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C HAPITRE 4

R ANG ET DÉTERMINANT DES MATRICES




Sommaire
3.1 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1 Calcul pratique du rang : Méthode de Pivot de Gauss . . . . . . . . . . 85
3.2 Déterminant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.1 Déterminant d’une matrice d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.2 Déterminant d’une matrice d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86



3.1 ) Rang d’une matrice

Nous avons déjà défini la notion de rang pour une famille de vecteurs et pour une appli-
cation linéaire :
• Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension du sous espace vectoriel qu’elle en-
gendre, (rg(v1 , v2 , . . . , vn ) = dim(Vect(v1 , v2 , . . . , vn )).
• Le rang d’une application linéaire est la dimension de son image : rg(f ) = dim(Im(f )).

Définition 3.1.1. Le rang d’une matrice A est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes
(ou ses vecteurs lignes). Autrement dit :

rg(A) = rg(C1 , C2 , . . . , Cn ) = dim(Vect(C1 , C2 , . . . , Cn )).

où C1 , C2 , . . . , Cn sont les vecteurs colonnes de A.

Remarques 3.1.1.

1) Soit A une matrice carrée. On a rg(A) = rg(AT ).

2) Si A une matrice nulle, alors rg(A) = 0.




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, CHAPITRE 3. RANG ET DÉTERMINANT DES MATRICES
SECTION 3.1. RANG D’UNE MATRICE


Exemple. Soit la matrice suivante :
 
1 2 0 1
 
0 0 2 2
A=
 

2 4 2 4
 
3 6 0 3
       
1 2 0 1
       
0 0 2 2
On appelle C1 =   , C2 =   , C3 =   , C4 =   les vecteurs formés par les
       
2 4 2 4
       
3 6 0 3
quatre colonnes de A. On sait que rg(A) = rg(C1 , C2 , C3 , C4 ).
On voit que C2 = 2C1 , donc le rang de A est égal à celui de la famille (C1 , C3 , C4 ).
On remarque aussi que C4 = C1 + C3 . Donc rg(A) = rg(C1 , C3 , C4 ) = rg(C1 , C3 ).
Les colonnes C1 et C3 sont linéairement indépendantes (c’est-à-dire libres). Donc (C1 , C3 ) est
de rang 2. Finalement, le rang de A est 2.

Théorème 3.1.1. Soit A une matrice A. On a
rg(A) ≤ nombre de lignes de A et rg(A) ≤ nombre de colonnes de A.
Autrement dit : si A ∈ Mn,m (K) alors rg(A) ≤ min{n, m}.

Théorème 3.1.2.
• Les opérations élémentaires conservent le rang de la matrice.
• La suppression d’une colonne nulle ou d’une ligne nulle conserve le rang.
 
1 0 2 3
 
2 0 4 6
Exemple. Soit la matrice suivante : A = 
 

0 2 2 0
 
1 2 4 3




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