c) Td u . = u. kTp u . ⇒ u . NT u . = u. kTp u . ⇒ u. f u . = u. k/N u . = u. T/Tp u . ⇒ u . f u . is u . rational u . ⇒ u . x(n) u . is u . periodic.
1.7
(a) Fmax u.= u.10kHz u.⇒ u.F s u.≥ u.2Fmax u.= u.20kHz.
(b) For u . Fs u . = u. 8kHz, u.Ffold u . = u. Fs/2 u. = u.⇒
4kHz 5kHz u . will u.alias u.to u.3kHz.
(c) F=9kHz u . will u . alias u . to u . 1kHz.
1.8
(a) Fmax u . = u.100kHz, u.Fs u . ≥ u.2Fmax u . = u.200Hz.
(b) Ffold u.= 2u . Fs u . = u.125Hz.
5
© u.2007 u.Pearson u.Education, u.Inc., u.Upper u.Saddle u.River, u.NJ. u . All u.rights u.reserved. u.This u.material u.is u.protected u.under u.all
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u.Signal u.Processing, u.Fourth u.Edition, u.by u.John u.G. u.Proakis u.and u.Dimitris u.G. u.Manolakis. u.ISBN u.0-13-187374-1.
, 1.9
(a) Fmax u.= u.360Hz, u.F N u . = u.2F max u.= u.720Hz.
(b) Ffold = u 2. Fs u . = u.300Hz.
(c)
x(n) u. u. = u. xa(nTu.)
u.
= u . u . xa(n/Fs)
=sin(480πn/600) u.+ u.3sin(720πn/600)
u .
x(n) u . = u . u . sin(4πn/5) u.− u.3sin(4πn/5)
= u . u . −2sin(4πn/5).
Therefore, u.w u.=
u.4π/5.
(d) ya(t) u.= u. x(Fst) u. = u.−2sin(480πt).
1.10
(a)
Number u. of u. bits/sample = u . u. log21024 u.= u.10.
[10, u.000 u.bits/sec]
Fs =
[10 u.bits/sample]
= u . u . 1000 u. samples/sec.
Ffold = u . u . 500Hz.
(b)
1800π
Fmax =
2π
= u . u . 900Hz
FN = u . u . 2F max u.= u.1800Hz.
(c)
600π u . u . 1
f1 = ( )
2π Fs
=
0.3; u . u .
1800π u . u . 1
f2 = ( )
2π Fs
= u . u . 0.9;
But u.f2 = u . u . 0.9 u.> u.0.5 u.⇒ u.f2 u. = u.0.1.
Hence, u.x(n) u . u . = u . u . 3cos[(2π)(0.3)n] u.+ u.2cos[(2π)(0.1)n]
xmax−xmin
(d) u.△ u.= u. m−1
u.
= u. 5−(−5)
1023
u.
1023
= u. u . 10 u . u.
.
1.11
x(n) u. u. = u. u. xa(nTu.)
u. u. u. u. u. u. u.
100πn 250πn
= u. u. 3cos 200 + u.2sin 200
6
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1.1
(a) One u. dimensional, u. multichannel, u. discrete u. time, u. and u. digital.
(b) Multi u.dimensional, u.single u.channel, u.continuous-time, u.analog.
(c) One u.dimensional, u.single u.channel, u.continuous-time, u.analog.
(d) One u.dimensional, u.single u.channel, u.continuous-time, u.analog.
(e) One u.dimensional, u.multichannel, u.discrete-time, u.digital.
1.2
u . = u . u. u . u . ⇒ u. periodic u. with u. Np u . = u. 200.
0.01π 1
(a) f u . = u .2π 200
u.u.) u.= u . u . ⇒ u. periodic u. with u. Np u . = u. 7.
30π 1 1
(b) f u . = u105
. u.(u.
2π
u.
7
(c) f u. = u.2π3π u . =2 u. 3 u.⇒ u.periodic u.with u.Np u. = u.2.
u. u . ⇒ u . non-periodic.
3
(d) f u . = 2πu.
u.
u . ⇒ u . periodic u . with u . Np u . = u . 10.
62π 1 31
(e) f u . = u10. 2π u.(u.
u. u. u.) u.= u .
10
1.3
(a) Periodic u.with u.period u.Tp u.= u.2πu..
5
u. u . ⇒ u . non-periodic.
5
(b) f u . = 2πu. u.
u . u . ⇒ u . non-periodic.
1
(c) f u . = n12π
u. u.
πn
(d) cos(u.8u). u.is u. non-periodic; u. cos( u. u.) u. is u. periodic; u. Their u. product u. is u. non-periodic.
8
(e) cos(u.πn2 u). u.is u. periodic u. with u. period u. Np=4
sin(u.πnπn
u.) u . is u . periodic u . with u . period u . Np=16
cos(u. 8 u.+ u.πu.) u.is u.periodic u.with u.period u.Np=8
4 3
Therefore, u . x(n) u . is u . periodic u . with u . period u . Np=16. u . (16 u . is u . the u . least u . common u . multiple u . of u . 4,8,16).
1.4
(a) w u.= u. 2πk u . implies u.that u.f u . = u. k u.. u . Let u.
N N
α u.= u . GCD u . of u . (k,u.Nu). , u . i.e.,
k u . = u.k′α, u.N u. = u. Nu′. α.
Then,
′
f u. = k , u . which u.implies u.that
Nu.′
N u.
Nu.′ u. = u . .
α
3
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, (b)
N = u. u.7
k = u . u . 0 u.1 u.2 u.3 u.4 u.5 u.6 u.7
GCD(k, u.Nu). u . u . = u . u . 7 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 7
Np = u . u . 1 u.7 u.7 u.7 u.7 u.7 u.7 u.1
(c)
N = u . u . 16
k = u . u . 0 u.1 u.2 u.3 u.4 u.5 u.6 u.7 u. 8 u.9 u.10 u.11 u.12 u . . u.. u.. u . 16
GCD(k,u.Nu). u . u . = u . u . 16 u. 1 u.2 u.1 u.4 u.1 u.2 u.1 u.8 u.1 u.2 u.1 u.4 u . . u.. u.. u . 16
Np = u . u . 1 u.6 u.8 u.16 u.4 u.16 u.8 u.16 u.2 u.16 u.8 u.16 u.4 u . . u.. u.. u . 1
1.5
(a) Refer u.to u.fig
u.1.5-1 u.(b)
3
2
1
−−−>
u . xa(t)
0
−1
−2
−3
0 5 10 15 20 25 30
−−−> u . t u . (ms)
Figure u . 1.5-1:
x(n) u. = u . u . xa(nTu.)
u.
= u . u . xa(n/Fs)
= u . u . 3sin(πn/3) u.⇒
1 u. u.π
f = (u. u.)
2π u . 3
1
= , u.Np u. = u.6
6u.
4
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, t u.(ms)
-3
Figure u . 1.5-2:
(c) Refer n
u. to u . fig u . 1.5-2
x(n) u.= u.u,. 0, u.2√u3u. u2. . , u.√3 u.
,u.0,u.−u2.√3
2
u.
,u.−u.√3 ,
u.Np u . = u. 6.
(d) Yes.
100π
x(1) u.= u.3 u.= u.3sin( ) u.⇒ u.Fs u . = u.200 u . samples/sec.
Fs
1.6
(a)
x(n) u . u. = u. u. Acos(2πF0n/Fs u.+ u.θ)
= u. u . Acos(2π(T/Tp)n u.+ u.θ)
But u . T/Tp u. = u.f u . ⇒ u. x(n) u . is u . periodic u . if u . f u . is u . rational.
(b) If u. x(n) u. is u. periodic, u. then u. f=k/N u. where u. N u. is u. the u. period. u . Then,
k Tp
Td u. = u.(u. Tu.) u.= u.k( u. )T u . = u.kTp.
f u. T u.
Thus, u.it u.takes u.k u.periods u.(kTp) u.of u.the u.analog u.signal u.to u.make u.1 u.period u.(Td) u.of u.the u.discrete
u.signal.
(c) Td u . = u. kTp u . ⇒ u . NT u . = u. kTp u . ⇒ u. f u . = u. k/N u . = u. T/Tp u . ⇒ u . f u . is u . rational u . ⇒ u . x(n) u . is u . periodic.
1.7
(a) Fmax u.= u.10kHz u.⇒ u.F s u.≥ u.2Fmax u.= u.20kHz.
(b) For u . Fs u . = u. 8kHz, u.Ffold u . = u. Fs/2 u. = u.⇒
4kHz 5kHz u . will u.alias u.to u.3kHz.
(c) F=9kHz u . will u . alias u . to u . 1kHz.
1.8
(a) Fmax u . = u.100kHz, u.Fs u . ≥ u.2Fmax u . = u.200Hz.
(b) Ffold u.= 2u . Fs u . = u.125Hz.
5
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, 1.9
(a) Fmax u.= u.360Hz, u.F N u . = u.2F max u.= u.720Hz.
(b) Ffold = u 2. Fs u . = u.300Hz.
(c)
x(n) u. u. = u. xa(nTu.)
u.
= u . u . xa(n/Fs)
=sin(480πn/600) u.+ u.3sin(720πn/600)
u .
x(n) u . = u . u . sin(4πn/5) u.− u.3sin(4πn/5)
= u . u . −2sin(4πn/5).
Therefore, u.w u.=
u.4π/5.
(d) ya(t) u.= u. x(Fst) u. = u.−2sin(480πt).
1.10
(a)
Number u. of u. bits/sample = u . u. log21024 u.= u.10.
[10, u.000 u.bits/sec]
Fs =
[10 u.bits/sample]
= u . u . 1000 u. samples/sec.
Ffold = u . u . 500Hz.
(b)
1800π
Fmax =
2π
= u . u . 900Hz
FN = u . u . 2F max u.= u.1800Hz.
(c)
600π u . u . 1
f1 = ( )
2π Fs
=
0.3; u . u .
1800π u . u . 1
f2 = ( )
2π Fs
= u . u . 0.9;
But u.f2 = u . u . 0.9 u.> u.0.5 u.⇒ u.f2 u. = u.0.1.
Hence, u.x(n) u . u . = u . u . 3cos[(2π)(0.3)n] u.+ u.2cos[(2π)(0.1)n]
xmax−xmin
(d) u.△ u.= u. m−1
u.
= u. 5−(−5)
1023
u.
1023
= u. u . 10 u . u.
.
1.11
x(n) u. u. = u. u. xa(nTu.)
u. u. u. u. u. u. u.
100πn 250πn
= u. u. 3cos 200 + u.2sin 200
6
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